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第一篇 热点、难点突破篇
专题03 函数的图象与应用（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·北京海淀·高三期中）在同一个坐标系中，函数 与 且 的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据同底的指数函数和对数函数图象关于 对称可确定结果.
【详解】由指数函数和对数函数性质可知： 与 图象关于 对称，
由选项中图象对称关系可知A正确.
故选：A.
2．（2022·海南·模拟预测）已知函数 ， ， 的图象如图所示，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数图象可确定 大小关系，结合指数函数单调性可得结果.
【详解】由图象可知： ， .
故选：C.
3．（2022·天津市建华中学高三阶段练习）若函数 的图象与 轴有公共点，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数性质可求得 的值域，由此可构造不等式求得结果.
【详解】 ， ， ，
与 轴有公共点， ，解得： .
故选：D.
4．（2022·广东·广州六中高三阶段练习）已知 ，则函数 的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】举例 ，求导分析函数的单调性再判断即可.
【详解】当 时， 且 ，则 ，
所以 上 ， 递增， 上 ， 递减， 上 ， 递减，又
时 ，而 时 ，
所以D图象可能；
故选：D
5．（2022·四川省邻水县第二中学高三阶段练习（理））定义运算 ，则函数 的
图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合函数新定义与指数函数图像求解即可.
【详解】解：因为运算 ，所以， ，
所以，根据指数函数图像可知A选项满足题意.
故选：A
6．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高三阶段练习（文））函数 的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过函数奇偶性的定义对选项逐个进行判断，再取图象上的特殊点进行排除即可.
【详解】由图可知， 在 上的图象关于 轴对称，所以 在 上为偶函数，故应先判断各选
项中函数 的奇偶性.
对A， ， 为偶函数，故A选项的函数 为其定义域
内的偶函数.
同理：
对C、D选项的 均为其定义域内的偶函数，只有 选项的 为其定义域内的奇函数，从而排除选项B.又 ，对A选项： ，所以排除A.
而由图可知 ，对C选项： ， ，故排
除C.
故选：D.
二、多选题
7．（2022·全国·高三专题练习）已知实数 满足等式 ，则下列可能成立的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】在同一坐标系内分别画出函数 和 的图像，结合图像即可判断.
【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数 和 的图像，如图所示，
由图像知，当 时， ，故选项A正确；
做出直线 ，当 时，若 ，则 ，故选项B正确；
当 时，若 ，则 ，故选项C正确；
当 时，易得 ，则 ，故选项D错误.故选：ABC.
8．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三期中）已知函数 ,则下列结论中正确的是（ ）
A． 在(0,1)单调递增
B． 在(1,2)单调递减
C． 的图像关于直线 对称
D． 的图像关于点(0,1)对称
【答案】ABC
【分析】先求定义域,用对数运算性质化为对数型复合函数,根据复合函数的单调性判断A,B的正误;再根据
和 的关系判断函数的对称性.
【详解】解：由题意知, 的定义域为 ,
,
由复合函数的单调性知,函数 在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,
所以A,B正确;
∵函数 ,
∴ ,即 ,
即 的图像关于直线 对称,
所以C正确,D错误．
故选:ABC.
三、填空题
9.（2022·广东·深圳市福田区福田中学高三阶段练习）已知函数 ，当 时，
，则 的最大值是________．【答案】 ##
【分析】分别求得 和 时对应的自变量 的值，结合 的图象可确定 的取值范围，由此
可得结果.
【详解】令 ，解得： ；令 ，解得： ；
图象如下图所示，
由图象可知： ， ， .
故答案为： .
10．（2022·黑龙江·铁人中学高三开学考试）定义在 上的函数 满足 ，且 时，
，若方程 恰有3个根，则实数 的取值范围是_________.
【答案】
【分析】根据题意可知，函数 的图象与函数 的图象有3个交点，作出函数 和
的图象,数形结合即可求出．
【详解】依题可知，函数 的图象与函数 的图象有3个交点,根据题意,可画出 和的图象,
由图可知: 解得 ．
故答案为： ．
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）函数 的大致图象为（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可排除A,C,根据特殊点处的函数值可排除B,进而可求解.
【详解】 的定义域为 ，关于原点对称，
又因为 ，所以 是定义域内的偶函数，故可排除A,C，
又 ，故可排除B，
故选：D
2．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））如图是某个函数 的图象的一部分，则该函数可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据选项判断函数的奇偶性并计算 的值，根据 的图象即可求解.【详解】对于A, ,为偶函数，且 ，
对于B， ，为奇函数，且
对于C, ，为偶函数，且 ，
对于D, ,为奇函数，且 ，
由 的图象可知： 的图象关于原点对称且过 ，
故选：B
3．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数 ，则下列命题错误的是（ ）
A．该函数图象关于点 对称；
B．该函数的图象关于直线 对称；
C．该函数在定义域内单调递减；
D．将该函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数 的图象重合．
【答案】C
【分析】依题意可得 ，再根据函数的平移变换及反比例函数 的性质判断即可.
【详解】解：
把 向右，向上分别平移1个单位即可得到 的图象，
因为 为奇函数，关于 对称，所以 的图象关于点 对称，故A正确；
则将 的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到 ，故D正确
由于函数 的图象关于 对称，根据函数的图象的平移可知函数 的图象关于
对称，故B正确
在 ， 上单调递减，但在整个定义域内不具备单调性，故C错误故选：C．
4．（2022·福建宁德·高三期中）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据特殊点的函数值、函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】 ，排除C选项.
， 的定义域为 ，
，
所以 是偶函数，排除D选项.
，所以B选项错误.
故A选项正确.
故选：A
5．（2022·北京通州·高三期中）已知函数 设 ，若函数 有两个
零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】先把函数零点问题转化成两个函数图象有交点问题，再画出图象，结合导函数求出两个函数有一个交
点时实数 的值，再结合图象分析有两个交点时实数 的取值范围.
【详解】因为函数 有两个零点，所以函数 的图象与函数 的图象有两个
不同的交点.
函数 恒过定点 , ，如图所示，两个函数图象已经有一个交点 .
时， ，其导函数 ，当直线 与函数 相切时，只有一个交
点 ，此时 ，解得 ，则当 时，有两个交点.
时， ，其导函数 ，当直线 与函数 相切时，
只有一个交点 ，此时 ，解得 ，则当 时，有两个交点.综上，要使函数 有两个零点，则实数 的取值范围是 .
故选：D.
6．（2022·河北保定·高三阶段练习）定义在 上的函数 满足 ，且当 时，
.若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求出当 ， 时，函数 的解析式，做出函数图象，结合图象可求
的范围.
【详解】因为 ，当 时， .
所以当 ， 时， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以当 ， 时，
当 时， ，
又 ，且对任意 ，都有 ，所以 ，
作出函数 在 上的图象，要使 ，则需 ，其中 ， ，
所以 ，解得 ，所以 ，
故选：B.
二、多选题
7．（2022·河北沧州·高三阶段练习）函数 的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD【分析】先根据当 时， ， 时， ，排除C，再举出适当的 的值，分别得到
ABD三个图象.
【详解】由题意知 ，则 ，当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ，
所以 的大致图象不可能为C，
而当 为其他值时，A，B，D均有可能出现，
不妨设 ，定义域为 ，此时A选项符合要求；
当 时，定义域为 ，且 ，
故函数 为奇函数，所以B选项符合要求，
当 时，定义域为 ，且 ，
故函数 为偶函数，所以D选项符合要求.
故选：ABD
8．（2022·江苏省灌南高级中学高三阶段练习）已知奇函数 的定义域为 ，若对 ，有
，且当 时， ，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数 是周期函数，且周期为2
C．函数 在区间 上的零点个数是7个
D．对 ，
【答案】BCD【分析】通过赋值法可以判断A选项；根据函数的周期性判断B选项；由对称性及函数图像即可判断C、D选
项．
【详解】解：由 ，令 得：
，
．
∵ 为奇函数，
，
，
，
所以选项A错误，选项B正确；
函数 在区间 上的零点个数等价为 的左右两函数的交点个数，
分别作出 与 的图像如下所示：
由图像易知有7个交点，
故选项C正确；
对于选项D，对 ，由对称性可知： 关于 对称，
所以 ，
又 大于0， ， 小于0， ，所以 ，
所以选项D正确．
故选：BCD．
三、填空题
9．（2022·上海师范大学附属嘉定高级中学高三期中）已知 ，若函数
的值域为 ，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】分 ， ， 讨论，结合二次函数的图像及性质即可得解.
【详解】因为 ，
当 时， ， ，不符合题意；
若 时，则 ，符合题意，故 成立；
当 ， ，因为函数 的值域为 ，
在 上的最大值为 ，则 ，
解得 ，综上， .
故答案为： .
10．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知函数 ，则满足 的x的取值范围是
________．
【答案】 .
【分析】结合函数图象，利用复合函数的单调性解不等式.
【详解】因为 ，则 ，
因为函数 ，由 有： 且 ，
因为 ，大致图象如图，①当 且 时， ，所以 ，显然满足 ；
②当 时，根据复合函数的单调性法则同增异减可得， 单调递减，
当 时，根据复合函数的单调性法则同增异减可得， 单调递增，
又 ， ，所以根据函数 的单调性有：
由 ,解得： 或 .
综上，满足 的 取值范围是 .
故答案为： .
11．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高三阶段练习）设函数 ，若关于 的方程
有四个实数解 ， ， ， ，且 ，则 的取值范围是
__________.
【答案】
【分析】方程 的解，即函数 的图象与直线 交点的横坐标，可画出函数图象，结合二次
函数的对称性和对数函数的性质求解.
【详解】函数 图象如图所示：∵关于 的方程 有四个实数解，
∴函数 的图象与直线 有四个交点，交点的横坐标分别为 ， ， ， ，且 ，
当 时， 与 关于 的对称轴 对称，
∴ .
当 时， ，且 ，
∴ ， ， ，
∴
∴ ，∴ ， ， ，
∴ ，又∵ ，∴ ，∴ .
令 ，当 时，函数 单调递减，
∴ ，即 ，
∴ .
故答案为： .
四、解答题
12．（2022·北京市八一学校附属玉泉中学高三阶段练习）已知函数 的图象经过点 ，其中
且 ．
(1)若 ，求实数 和 的值；
(2)设函数 ，请你在平面直角坐标系中作出 的简图，
①并根据图象写出该函数的单调递增区间.②求 的解集.
【答案】(1) ，
(2)①作图见解析，函数 的单调递增区间为 、 ；②
【分析】（1）由 可求得 的值，可得出函数 的解析式，进而可解方程 ，可得出 的
值；
（2）①根据函数 的解析式可作出函数 的图象，根据图象可得出函数 的单调递增区间；
②分 、 两种情况解不等式 ，综合可得出不等式 的解集.
（1）
解：由题意可得 ，解得 ，则 ，
所以， ，可得 .
（2）
解：①由（1）可得 ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，函数 的单调递增区间为 、 ；
②当 时，由 可得 ，解得 ，此时 ；当 时，由 可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，不等式 的解集为 .
