文档内容
专题 2.11 指数与指数函数-重难点题型精讲
1．分数指数幂
(1) ＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于
0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 00时， y >1 ；当x<0
(5)当x>0时， 0< y <1 ；当x<0时， y >1
性质 时， 0< y <1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
数
3．底数对指数函数图象的影响
指数函数y= (a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.
(1)无论是a>1还是01时，a越大，图象越靠近y轴；0 的不等式，可借助函数y= 的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与
0b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y= 的
单调性求解.
(3)图象法：解形如 > 的不等式.可利用对应的函数图象求解.
【例5】（2020秋•兴庆区校级期中）不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2）
【解题思路】利用指数函数的单调性解不等式．
【解答过程】解：因为0＜a＜1，
所以由不等式ax﹣3＞a1﹣x可得：x﹣3＜1﹣x，
解得：x＜2，
所以不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是：（﹣∞，2）．
故选：C．
【变式5-1】（2021秋•北京校级期中）不等式4x﹣3×2x+1﹣16＞0的解集是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣3，1）
C．（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解题思路】令t＝2x，（t＞0），利用换元法，我们可以将不等式4x﹣3×2x+1﹣16＞0转化为二次不等
式，进而由指数函数的单调性得到不等式4x﹣3×2x+1﹣16＞0的解集．
【解答过程】解：令t＝2x，（t＞0）
则不等式4x﹣3×2x+1﹣16＞0可化为
t2﹣6t﹣16＞0
解得t＞8，或t＜﹣2（舍去）
即2x＞8解得x＞3
故不等式4x﹣3×2x+1﹣16＞0的解集（3，+∞）
故选：C．
【变式5-2】（2021秋•深州市校级期末）已知函数f（x）＝2x|2x﹣a|，若0≤x≤1时f（x）≤1，则实数a
的取值范围为（ ）
7 5 3 3 5
A．[ ，2] B．[ ，2] C．[ ，2] D．[ ， ]
4 3 2 2 3
【解题思路】由已知结合绝对值不等式进行转化，然后结合基本不等式及指数函数单调性可求．
【解答过程】解：因为f（x）＝2x|2x﹣a|，
若0≤x≤1时，由f（x）≤1，得﹣2﹣x≤a﹣2x≤2﹣x，
所以2x﹣2﹣x≤a≤2x+2﹣x，
若0≤x≤1，则2x+2﹣x 2，当且仅当x＝0时取等号，
≥2√2x ⋅2−x=
又y＝2x﹣2﹣x在[0，1]上单调递增，
1 3
所以y＝2x﹣2﹣x≤2− = ，
2 2
3
所以 ≤a≤2．
2
故选：C．
【变式5-3】（2021秋•黄埔区校级期中）已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，
则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（ ）
−1 −1
A．（﹣∞， ） B．（ ，+∞）
5 5
−1 −1
C．（﹣∞， ）∪（ ，+∞） D．R
5 5
【解题思路】根据函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，求出a的范围，得到函数y＝ax的单调性，将
a3x+1＞a﹣2x转化为x的不等式即可．
【解答过程】解：依题意，a﹣1＜0，即0＜a＜1，
所以函数y＝ax为R上的减函数，
由a3x+1＞a﹣2x可得，3x+1＜﹣2x，
1
解得x＜− ，
5
故选：A．【题型6 与指数函数有关的复合函数问题】
【方法点拨】
1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域
(1)y=af(x)的定义域就是f(x)的定义域.
(2)求y=af(x)和y=f(ax)的值域的解法.
①求形如y=af(x)的函数的值域，要先令u=f(x)，求出u=f(x)的值域，再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值
域.若a的值不确定，则需要对a进行分类讨论：当01时，y=au为增函数.
②求形如y=f(ax)的函数的值域，要先求出u=ax的值域，再结合y=f(u)的单调性确定y=f(ax)的值域.
2.与指数函数有关的复合函数的单调性
形如y=af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，则函数f(x)的单调增(减)区间
即函数y=af(x)的单调增(减)区间；若0
