文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题03 函数的图象与应用（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题（理））函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．3．（2021·浙江·高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·天津·高考真题）已知函数 若函数 恰有4个零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5.（2019·浙江·高考真题）已知 ，函数 ，若存在 ，使得 ，则实数
的最大值是____.
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
高考对此部分内容的命题多集中于函数图象的辨识、函数图象的变换、主要有由函数的性质及解析式选图；由
函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决不等式、方程问题等．常常与导数结合考查. 应特
别注意两图象交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用. 关注抽象函数问题出现.
（二）本专题考向展示考点突破 典例分析
考向一 做函数的图象
【核心知识】
作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
描点法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称
性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
【典例分析】
典例1.（全国·高考真题（文））画出函数 的图象．
典例2.（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高三阶段练习）设函数 .
(1)证明：函数 是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；典例3.（2021·全国·高考真题（文））已知函数 ．
（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．
【总结提升】
函数图象的画法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关
键点直接作出．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．.
考向二 基本初等函数的图象
【核心知识】
1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象
a
和性质分01两种情况，着重关注两函数图象的异同．
2．幂函数y＝xα的图象，主要掌握α＝1,2,3， ，－1五种情况．
【典例分析】
典例4.（2020·山东·高考真题）已知函数 是偶函数，当 时， ，则该函数在
上的图像大致是（ ）A． B．
C． D．
典例5.（2021·四川高三三模（理））函数 及 ，则 及
的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
典例6.（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数 且 的图象可能是A． B．
C． D．
考向三 函数图象的变换及应用
【核心知识】
利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象――→y＝ － f ( x )的图象；
y＝f(x)的图象――→y＝ f ( － x ) 的图象；
y＝f(x)的图象――→y＝ － f ( － x )的图象；
(3)伸缩变换
y＝f(x)――→y＝f(ax).
y＝f(x)――→y＝Af(x).
(4)翻转变换
y＝f(x)的图象――→y＝ | f ( x ) |的图象；
y＝f(x)的图象――→y＝ f ( | x |) 的图象.
典例7.（全国·高考真题（文））若函数 的定义域为 ，则函数 与 的图象关于（ ）
A．直线 对称 B．直线 对称
C．直线 对称 D．直线 对称
典例8.（2021·北京高三二模）已知指数函数 ，将函数 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐
标扩大为原来的 倍，得到函数 的图象，再将 的图象向右平移 个单位长度，所得图象恰好与函
数 的图象重合，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
典例9.（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数 的定义域为 ，且满足 是偶函数，
，当 时， ，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．当 时， 的取值范围为
C． 为奇函数
D．方程 仅有5个不同实数解
【规律方法】
图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－
x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．
考向四 函数图象的识别
【核心知识】
识别函数图象的方法
基本方法有：(1)直接法(直接求出函数的解析式并作出其图象)；(2)特例排除法(其中用特殊点法破解函数图象
问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点)；(3)性质验证法．
【典例分析】
典例10.（2022·天津·高考真题）函数 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
典例11.（2021·天津·高考真题）函数 的图像大致为（ ）
A． B．C． D．
典例12.（2022·四川绵阳·一模（理））函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【总结提升】
识图的三种常用方法
1．抓住函数的性质，定性分析：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；
（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
2．抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
3．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
(1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
(2)根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
考向五 由函数图象确定解析式【核心知识】
从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．
【典例分析】
典例13.（2022·重庆·高三阶段练习）已知函数 的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（ ）
A． B． C． D．
典例14. （2022·浙江·模拟预测）已知 ，若 的图像如图所示， 的解析式可能是
（ ）
A． B．
C． D．
典例15. （2021·福建高三三模）若函数 的大致图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）A． B．
C． D．
【总结提升】
1.根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值；
2.从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
3.从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性；
4.从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点.
考向六 函数图象与函数的零点
【核心知识】
在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、
交点、方程的根等问题．求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，
再观察．
【典例分析】
典例16.（2022·湖北·高三期中）己知函数 ，则函数 的零
点个数是（ ）
A． B． C． D．
典例17.【多选题】（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）已知函数 ，设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若 有4个零点，则
B．存在实数t，使得 有5个零点
C．当 有6个零点时．记零点分别为 ，且 ，则
D．对任意 恒有2个零点
典例18.（2019·江苏·高考真题）设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期为
2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中 .若在区间 上，
关于 的方程 有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
【总结提升】
（一）判断函数零点个数的方法：
(1)利用零点存在性定理判断法．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个
函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
（二）利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
1.直接法：根据函数零点存在性定理构建不等式确定参数的取值范围；
2.数形结合法：把方程f(x)＝0化为g(x)＝h(x)，通过函数y＝g(x)，y＝h(x)的交点个数确定参数值的集合．把
方程f(x)＝0化为g(x)＝h(x)的基本思想是
（1）如果参数能够分离，且分离参数后，另一端的函数性质较易研究，则采用分离参数的方法．
（2）如果参数不易分离，或者分离参数后另一端的函数性质较难研究，则尽可能把参数与x的一次式放在一
起，这样含参数的函数图象为直线，利用直线与函数图象的交点确定参数范围.
3.分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题.考向七 函数图象与不等式
【核心知识】
1．函数 、 之间的不等关系表现在函数图象上即为图象的上下位置关系，通过画出函数图象可以直
观地解不等式或根据不等式求参数．
【典例分析】
典例19.（2020·北京·高考真题）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
典例20.（2019·全国·高考真题（理））设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时，
.若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
