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第一篇 热点、难点突破篇
专题03 函数的图象与应用（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
2．（2022·全国·高考真题（理））函数 在区间 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
3．（2021·浙江·高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，
当 时， ，与图象不符，排除C.
故选：D.
4．（2020·天津·高考真题）已知函数 若函数 恰有4个零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 ，结合已知，将问题转化为 与 有 个不同交点，分
三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
综上， 的取值范围为 .
故选：D.
5.（2019·浙江·高考真题）已知 ，函数 ，若存在 ，使得 ，则实数
的最大值是____.【答案】
【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究
入手，令 ，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，
观察得解.
【详解】使得 ，
使得令 ，则原不等式转化为存在 ，
由折线函数，如图
只需 ，即 ，即 的最大值是
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
高考对此部分内容的命题多集中于函数图象的辨识、函数图象的变换、主要有由函数的性质及解析式选图；由
函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决不等式、方程问题等．常常与导数结合考查. 应特
别注意两图象交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用. 关注抽象函数问题出现.
（二）本专题考向展示考点突破 典例分析
考向一 做函数的图象
【核心知识】
作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
描点法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称
性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
【典例分析】
典例1.（全国·高考真题（文））画出函数 的图象．
【答案】见解析
【分析】由 的图象与函数图象平移变换求解，
【详解】由 图象向左平移一个单位即可，典例2.（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高三阶段练习）设函数 .
(1)证明：函数 是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数的奇偶性证得结论成立.
（2）将 写成分段函数的形式，从而画出 的图象.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 为偶函数.
（2） ，由此画出 的图象如下图所示：
典例3.（2021·全国·高考真题（文））已知函数 ．（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将 向左平移可满足同角，求得 过 时 的值可
求.
【详解】（1）可得 ，画出图像如下：，画出函数图像如下：
（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .【总结提升】
函数图象的画法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关
键点直接作出．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．.
考向二 基本初等函数的图象
【核心知识】
1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象
a
和性质分01两种情况，着重关注两函数图象的异同．
2．幂函数y＝xα的图象，主要掌握α＝1,2,3， ，－1五种情况．
【典例分析】
典例4.（2020·山东·高考真题）已知函数 是偶函数，当 时， ，则该函数在
上的图像大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】当 时， ，所以 在 上递减，
是偶函数，所以 在 上递增.
注意到 ，
所以B选项符合.
故选：B
典例5.（2021·四川高三三模（理））函数 及 ，则 及
的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】
讨论 、 确定 的单调性和定义域、 在y轴上的截距，再讨论
、 ，结合 的单调性，即可确定函数的可能图象.
【详解】
当 时， 单调递减， 单调递减，所以 单调递增且定义域为
，此时 与y轴的截距在 上，排除C.
当 时， 单调递减， 单调递增，所以 单调递减且定义域为
，此时 与y轴的截距在 上.
∴当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，故只有B符合要求.
故选：B.
典例6.（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数 且 的图象可能是
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】本题通过讨论 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出
正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当 时，函数 过定点 且单调递减，则函数 过定点 且单调递增，函数
过定点 且单调递减，D选项符合；当 时，函数 过定点 且单调递增，则函
数 过定点 且单调递减，函数 过定点 且单调递增，各选项均不符合.综上，选
D.
考向三 函数图象的变换及应用
【核心知识】
利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象――→y＝ － f ( x )的图象；
y＝f(x)的图象――→y＝ f ( － x ) 的图象；
y＝f(x)的图象――→y＝ － f ( － x )的图象；(3)伸缩变换
y＝f(x)――→y＝f(ax).
y＝f(x)――→y＝Af(x).
(4)翻转变换
y＝f(x)的图象――→y＝ | f ( x ) |的图象；
y＝f(x)的图象――→y＝ f ( | x |) 的图象.
典例7.（全国·高考真题（文））若函数 的定义域为 ，则函数 与 的图象关于
（ ）
A．直线 对称 B．直线 对称
C．直线 对称 D．直线 对称
【答案】C
【分析】根据函数图象的变换规律，结合 与 的图象的关系即得.
【详解】因为函数 的图象是 的图象向右平移1个单位得到的，
的图象是 的图象也向右平移1个单位得到的；
又因为 与 的图象是关于 轴（直线 ）对称，
所以函数 与 的图象关于直线 对称.
故选： .
典例8.（2021·北京高三二模）已知指数函数 ，将函数 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐
标扩大为原来的 倍，得到函数 的图象，再将 的图象向右平移 个单位长度，所得图象恰好与函
数 的图象重合，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数 的等式，进而可求得实数 的值.
【详解】
由题意可得 ，再将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 ，
又因为 ，所以， ，整理可得 ，
因为 且 ，解得 .
故选：D.
典例9.（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数 的定义域为 ，且满足 是偶函数，
，当 时， ，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．当 时， 的取值范围为
C． 为奇函数
D．方程 仅有5个不同实数解
【答案】D
【分析】由已知条件可得函数的对称中心及对称轴，利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，
可得函数 的图象，依据图象对各个选项进行判断即可.
【详解】∵ ，∴ ，∴
当 时， ，∴函数 在区间 的图象如图：
∵ 是偶函数，∴ ，即∴ 的图象关于直线 对称， 在区间 的图象如图：
∵ ，
∴将 中的 替换为 ，得
，即
∴ 的图象关于点 对称， 在区间 的图象如图：
由函数图象的对称轴直线 和对称中心 进行多次对称变换，可得函数图象如图：
由函数图象可知， 是周期为 的周期函数，
函数 的对称轴为直线 （ Z），对称中心为点 （ Z），
另外，函数的周期性还可以通过以下方法进行证明：
将 中的 替换为 ，得 ，
即 ，由已知有 ，
∴
将 中 分别替换为 和 ，得
，即
和 ，即
∴
将 中 替换为 ，得 ，
即 ，∴ 是周期为 的周期函数.
对于A， ，故A正确；
对于B，当 时，由图象可知其值域为 ，故B正确；
对于C，由图象知，其图象的对称中心为点 （ Z），
当 时，点 为 图象的对称中心，因此将 的图象向左平移 个单位长度，所得函数
为奇函数，故C正确；
对于D，将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将 轴下方的图象翻折至 轴上方，得到函数
的图象，易知 的图象过点如图， 的图象与 的图象有6个交点，所以方程 有6个不同实数解，故D错误．
故选：D.
【规律方法】
图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－
x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．
考向四 函数图象的识别
【核心知识】
识别函数图象的方法
基本方法有：(1)直接法(直接求出函数的解析式并作出其图象)；(2)特例排除法(其中用特殊点法破解函数图象
问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该
特殊点)；(3)性质验证法．
【典例分析】
典例10.（2022·天津·高考真题）函数 的图像为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】分析函数 的定义域、奇偶性、单调性及其在 上的函数值符号，结合排除法可得出合适的
选项.
【详解】函数 的定义域为 ，
且 ，
函数 为奇函数，A选项错误；
又当 时， ，C选项错误；
当 时， 函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
典例11.（2021·天津·高考真题）函数 的图像大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当 时， ，排除D，即可得解.
【详解】设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 为偶函数，排除AC；
当 时， ，所以 ，排除D.
故选：B.
典例12.（2022·四川绵阳·一模（理））函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先利用导函数研究 上的单调性，得到 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，进而研究 上的单调性，得到在 上单调递减，在 上
单调递增，且 ，从而选出正确答案.
【详解】当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值， ，
当 时， ，故 ，
，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，显然 ，
综上：只有D选项满足要求.
故选：D
【总结提升】
识图的三种常用方法
1．抓住函数的性质，定性分析：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
2．抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
3．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
(1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
(2)根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
考向五 由函数图象确定解析式
【核心知识】
从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．
【典例分析】
典例13.（2022·重庆·高三阶段练习）已知函数 的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根函数图象判断两个函数见的位置关系，进而可得解.
【详解】由图知，将 的图象关于 轴对称后再向下平移 个单位即得图2，
又将 的图象关于 轴对称后可得函数 ，
再向下平移 个单位，可得
所以解析式为 ，
故选：C.典例14. （2022·浙江·模拟预测）已知 ，若 的图像如图所示， 的解析式可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数定义域和奇偶性分析判断.
【详解】对A： 的定义域为 ，且为奇函数，与图像符合；
对B： 的定义域为 ，且为偶函数，与图像不符合，B错误；
对C： 的定义域为 ，且为奇函数，与图象不符合，C错误；
对D： 的定义域为 ，且为偶函数，与图像不符合，D错误；
故选：A.
典例15. （2021·福建高三三模）若函数 的大致图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案
【详解】
解：由图可知，当 时， ，
取 ，则对于B， ，所以排除B，对于D， ，所以排除D，
当 时，对于A， ，此函数是由 向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
所以 时， 恒成立，而图中，当 时， 可以小于1，所以排除A,
故选：C
【总结提升】
1.根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值；
2.从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
3.从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性；4.从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点.
考向六 函数图象与函数的零点
【核心知识】
在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、
交点、方程的根等问题．求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，
再观察．
【典例分析】
典例16.（2022·湖北·高三期中）己知函数 ，则函数 的零
点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定函数 的值域，利用换元法令 ，则 ，则将函数
的零点问题转化为函数 的图象的交点问题，作函数
图象，确定其交点以及其横坐标范围，再结合 的图象，即可确定
的零点个数.
【详解】已知 ，当 时， ，
当 时， ，
作出其图象如图示：可知 值域为 ，设 ，则 ，
则函数 的零点问题即为函数 的图象的交点问题，
而 ，作出函数 的图象如图示：
可知： 的图象有两个交点，横坐标分别在 之间，
不妨设交点横坐标为 ，
当 时，由 图象和直线 可知，二者有两个交点，
即此时 有两个零点；
当 时，由 图象和直线 可知，二者有3个交点，
即此时 有3个零点，故函数 的零点个数是5，
故选：B.
典例17.【多选题】（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）已知函数 ，设函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 有4个零点，则
B．存在实数t，使得 有5个零点
C．当 有6个零点时．记零点分别为 ，且 ，则
D．对任意 恒有2个零点
【答案】BC
【分析】由 可得 或 ，作函数 的图象，观察图象判断A，B，D，由条件观察图
象确定 的关系，由此判断C，
【详解】 的大致图像如图所示，令 ，即 ，即 或 ．若
有4个零点，则实数t的取值范围为 或 或 ，故A项错误；由图可知，当 时，
有5个零点，故B项正确；当 有6个零点时，则 ，所以 ，即有
，故C项正确；当 时， 有4个零点，故D项错误，
故选：BC．典例18.（2019·江苏·高考真题）设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期为
2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中 .若在区间 上，
关于 的方程 有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
【答案】 .
【分析】分别考查函数 和函数 图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.
【详解】当 时， 即
又 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 ，如图，函数 与 的图象，要使 在
上有 个实根，只需二者图象有 个交点即可.当 时，函数 与 的图象有 个交点；
当 时， 的图象为恒过点 的直线，只需函数 与 的图象有 个交点.当 与
图象相切时，圆心 到直线 的距离为 ，即 ，得 ，函数 与 的
图象有 个交点；当 过点 时，函数 与 的图象有 个交点，此时 ，得 .
综上可知，满足 在 上有 个实根的 的取值范围为 .
【总结提升】
（一）判断函数零点个数的方法：
(1)利用零点存在性定理判断法．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个
函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
（二）利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
1.直接法：根据函数零点存在性定理构建不等式确定参数的取值范围；
2.数形结合法：把方程f(x)＝0化为g(x)＝h(x)，通过函数y＝g(x)，y＝h(x)的交点个数确定参数值的集合．把
方程f(x)＝0化为g(x)＝h(x)的基本思想是
（1）如果参数能够分离，且分离参数后，另一端的函数性质较易研究，则采用分离参数的方法．
（2）如果参数不易分离，或者分离参数后另一端的函数性质较难研究，则尽可能把参数与x的一次式放在一
起，这样含参数的函数图象为直线，利用直线与函数图象的交点确定参数范围.
3.分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题.考向七 函数图象与不等式
【核心知识】
1．函数 、 之间的不等关系表现在函数图象上即为图象的上下位置关系，通过画出函数图象可以直
观地解不等式或根据不等式求参数．
【典例分析】
典例19.（2020·北京·高考真题）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】作出函数 和 的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，
不等式 的解为 或 .
所以不等式 的解集为： .故选：D.
典例20.（2019·全国·高考真题（理））设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时，
.若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点
位置，精准运算得到解决．
【详解】 时， ， ， ，即 右移1个单位，图像变为原
来的2倍．
如图所示：当 时， ，令 ，整理得：
， （舍）， 时， 成立，即
， ，故选B．
