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微专题 2 基本初等函数、函数零点
高考定位 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较
大小、解不等式是常见题型； 2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，
常以压轴题的形式出现.
【真题体验】
1.(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log 0.2，则a，b，c的大小关系为(
4.2
)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
2.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2 .记a＝f，b＝f，c＝f，则( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
3.(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分
别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.
如果某河流治理前后的生物种类数 S没有变化，生物个体总数由 N 变为N ，生
1 2
物丰富度指数由2.1提高到3.15，则( )
A.3N ＝2N B.2N ＝3N
2 1 2 1
C.N＝N D.N＝N
4.(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1，1)
时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点.则a＝( )
A.－1 B.
C.1 D.2
【热点突破】
热点一 基本初等函数的图象与性质
1.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a＞0，且a≠1)互为反函数，
a
其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分 0＜a＜1，a＞1两种情况，着重关
注两个函数图象的异同.2.幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1，2，3，，－1五种情况.
例1 (1)(2024·武汉调研)在同一平面直角坐标系中，函数y＝log (－x)，y＝(a>0，
a
且a≠1)的图象可能是( )
(2)(多选)(2024·福州名校联考)已知函数f(x)＝4x＋＋2，则下列说法正确的是(
)
A.f(x)在(－∞，0)上单调递增
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象关于点(0，1)对称
D.不等式f(x＋1)<的解集是(－2，0)
规律方法 1.指数函数、对数函数的图象与性质会受底数 a的影响，解决指数函
数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围.
2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.
训练1 (1)(2024·上饶六校联考)已知a＝log 0.9，b＝0.30.4，c＝0.40.3，则a，b，c
3
的大小关系为( )
A.b0，a≠1)的值域是[3，＋∞)，则实数a的取
值范围是( )
A. B.
C.(1，2] D.[2，＋∞)
热点二 函数的零点
判断函数零点个数的方法：
(1)利用零点存在定理判断；(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函
数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求
导的方法判断函数的单调性.
考向1 函数零点的判断
例2 (2024·重庆七校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当
x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，函数g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，g(x)＝lg
x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点的个数是________.
考向2 求参数的值或取值范围
例3 (2024·抚顺联考)若函数f(x)＝恰有3个零点，则a的取值范围为( )
A.(－5，－4) B.(－4，－3)
C.(－5，－4] D.(－4，－3]
考向3 零点的代数式问题
例4 (多选)(2024·青岛模拟)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)＋a的四个零点分别为
x ，x ，x ，x ，且x 20
3 4 3 4
规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
(1)直接法：利用零点存在定理构建不等式确定参数的取值范围；
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，
然后数形结合求解.
训练2 (1)(2024·北京延庆调研)已知函数f(x)＝－x，那么在下列区间中含有零点的为( )
A. B.
C. D.(1，2)
(2)(2024·海南质检)函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(3)(2024·南京、盐城质检)已知函数f(x)＝若互不相等的实数x ，x ，x 满足f(x )
1 2 3 1
＝f(x )＝f(x )，则x ＋x ＋x 的范围是( )
2 3 1 2 3
A.(2，8) B.(－8，4)C.(－6，0) D.(－6，8)
热点三 函数模型及其应用
应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键：
(1)一般程序：
⇒⇒⇒
(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地写出相关函数解析式，然后应用函
数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.
例5 (多选)(2024·山东部分学校联考)某同学根据著名物理学家、数学家牛顿的物
体冷却模型：若物体原来的温度为 θ (单位：℃)，环境温度为θ (θ <θ ，单位：
0 1 1 0
℃)，物体的温度冷却到θ(θ>θ ，单位：℃)需用时t(单位：分钟)，推导出函数关
1
系为t＝f(θ)＝[ln(θ －θ )－ln(θ－θ )]，k为正常数.现有一壶开水(100 ℃)放在室温
0 1 1
为20 ℃的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则
(参考数据：ln 2≈0.7)( )
A.函数关系θ＝θ ＋(θ －θ )ekt也可作为这壶开水的冷却模型
1 0 1
B.当k＝时，这壶开水冷却到40 ℃大约需要28分钟
C.若f(60)＝10，则f(30)＝30
D.这壶开水从100 ℃冷却到70 ℃所需时间比从70 ℃冷却到40 ℃所需时间短
规律方法 1.构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型；
(2)构建的函数模型有误；
(3)忽视函数模型中变量的实际意义.
2.解决新概念信息题的关键
(1)仔细审题，明确问题的实际背景，依据新概念进行分析；
(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.
训练3 (2024·广东名校联考)某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，
使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有
的污染物数量为2.25 g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为
2.21 g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量r 满足函数模型r
n n
＝r ＋(r －r )·30.25n＋t(t∈R，n∈N*)，其中r 为改良工艺前所排放的废水中含有的
0 1 0 0
污染物数量，r 为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良
1
工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过 0.25 g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要(参考数据：
lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A.15次 B.16次
C.17次 D.18次
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·长沙质检)函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
2.(2024·长治调研)函数f(x)＝log (|x|－1)的大致图象是( )
2
3.(2024·浙江名校协作体联考)已知函数y＝log (ax2－x)在区间(1，2)上单调递增，
2
则a的取值范围为( )
A. B.
C. D.[1，＋∞)
4.(2024·成都诊断)海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用 I ＝I e－KD表示
D 0
其总衰减规律，其中K是平均消光系数(也称衰减系数)，D(单位：米)是海水深
度，I (单位：坎德拉)和I (单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强.已
D 0
知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为(参
考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)( )
A.0.12 B.0.11
C.0.07 D.0.01
5.(2024·昆明调研)若函数f(x)＝a＋x＋lg x(1
2 2
C.log x ＋x
2 1 2 2 1 2
8.设正实数a，b，c分别满足＝2a，＝log b，＝log c，则a，b，c的大小关系为(
2 3
)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.a>c>b
二、多选题
9.(2024·昆明调研)下列计算正确的是( )
A.－60－＝－1
B.＋ln(ln e)＝7
C.log 3×log 4＝log 7
2 3 6
D.lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0
10.(2024·唐山部分学校联考)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费
满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场
消费.已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax
＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖
的面值是五等奖的面值的3倍，则( )
A.a＝－ln 5
B.k＝15
C.一等奖的面值为3 130元
D.三等奖的面值为130元
11.(2024·河南名校联考)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点
定理，该定理表明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f(x)，在其定
义域内存在一个x ，使得f(x )＝x .现定义x 为函数f(x)的一个“不动点”.那么下
0 0 0 0
列函数具有“不动点”的是( )A.f(x)＝|ln x| B.f(x)＝x2＋2x＋1
C.f(x)＝ D.f(x)＝ex＋2x
三、填空题
12.(2024·杭州调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0，2]上单调递减，
f(x＋2)为偶函数，若 f(x)＝m在[0，12]上恰好有4个不同的实数根x ，x ，x ，
1 2 3
x ，则x ＋x ＋x ＋x ＝________.
4 1 2 3 4
13.随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废
气中污染物的含量为1.2 mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少
20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，若要使该
工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为________.(参
考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)
14.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x >x >0时，－>－.若f(2)＝e2＋1，则
2 1
ln xf(ln x)－xln x>2的解集为________.
【解析版】
1.(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log 0.2，则a，b，c的大小关系为(
4.2
)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
答案 B
解析 由函数y＝4.2x单调递增可知，0a>c，选B.
4.2
2.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2 .记a＝f，b＝f，c＝f，则( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
答案 A
解析 y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)
上单调递减，
所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调
递减.
且f(x＋2)＝e－(x+1)2
，
f(－x)＝e－(－x－1)2 ＝e－(x+1)2
，则f(x＋2)＝f(－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以c＝f＝f，
又<2－<<1，
所以fc>a，故选A.
3.(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分
别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.
如果某河流治理前后的生物种类数 S没有变化，生物个体总数由 N 变为N ，生
1 2
物丰富度指数由2.1提高到3.15，则( )
A.3N ＝2N B.2N ＝3N
2 1 2 1
C.N＝N D.N＝N
答案 D
解析 由题意，得＝2.1，＝3.15.
若S不变，则2.1ln N ＝3.15ln N ，
1 2
即2ln N ＝3ln N ，所以N＝N.
1 2
4.(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1，1)
时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点.则a＝( )
A.－1 B.
C.1 D.2
答案 D
解析 由题意知f(x)＝g(x)，则a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，
即cos x＝a(x2＋1)－1.
令h(x)＝cos x－a(x2＋1)＋1.
易知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(－1，1)上有唯一零点，
所以h(0)＝0，即cos 0－a(0＋1)＋1＝0，
得a＝2，故选D.
【热点突破】
热点一 基本初等函数的图象与性质
1.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a＞0，且a≠1)互为反函数，
a
其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分 0＜a＜1，a＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同.
2.幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1，2，3，，－1五种情况.
例1 (1)(2024·武汉调研)在同一平面直角坐标系中，函数y＝log (－x)，y＝(a>0，
a
且a≠1)的图象可能是( )
(2)(多选)(2024·福州名校联考)已知函数f(x)＝4x＋＋2，则下列说法正确的是(
)
A.f(x)在(－∞，0)上单调递增
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象关于点(0，1)对称
D.不等式f(x＋1)<的解集是(－2，0)
答案 (1)C (2)BD
解析 (1)因为函数y＝log (－x)的图象与函数y＝log x的图象关于y轴对称，所
a a
以函数y＝log (－x)的图象恒过定点(－1，0)，故选项A，B错误.
a
当a>1时，函数y＝log x在(0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝log (－x)在(－∞，
a a
0)上单调递减，而y＝(a>1)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，故D错误，C正
确.
(2)对于A，当x<0时，f′(x)＝4xln 4－ln 4＝(4x－4－x)ln 4<0，所以f(x)在(－∞，0)
上单调递减，故A错误；
对于B，f(x)的定义域为R，f(－x)＝4－x＋＋2＝＋4x＋2＝f(x)，所以f(x)的图象关
于y轴对称，故B正确；
对于C，因为f(x)＋f(－x)＝2＋4>2，故函数f(x)的图象不关于点(0，1)对称，故C
错误；
对于D，由f(x＋1)＝4x＋1＋＋2<，得(4x＋1)2－·4x＋1＋1<0，则<4x＋1<4，可得－10，a≠1)的值域是[3，＋∞)，则实数a的取
值范围是( )
A. B.
C.(1，2] D.[2，＋∞)
答案 (1)B (2)A
解析 (1)由y＝log x在(0，＋∞)上单调递增，知a＝log 0.90.30.3.
故a1，当x<－2时，－1a－2－1，因为函数f(x)的值域为[3，＋∞)，
所以a－2－1≥3，又0－1＝3，所以f(x)的值域为[3，＋∞)，符合题意，排除C和D；
若a＝，当x<－2时，f(x)＝－1>－1＝8，所以f(x)的值域为[3，＋∞)，符合题意，
排除B，故选A.
热点二 函数的零点
判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在定理判断；
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函
数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求
导的方法判断函数的单调性.
考向1 函数零点的判断
例2 (2024·重庆七校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当
x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，函数g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，g(x)＝lg
x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点的个数是________.
答案 11
解析 因为f(x－1)＝f(x＋1)，
所以f(x)＝f(x＋2)，则f(x)的周期为2，
又f(x)为偶函数，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，
所以可利用f(x)的周期性与奇偶性作出f(x)的大致图象，
因为g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，g(x)＝lg x，
所以函数y＝g(x)的大致图象如图所示.
考虑特殊位置，当x＝－1时，f(－1)＝1，g(－1)＝－g(1)＝－lg 1＝0；
当x＝9时，f(9)＝f(1)＝f(－1)＝1，g(9)＝lg 9<1；
当x＝11时，f(11)＝f(1)＝1，g(11)＝lg 11>1，
函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数即函数y＝f(x)与函数y＝g(x)图象的交点个数，
所以由图象可知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)图象的交点个数为11(不要忽略原点).
考向2 求参数的值或取值范围
例3 (2024·抚顺联考)若函数f(x)＝恰有3个零点，则a的取值范围为( )
A.(－5，－4) B.(－4，－3)
C.(－5，－4] D.(－4，－3]
答案 A
解析 由f(x)＝0，得a＝作出g(x)＝的图象，如图所示.由图可知，当a∈(－5，－4]时，直线y＝a与函数g(x)的图象有3个交点，从而
f(x)有3个零点.
又 x2－4x－a>0 对 x>0 恒成立，即 a0 恒成立，即 a<(x2－4x) ，
min
x>0，当x＝2时，y＝x2－4x，x>0取得最小值－4，所以a<－4，故a∈(－5，－
4).故选A.
考向3 零点的代数式问题
例4 (多选)(2024·青岛模拟)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)＋a的四个零点分别为
x ，x ，x ，x ，且x 20
3 4 3 4
答案 BCD
解析 f(x)＝的图象如图所示.
g(x)＝f(x)＋a有四个零点x ，x ，x ，x ，且x 0时，f(x)＝|2x－4|，
因为|2
x3－4|＝|2 x4－4|，
所以4－2
x3＝2 x4－4，即2 x4＋2 x3＝8，
所以2
x4＋2 x3＝8>2，
即2
x4＋x3<16＝24，所以x
＋x <4，故C正确.
3 4
又2
x4＝8－2 x3，所以2
x3＋4 x4＝2 x3＋2 2x4＝2 x3＋(8－2 x3)2，
令t＝2
x3，t∈(1，4)，
则2
x3＋4 x4＝t＋(8－t)2＝t2－15t＋64，
令h(x)＝x2－15x＋64，x∈(1，4)，函数图象的对称轴为直线 x＝，所以函数h(x)
＝x2－15x＋64在(1，4)上单调递减，
所以h(x)>h(4)＝20，
即t2－15t＋64>20，所以2x ＋4x >20，
3 4
故D正确.故选BCD.
规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
(1)直接法：利用零点存在定理构建不等式确定参数的取值范围；
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，
然后数形结合求解.
训练2 (1)(2024·北京延庆调研)已知函数f(x)＝－x，那么在下列区间中含有零点的为( )
A. B.
C. D.(1，2)
(2)(2024·海南质检)函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(3)(2024·南京、盐城质检)已知函数f(x)＝若互不相等的实数x ，x ，x 满足f(x )
1 2 3 1
＝f(x )＝f(x )，则x ＋x ＋x 的范围是( )
2 3 1 2 3
A.(2，8) B.(－8，4)
C.(－6，0) D.(－6，8)
答案 (1)B (2)C (3)A
解析 (1)易知函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
因为f＝－>0，f＝－<0，所以f·f<0，
由函数零点存在定理知在区间内有零点.故选B.
(2)函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象
的交点个数，分别作出f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象，如图所示，由图可
知，两图象有2个交点，故原函数有2个零点，故选C.(3)画出函数f(x)的图象如图.
令x θ ，单位：℃)需用时t(单位：分钟)，推导出函数关
1
系为t＝f(θ)＝[ln(θ －θ )－ln(θ－θ )]，k为正常数.现有一壶开水(100 ℃)放在室温
0 1 1
为20 ℃的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则
(参考数据：ln 2≈0.7)( )
A.函数关系θ＝θ ＋(θ －θ )ekt也可作为这壶开水的冷却模型
1 0 1
B.当k＝时，这壶开水冷却到40 ℃大约需要28分钟
C.若f(60)＝10，则f(30)＝30
D.这壶开水从100 ℃冷却到70 ℃所需时间比从70 ℃冷却到40 ℃所需时间短答案 BCD
解析 对于A，由t＝f(θ)＝[ln(θ －θ )－ln(θ－θ )]，得kt＝ln，所以＝ekt，故θ＝
0 1 1
θ ＋(θ －θ ).A错误.
1 0 1
对于B，由题意可知t＝f(θ)＝[ln(100－20)－ln(θ－20)]＝ln ，t＝20ln＝20ln 4＝
40ln 2≈40×0.7＝28，B正确.
对于C，由f(60)＝10，得ln ＝10，即k＝，则f(30)＝·ln ＝ln 8＝30，C正确.
对于D，设这壶开水从100 ℃冷却到70 ℃所需时间为t 分钟，则t ＝ln ＝(ln 8
1 1
－ln 5)，设这壶开水从70 ℃冷却到40 ℃所需时间为t 分钟，则t ＝ln ＝(ln 5
2 2
－ln 2)，因为t －t ＝(ln 8＋ln 2－2ln 5)＝ln <0，所以t 0，f(1)＝3－lg 3>0，f(2)＝1－lg 5>0，f(3)＝－1－lg 7<0，
所以函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(2，3).故选C.
2.(2024·长治调研)函数f(x)＝log (|x|－1)的大致图象是( )
2
答案 B
解析 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).易知函数f(x)是偶函数，排除C，
D；当x>1时，f(x)是增函数，排除A.故选B.
3.(2024·浙江名校协作体联考)已知函数y＝log (ax2－x)在区间(1，2)上单调递增，
2
则a的取值范围为( )
A. B.
C. D.[1，＋∞)答案 D
解析 令t=ax2－x因为函数y＝log (ax2－x)在区间(1，2)上单调递增,
2
所以函数y＝log (ax2－x)在区间(1，2)上有意义，且t＝ax2－x在(1，2)上单调递
2
增，
所以a≠0，则或解得a≥1，
所以a的取值范围为[1，＋∞).故选D.
4.(2024·成都诊断)海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用 I ＝I e－KD表示
D 0
其总衰减规律，其中K是平均消光系数(也称衰减系数)，D(单位：米)是海水深
度，I (单位：坎德拉)和I (单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强.已
D 0
知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为(参
考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)( )
A.0.12 B.0.11
C.0.07 D.0.01
答案 A
解析 由题意得，30%I ＝I e－10K，即30%＝e－10K，
0 0
两边取自然对数得，－10K＝ln 3－ln 10＝ln 3－ln 2－ln 5，
所以K＝≈＝0.12.故选A.
5.(2024·昆明调研)若函数f(x)＝a＋x＋lg x(1，则b>c.
由于5＝5>5×2＝10，所以>log 10，
5
而a＝>，故a>b，所以c
2 2
C.log x ＋x
2 1 2 2 1 2
答案 B
解析 因为(x ，y )，(x ，y )为函数y＝2x的图象上两个不同的点，
1 1 2 2
所以y ＝2 x1，y ＝2 x2，且x ≠x ，则2 x1≠2 x2，
1 2 1 2
所以y ＋y ＝2
x1＋2 x2>2＝2，
1 2
所以>>0，
所以log >log＝，故选B.
2 2
8.设正实数a，b，c分别满足＝2a，＝log b，＝log c，则a，b，c的大小关系为(
2 3
)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.a>c>b
答案 C
解析 在同一坐标系中，作出y＝2x，y＝，
y＝log x，y＝log x的图象，由图象得c>b>a.
2 3
二、多选题
9.(2024·昆明调研)下列计算正确的是( )
A.－60－＝－1
B.＋ln(ln e)＝7C.log 3×log 4＝log 7
2 3 6
D.lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0
答案 ABD
解析 对于A，原式＝－1－＝－1，所以A正确；
对于B，原式＝＋ln(ln e)＝7＋ln 1＝7，所以B正确；
对于C，原式＝×＝×＝2，所以C错误；
对于D，原式＝lg 52＋lg 23－lg 200＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)－lg＝2－2＝0，所以D
正确.故选ABD.
10.(2024·唐山部分学校联考)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费
满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场
消费.已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax
＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖
的面值是五等奖的面值的3倍，则( )
A.a＝－ln 5
B.k＝15
C.一等奖的面值为3 130元
D.三等奖的面值为130元
答案 ACD
解析 由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，所以＝e－a＝＝5，则a＝－
ln 5，故A正确.
由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.因为四等奖的面值
是五等奖的面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，解得k＝5，故B错误.
三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130元，故D正确.
由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3 130，故一等奖的面值为3 130元，故
C正确.故选ACD.
11.(2024·河南名校联考)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点
定理，该定理表明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f(x)，在其定
义域内存在一个x ，使得f(x )＝x .现定义x 为函数f(x)的一个“不动点”.那么下
0 0 0 0
列函数具有“不动点”的是( )
A.f(x)＝|ln x| B.f(x)＝x2＋2x＋1
C.f(x)＝ D.f(x)＝ex＋2x答案 AD
解析 对于A，假设函数f(x)＝|ln x|存在“不动点”，则方程|ln x|＝x有解，结
合对数函数的图象可知方程有解，所以函数 f(x)＝|ln x|存在“不动点”，故A满
足.
对于B，假设函数f(x)＝x2＋2x＋1存在“不动点”，则方程x2＋2x＋1＝x有解，
得x2＋x＋1＝0，因为判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以方程x2＋2x＋1＝x无解，故
假设不成立，即函数f(x)＝x2＋2x＋1不存在“不动点”，故B不满足.
对于C，假设函数f(x)＝存在“不动点”，则方程f(x)＝x有解，当x≤0时，方程
为|2x＋1|＝x，无解.当x>0时，方程为sin x＝x.令g(x)＝sin x－x，则g′(x)＝cos
x－1≤0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(0，＋∞)上，g(x)0时sin x0，所以函数h(x)＝ex＋x在(－2，1)上存在零点，即ex＋2x＝x有解，所以函
数f(x)＝ex＋2x存在“不动点”，故D满足.
三、填空题
12.(2024·杭州调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0，2]上单调递减，
f(x＋2)为偶函数，若 f(x)＝m在[0，12]上恰好有4个不同的实数根x ，x ，x ，
1 2 3
x ，则x ＋x ＋x ＋x ＝________.
4 1 2 3 4
答案 24
解析 由f(x＋2)为偶函数，可知函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是奇
函数，
所以f(x)是周期函数，周期为8.
作出函数f(x)在[0，12]上的大致图象趋势如图所示，作出直线y＝m，
由图可知，若f(x)的图象与直线y＝m在[0，12]上有4个交点，
则f(2)x >0时，－>－.若f(2)＝e2＋1，则
2 1
ln xf(ln x)－xln x>2的解集为________.
答案 (1，e2)
解析 由－>－，
得x f(x )－x e
x1>x
f(x )－x e
x2.
1 1 1 2 2 2
令g(x)＝xf(x)－xex，
则g(x )>g(x )，又x >x >0，
1 2 2 1
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
得g(ln x)＝f(ln x)ln x－xln x>2.
因为g(2)＝2f(2)－2e2＝2，
所以g(ln x)>g(2)，所以0
