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专题 14 指、对、幂形数的大小比较问题
【命题规律】
指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以
选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．
【核心考点目录】
核心考点一：直接利用单调性
核心考点二：引入媒介值
核心考点三：含变量问题
核心考点四：构造函数
核心考点五：数形结合
核心考点六：特殊值法、估算法
核心考点七：放缩法
核心考点八：不定方程
【真题回归】
1．（2022·天津·统考高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·统考高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·天津·统考高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行
大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
【核心考点】
核心考点一：直接利用单调性
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知三个函数 的零
点依次为 ，则 的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2022春·辽宁大连·高三校联考期中）已知 ， ， ， ，则a，b，c的大小
关系正确的为（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c
例3．（2022春·贵州黔东南·高二凯里一中阶段练习）设 ， ， ，则 、 、
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则正数 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
核心考点二：引入媒介值
【典型例题】
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．例7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
例8．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知 ， ， ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
例9．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知 ，则a，b，c的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
例10．（2023·全国·高三专题练习）三个数a＝0.42，b＝log 0.3，c＝20.6之间的大小关系是（ ）
2
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
核心考点三：含变量问题
【典型例题】
例11．（2022·广西·统考模拟预测）已知正数 满足 且 成等比数列，则 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
例12．（2022春·湖南岳阳·高三统考阶段练习）已知正数 ，满足 ，则 的大小关
系为（ ）
A． B．
C． D．
例13．（2022春·湖北·高三校联考开学考试）已知 均为不等于1的正实数，且 ，
则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足 ，则a，b，c的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知 且 ， ， ，则a，
b，c的大小关系为（ ）
A． B．C． D．
例16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知 ，记 ，则
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
核心考点四：构造函数
【典型例题】
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
例18．（四川省眉山市2023届高三第一次诊断性考试数学（文）试题）设 ， ，
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
例19．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）设 ， ， ，则 的大小关系
正确的是（ ）
A． B． C． D．
例20．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系正
确的是（ ）
A． B． C． D．
例21．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则 的大小关系是
___________.
例22．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）设 ， ，
，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例23．（2022春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知 ，则
的大小关系是（ ）A． B．
C． D．
例24．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
核心考点五：数形结合
【典型例题】
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 的零点分
别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
例26．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数 ， ， 满足 ， ，
，则a，b，c的大小关系为( )
A． B． C． D．
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
例28．（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“
”、“内卷”、“躺平”等．定义方程 的实数根 叫做函数 的“躺平点”．若函数
， 的“躺平点”分别为 ， ，则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
核心考点六：特殊值法、估算法
【典型例题】
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
例30．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
例31．（2023·全国·高三专题练习）若 ， ， ， ，则 ， ， 这三个数的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
核心考点七：放缩法
【典型例题】
例32．（2022·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
例33．（2023·全国·高三专题练习）已知： ， ， ，则 、 、 大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
例34．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知实数 满足 ， ，
，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
例35．（2022·全国·高三专题练习）己知 ，设 ，则a，b，c的
大小关系为_______．（用“ ”连接）
核心考点八：不定方程
【典型例题】
例36．（2022·宁夏·银川一中一模（文））已知实数a，b，c，满足 ，则a，b，c的大小关系
为（ ）
A． B．
C． D．
例37．（2023·全国·高三专题练习）正实数 满足 ，则实数 之间
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【新题速递】
一、单选题
1．（2022春·天津和平·高三耀华中学阶段练习）已知 ， ， ，则
（ ）A． B． C． D．
2．（2022·浙江·模拟预测）已知正数 ， ， 满足 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知正实数x，y，z满足 ，
则不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023春·山东济南·高三统考期中）设方程 和 的根分别为 和 ，函数
，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数 ， ， 满足 ， ，
，则a，b，c的大小关系为( )
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且满足 ，则下列正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的零点为a，函数 的零点为b，
则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．9．（2023·全国·高三专题练习）在给出的① ；② ；③ ．三个不等式中，
正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则下列选项正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， 则a，b，c的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足 ， ，则下列判断正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
18．（2023·全国·高三专题练习）当 时，不等式 成立．若 ，则
（ ）
A． B．C． D．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·全国·模拟预测）下列不等式关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2022春·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）下列大小关系正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
22．（2022·湖南·模拟预测）已知 ， ，且 ，则下列结论一定正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
23．（2022·福建泉州·统考模拟预测）若 ，则下列式子可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2022春·江苏泰州·高三泰州中学校考开学考试）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·湖南长沙·雅礼中学校联考二模）下列不等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
26．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
