文档文本内容
专题 2.11 指数与指数函数-重难点题型精讲
1．分数指数幂
(1) ＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于
0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 0<a<1
图象
定义域 (1)R
值域 (2) (0 ，＋ ∞ )
(3)过定点(0,1)
(4)当x>0时， y >1 ；当x<0
(5)当x>0时， 0< y <1 ；当x<0时， y >1
性质 时， 0< y <1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
数
3．底数对指数函数图象的影响
指数函数y= (a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.
(1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图
高”.(2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近
y轴.
(3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.
【题型1 指数幂的运算】
指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加，运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
√3
【例1】（2022•稷山县校级开学）√3×3 ×√612的化简结果为（ ）
2
A．2 B．3 C．4 D．6
【解题思路】直接利用指数的运算的应用求出结果．
1 1 1 1 1 1
√3 −
【解答过程】解：√3×3 ×√612=32×33×2 3×36×26×26=31×20=3．
2
故选：B．
【变式1-1】（2021秋•沈阳月考）下列运算结果中，正确的是（ ）
A．（﹣a2）3＝（﹣a3）2 B．（﹣a2）3＝a6
C．a2•a3＝a5 D．
√n an=a
【解题思路】利用指数幂的运算性质逐个判断各个选项即可．
【解答过程】解：对于选项A：（﹣a2）3＝﹣a6，（﹣a3）2＝a6，故选项A错误，
对于选项B：（﹣a2）3＝﹣a6，故选项B错误，
对于选项C：a2•a3＝a5，故选项C正确，
对于选项D：当n为偶数时， |a|；当n为奇数时， a，故选项D错误，
√n an= √n an=
故选：C．
【变式1-2】（2022•茂名模拟）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）A． −√x=(−x) 1 2 B． x − 3 4= √ 4 ( 1 ) 3 (x＞0)
x
C． 1 D． 3 1
√6 y2= y3 [√3 (−x) 2 ]4=x2(x＜0)
【解题思路】根据指数幂的运算法则化简判断即可．
【解答过程】解：对于A： x 1，故A不成立；
−√x=−
❑2
3
− √ 1
对于B：x 4=4 ( ) 3（x＞0），故B成立；
x
对于C： √6 y2= |y|
❑3
1，故C不成立；
对于D：[√3
(−x)
2]
❑
3
4=
（﹣x）
❑3
2）
❑
3
4=
（﹣x）
❑
1
2
，x＜0，故D不成立．
故选：B．
1 √ 27
【变式1-3】（2021秋•惠阳区校级月考）（1 ）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷3 ( ) 2的值为（ ）
2 8
1 1 4 7
A．− B． C． D．
3 3 3 3
【解题思路】根据指数幂的运算性质即可求出．
3 4 7
【解答过程】解：原式＝1﹣（1﹣4）÷（ ）2＝1+3× = ．
2 9 3
故选：D．
【题型2 指数方程】
指数方程常见的类型有：(1) f(x)=g(x)；(2) =0.
其中类型(1)利用同底法解，类型(2)利用换元法解.
【例2】（2021秋•凉州区校级月考）解方程：
（1）9﹣x﹣2•31﹣x＝27；
（2）6x+4x＝9x．
【解题思路】（1）把原方程化为关于3﹣x的一元二次方程求解，然后求解指数方程得答案；
2
（2）把原方程化为关于( ) x的一元二次方程求解，然后求解指数方程得答案．
3
【解答过程】解：（1）由9﹣x﹣2•31﹣x＝27，得（3﹣x）2﹣6•3﹣x﹣27＝0，
即（3﹣x+3）（3﹣x﹣9）＝0，
而3﹣x+3≠0，
∴3﹣x﹣9＝0，
3﹣x＝32，
x＝﹣2；
（2）由6x+4x＝9x，得
2 4
( )
x+(
)
x=1，
3 9
2 2
( )
2x+(
)
x−1=0，
3 3
2 √5−1
解得( ) x= ．
3 2
x √5−1．
=log
2 2
3
【变式2-1】（2021秋•芜湖期末）解关于x的方程4x﹣2x+1﹣3＝0．
【解题思路】方程4x﹣2x+1﹣3＝0变为（2x）2﹣2•2x﹣3＝0，因式分解为（2x﹣3）（2x+1）＝0，即可
得出．
【解答过程】解：方程4x﹣2x+1﹣3＝0变为（2x）2﹣2•2x﹣3＝0，
∴（2x﹣3）（2x+1）＝0，
∵2x+1＞0，
∴2x﹣3＝0，
解得x＝log 3．
2
【变式2-2】解方程：x2+√√5−x−√5=0．
【解题思路】令t 0，则 5 0，由此能示出原方程的解集．
=√5−x≥ t2+(1−2√5)t+ −√5=
【解答过程】解：令t=√5−x≥0，则x=√5−t，
∴x2=5+t2−2√5t，
∴ 5 0，
t2+(1−2√5)t+ −√5=
4（5 ）＝1，
Δ=(1−2√5) 2− −√52√5−1±1
∴t= ，∴t=√5或t=√5−1，
2
∴x＝0或x＝1（经检验得x＝1不合题意，舍去）．
综上，原方程：x2+√√5−x−√5=0的解集为{0}．
【变式2-3】（2021秋•武汉校级期中）解方程：6•（9x+9﹣x）﹣25（3x﹣3﹣x）+12＝0．
【解题思路】因为9x+9﹣x＝（3x﹣3﹣x）2+2，故可用换元法，令3x﹣3﹣x＝t，转化为二次方程求解．
【解答过程】解：令3x﹣3﹣x＝t，则9x+9﹣x＝t2+2
原方程等价于6（t2+z）﹣25t+12＝0即6t2﹣25t+24＝0
3 8
（2t﹣3）（3t﹣8）＝0得t = ，t =
1 2
2 3
3 1 3
①当t= 时，有3x− = ，即：2﹣（3x）2﹣3•3x﹣2＝0
2 3x 2
1
（3x﹣2）（2•3x+1）＝0得3x＝2或3x=− （舍）∴x＝log 2；
3
2
8 1 8
②当t= 时，有3x− = 即：3•（3x）2﹣8•3x﹣3＝0
3 3x 3
1
（3x﹣3）•（3•3x+1）＝0得3x＝3或3x=− （舍）∴x＝1
3
综合①②可知：原方程的解为x＝1或x＝log 2．
3
【题型3 指数函数的图象及应用】
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数 a
与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
【例3】（2021秋•临渭区期末）函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（
）
A．B．
C．
D．
【解题思路】分别讨论a＞1和0＜a＜1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像情况，即可得
出答案．
【解答过程】解：根据指数函数的定义知，当a＞1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像为
图（1）所示：
当0＜a＜1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像为图（2）所示：只有选项B满足题意．
故选：B．
【变式3-1】（2020秋•越秀区校级期中）已知m＞n＞1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意利用指数函数的图象和性质，得出结论．
【解答过程】解：∵已知m＞n＞1，则当x＞0时，mx＞nx，
即指数函数①y＝mx的图象在②y＝nx的图象的上方，
故选：A．
1
【变式3-2】（2021•长春模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，y=( ) x的一个是（ ）
2
A．① B．② C．③ D．④
【解题思路】直接根据函数的图象和函数的单调性判断即可．
【解答过程】解：根据函数的图象，函数的底数决定函数的单调性，
当底数a＞1时，函数单调递增，当0＜a＜1时，函数单调递减，
当底数a＞1，满足底数越大函数的图象在x＞0时，越靠近y轴，
则③是对应函数y＝3x的图象，④是对应函数y＝2x的图象，
1 x
根据对称性，①是对应函数y=( ) 的图象，∴②不是．
2
故选：B．【变式3-3】（2021秋•中宁县校级期中）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，
则a，b，c，d与1的大小是（ ）
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d
【解题思路】作直线x＝1，根据直线x＝1与四个指数函数图象交点的纵坐标即可判断出a，b，c，d的
大小关系．
【解答过程】解：作直线 x＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为（1，a），（1，b），（1，
c），（1，d），
由图象可知纵坐标的大小关系为0＜b＜a＜1＜d＜c，
故选：B．
【题型4 比较幂值的大小】
利用指数函数的单调性，来比较幂值的大小；比较大小时，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借
助中间量．
【例4】（2021秋•怀仁市校级期末）设a＝0.60.6，b＝0.60.7，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【解题思路】利用指数函数的性质求解．
【解答过程】解：∵0＜0.60.7＜0.60.6＜0.60＝1，∴0＜b＜a＜1，
∵1.50.6＞1.50＝1，∴c＞1，
∴c＞a＞b，
故选：D．【变式4-1】（2021秋•怀仁市期中）设a＝0.70.7，b＝0.71.5，c＝1.50.7，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【解题思路】利用指数函数的单调性以及特殊值0，1进行比较即可．
【解答过程】解：因为y＝0.7x在R上为单调递减函数，0.71.5，
所以1＞0.70.7＞0.71.5＞0，
又1.50.7＞1.50＝1，
所以b＜a＜c．
故选：C．
2 2 2
【变式4-2】（2021秋•洛阳期中）若 ＜（ ）n＜（ ）m＜1，则（ ）
5 5 5
A．mn＜mm＜nm B．mm＜nm＜mn C．mm＜mn＜nm D．mn＜nm＜mm
2
【解题思路】先由指数函数y=( ) x的单调性得到m，n的大小关系和范围，再结合指数函数y＝mx和幂
5
函数y＝xm的单调性，即可比较出大小．
2
【解答过程】解：∵指数函数y=( ) x在R上单调递减，
5
2 2 2 2
∵ ＜（ ）n＜（ ）m＜1=( ) 0，
5 5 5 5
∴1＞n＞m＞0，
∴指数函数y＝mx在R上单调递减，n＞m＞0，
∴mn＜mm，
∵幂函数y＝xm在（0，+∞）上单调递增，n＞m＞0，
∴nm＞mm，
∴mn＜mm＜nm，
故选：A．
3 2 1
【变式4-3】（2021秋•姜堰区校级期中）已知a=( ) −0.3，b=1.10.7 ，c=( )3，将a，b，c按照从小到
2 3
大的顺序排列为（ ）
A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a
【解题思路】结合指数函数的单调性即可比较函数值的大小．
【解答过程】解：a＝（ 3 ）﹣0.3＝（ 2 ）0.3 （0，1），c＝（ 2 ） 1 （0，1）且（ 2 ）0.3＞（ 2 ） 1
2 3 3
❑3
3 3
❑3
∈ ∈，b＝1.10.7＞1，
所以b＞a＞c．
故选：C．
【题型5 解指数不等式】
指数不等式的三种求解方法：
(1)性质法：解形如 > 的不等式，可借助函数y= 的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与
0<a<1两种情况进行讨论.
(2)隐含性质法：解形如 >b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y= 的
单调性求解.
(3)图象法：解形如 > 的不等式.可利用对应的函数图象求解.
【例5】（2020秋•兴庆区校级期中）不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2）
【解题思路】利用指数函数的单调性解不等式．
【解答过程】解：因为0＜a＜1，
所以由不等式ax﹣3＞a1﹣x可得：x﹣3＜1﹣x，
解得：x＜2，
所以不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是：（﹣∞，2）．
故选：C．
【变式5-1】（2021秋•北京校级期中）不等式4x﹣3×2x+1﹣16＞0的解集是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣3，1）
C．（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解题思路】令t＝2x，（t＞0），利用换元法，我们可以将不等式4x﹣3×2x+1﹣16＞0转化为二次不等
式，进而由指数函数的单调性得到不等式4x﹣3×2x+1﹣16＞0的解集．
【解答过程】解：令t＝2x，（t＞0）
则不等式4x﹣3×2x+1﹣16＞0可化为
t2﹣6t﹣16＞0
解得t＞8，或t＜﹣2（舍去）
即2x＞8解得x＞3
故不等式4x﹣3×2x+1﹣16＞0的解集（3，+∞）
故选：C．
【变式5-2】（2021秋•深州市校级期末）已知函数f（x）＝2x|2x﹣a|，若0≤x≤1时f（x）≤1，则实数a
的取值范围为（ ）
7 5 3 3 5
A．[ ，2] B．[ ，2] C．[ ，2] D．[ ， ]
4 3 2 2 3
【解题思路】由已知结合绝对值不等式进行转化，然后结合基本不等式及指数函数单调性可求．
【解答过程】解：因为f（x）＝2x|2x﹣a|，
若0≤x≤1时，由f（x）≤1，得﹣2﹣x≤a﹣2x≤2﹣x，
所以2x﹣2﹣x≤a≤2x+2﹣x，
若0≤x≤1，则2x+2﹣x 2，当且仅当x＝0时取等号，
≥2√2x ⋅2−x=
又y＝2x﹣2﹣x在[0，1]上单调递增，
1 3
所以y＝2x﹣2﹣x≤2− = ，
2 2
3
所以 ≤a≤2．
2
故选：C．
【变式5-3】（2021秋•黄埔区校级期中）已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，
则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（ ）
−1 −1
A．（﹣∞， ） B．（ ，+∞）
5 5
−1 −1
C．（﹣∞， ）∪（ ，+∞） D．R
5 5
【解题思路】根据函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，求出a的范围，得到函数y＝ax的单调性，将
a3x+1＞a﹣2x转化为x的不等式即可．
【解答过程】解：依题意，a﹣1＜0，即0＜a＜1，
所以函数y＝ax为R上的减函数，
由a3x+1＞a﹣2x可得，3x+1＜﹣2x，
1
解得x＜− ，
5
故选：A．【题型6 与指数函数有关的复合函数问题】
【方法点拨】
1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域
(1)y=af(x)的定义域就是f(x)的定义域.
(2)求y=af(x)和y=f(ax)的值域的解法.
①求形如y=af(x)的函数的值域，要先令u=f(x)，求出u=f(x)的值域，再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值
域.若a的值不确定，则需要对a进行分类讨论：当0<a<1时，y=au为减函数；当a>1时，y=au为增函数.
②求形如y=f(ax)的函数的值域，要先求出u=ax的值域，再结合y=f(u)的单调性确定y=f(ax)的值域.
2.与指数函数有关的复合函数的单调性
形如y=af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，则函数f(x)的单调增(减)区间
即函数y=af(x)的单调增(减)区间；若0<a<1，则函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调减(增)区间；
即“同增异减”.注意，当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论.
3.求解指数型函数中的参数取值范围的基本思路
一般利用指数函数的单调性或最值进行转化，应注意对底数a进行分类讨论.
【例6】（2022春•增城区期末）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1）．
（1）若f（x）图象过点（0，2），求b的值；
a2
（2）若函数f（x）在区间[2，3]上的最大值比最小值大 ，求a的值．
2
【解题思路】（1）将点的坐标代入求出b的值；
（2）分0＜a＜1与a＞1两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求a的值．
【解答过程】解：（1）函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），f（x）图象过点（0，2），
∴f（0）＝a0+b＝1+b＝2，
解得b＝1；
（2）当0＜a＜1时，f（x）在区间[2，3]上单调递减，
此时f（x） ＝f（2）＝a2+1，f（x） ＝f（3）＝a3+1，
max min
a2 1
∴a2+1﹣（a3+1）= ，解得a= 或a＝0（舍），
2 2
当a＞1时，f（x）在区间[2，3]上单调递增，
此时f（x） ＝f（2）＝a2+1，f（x） ＝f（3）＝a3+1，
min max
a2 3
∴a3+1−(a2+1)= ，解得a= 或a＝0（舍），
2 21 3
综上，a的值为 或 ．
2 2
【变式6-1】（2021秋•新华区校级月考）已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
c⋅10x+6x
（Ⅱ）若不等式 ＞0对任意x （﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围．
f(x)+3
∈
【解题思路】（Ⅰ）由图像可知函数f（x）过点（0，﹣2）和（2，0），利用待定系数法求出a，b的
值，即可得到函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）依题意不等式c⋅10x+6x＞0，对任意x （﹣∞，2]恒成立，再利用分离参数法转化为求最值，结
合指数函数的单调性即可求出实数c的取值范∈围．
【解答过程】解：（I）因为函数f（x）＝ax+b的图象经过点（0，﹣2）和（2，0），
又注意到a＞1，
∴{a0+b=−2，解得{a=√3，
a2+b=0 b=−3
故函数f（x）的解析式为 ．
f(x)=(√3) x−3
（Ⅱ）因为由（I）知 对任意x （﹣∞，2]恒成立，
f(x)+3=(√3) x＞0
∈
所以由题设得不等式c⋅10x+6x＞0，对任意x （﹣∞，2]恒成立，
∈
即 6x ，亦即 3 对任意x （﹣∞，2]恒成立，（*）
c＞− c＞−( ) x
10x 5
∈
3
又易知函数y=−( ) x在（﹣∞，2]上单调递增，
5
3 9
所以根据（*）可得c＞−( ) 2=− ，
5 25
9
故所求实数c的取值范围(− ，+∞)．
25【变式6-2】（2021秋•鼓楼区校级期中）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数．
1
（1）若函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），求函数y= 的值域；
f(x)
（2）如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a+b的值．
【解题思路】（1）由题意先求得 a、b的值，可得函数的解析式，利用指数函数的性质求得函数
1
y= 的值域．
f(x)
（2）根据函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求得a、b的值，可得a+b的值．
【解答过程】解：（1）函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数，
{1+b=2
函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），∴ ，
a+b=3
{a=2 1 1
∴ ，∴函数f（x）＝2x+1＞1，函数y= = ＜1．
b=1 f(x) 2x+1
1 1 1
又 = ＞0，故函数y= 的值域为（0，1）．
f(x) 2x+1 f(x)
（2）如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，
{1
+b=−1
若a＞1，函数f（x）＝ax+b为增函数，∴ a ，求得a、b无解．
1+b=0
{ 1 { 1
+b=0 a=
若0＜a＜1，函数f（x）＝ax+b为减函数，∴ a ，求得 2 ，
1+b=−1 b=−2
3
∴a+b=− ．
2
【变式6-3】（2021秋•荆州区校级期中）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）．
（1）若y＝f（x）的图象过点（3，4），求a的值；
1 21
（2）试比较f(lg )与f(− )的大小；
100 10
（3）若f（lga）＝100，求实数a的值．
【解题思路】（1）由题意根据y＝f（x）的图象过点（3，4），求得a的值．
1 21
（2）讨论a的范围，利用指数函数的单调性，比较f(lg )与f(− )的大小．
100 10
（3）由题意利用对数的运算性质，求得a的值．
【解答过程】解：（1）∵函数y＝f（x）＝ax﹣1的图象经过P（3，4），∴a3﹣1＝4，即a2＝4．又a＞0，所以a＝2．
1 1
（2）当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数，∵ ＞−2.1，∴f(lg )＞f(−2.1)．
100 100
1 1
当0＜a＜1时，函数f（x）是R上的减函数，∵lg =−2＞﹣2.1，∴f(lg )＜f(−2.1)．
100 100
（3）由f（lga）＝100知，alga﹣1＝100．
所以，lgalga﹣1＝2（或lga﹣1＝log 100）．
a
∴（lga﹣1）•lga＝2．
∴lg2a﹣lga﹣2＝0，
∴lga＝﹣1，或lga＝2，
1
所以，a= ，或a＝100．
10
