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专题 2.11 指数与指数函数-重难点题型精讲
1．分数指数幂
(1) ＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于
0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 0<a<1
图象
定义域 (1)R
值域 (2) (0 ，＋ ∞ )
(3)过定点(0,1)
(4)当x>0时， y >1 ；当x<0
(5)当x>0时， 0< y <1 ；当x<0时， y >1
性质 时， 0< y <1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
数
3．底数对指数函数图象的影响
指数函数y= (a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.
(1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图
高”.(2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近
y轴.
(3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.
【题型1 指数幂的运算】
指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加，运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
√3
【例1】（2022•稷山县校级开学）√3×3 ×√612的化简结果为（ ）
2
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式1-1】（2021秋•沈阳月考）下列运算结果中，正确的是（ ）
A．（﹣a2）3＝（﹣a3）2 B．（﹣a2）3＝a6
C．a2•a3＝a5 D．
√n an=a
【变式1-2】（2022•茂名模拟）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． −√x=(−x) 1 2 B． x − 3 4= √ 4 ( 1 ) 3 (x＞0)
x
C． 1 D． 3 1
√6 y2= y3 [√3 (−x) 2 ]4=x2(x＜0)
1 √ 27
【变式1-3】（2021秋•惠阳区校级月考）（1 ）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷3 ( ) 2的值为（ ）
2 8
1 1 4 7
A．− B． C． D．
3 3 3 3
【题型2 指数方程】
指数方程常见的类型有：(1) f(x)=g(x)；(2) =0.其中类型(1)利用同底法解，类型(2)利用换元法解.
【例2】（2021秋•凉州区校级月考）解方程：
（1）9﹣x﹣2•31﹣x＝27；
（2）6x+4x＝9x．
【变式2-1】（2021秋•芜湖期末）解关于x的方程4x﹣2x+1﹣3＝0．
【变式2-2】解方程：x2+√√5−x−√5=0．
【变式2-3】（2021秋•武汉校级期中）解方程：6•（9x+9﹣x）﹣25（3x﹣3﹣x）+12＝0．
【题型3 指数函数的图象及应用】
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数 a
与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
【例3】（2021秋•临渭区期末）函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（
）A．
B．
C．
D．
【变式3-1】（2020秋•越秀区校级期中）已知m＞n＞1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为（ ）
A． B． C． D．
1
【变式3-2】（2021•长春模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，y=( ) x的一个是（ ）
2A．① B．② C．③ D．④
【变式3-3】（2021秋•中宁县校级期中）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，
则a，b，c，d与1的大小是（ ）
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d
【题型4 比较幂值的大小】
利用指数函数的单调性，来比较幂值的大小；比较大小时，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借
助中间量．
【例4】（2021秋•怀仁市校级期末）设a＝0.60.6，b＝0.60.7，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【变式4-1】（2021秋•怀仁市期中）设a＝0.70.7，b＝0.71.5，c＝1.50.7，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
2 2 2
【变式4-2】（2021秋•洛阳期中）若 ＜（ ）n＜（ ）m＜1，则（ ）
5 5 5
A．mn＜mm＜nm B．mm＜nm＜mn C．mm＜mn＜nm D．mn＜nm＜mm
3 2 1
【变式4-3】（2021秋•姜堰区校级期中）已知a=( ) −0.3，b=1.10.7 ，c=( )3，将a，b，c按照从小到
2 3
大的顺序排列为（ ）
A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a
【题型5 解指数不等式】
指数不等式的三种求解方法：(1)性质法：解形如 > 的不等式，可借助函数y= 的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与
0<a<1两种情况进行讨论.
(2)隐含性质法：解形如 >b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y= 的
单调性求解.
(3)图象法：解形如 > 的不等式.可利用对应的函数图象求解.
【例5】（2020秋•兴庆区校级期中）不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2）
【变式5-1】（2021秋•北京校级期中）不等式4x﹣3×2x+1﹣16＞0的解集是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣3，1）
C．（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【变式5-2】（2021秋•深州市校级期末）已知函数f（x）＝2x|2x﹣a|，若0≤x≤1时f（x）≤1，则实数a
的取值范围为（ ）
7 5 3 3 5
A．[ ，2] B．[ ，2] C．[ ，2] D．[ ， ]
4 3 2 2 3
【变式5-3】（2021秋•黄埔区校级期中）已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，
则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（ ）
−1 −1
A．（﹣∞， ） B．（ ，+∞）
5 5
−1 −1
C．（﹣∞， ）∪（ ，+∞） D．R
5 5
【题型6 与指数函数有关的复合函数问题】
【方法点拨】
1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域
(1)y=af(x)的定义域就是f(x)的定义域.
(2)求y=af(x)和y=f(ax)的值域的解法.
①求形如y=af(x)的函数的值域，要先令u=f(x)，求出u=f(x)的值域，再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值
域.若a的值不确定，则需要对a进行分类讨论：当0<a<1时，y=au为减函数；当a>1时，y=au为增函数.
②求形如y=f(ax)的函数的值域，要先求出u=ax的值域，再结合y=f(u)的单调性确定y=f(ax)的值域.
2.与指数函数有关的复合函数的单调性形如y=af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，则函数f(x)的单调增(减)区间
即函数y=af(x)的单调增(减)区间；若0<a<1，则函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调减(增)区间；
即“同增异减”.注意，当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论.
3.求解指数型函数中的参数取值范围的基本思路
一般利用指数函数的单调性或最值进行转化，应注意对底数a进行分类讨论.
【例6】（2022春•增城区期末）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1）．
（1）若f（x）图象过点（0，2），求b的值；
a2
（2）若函数f（x）在区间[2，3]上的最大值比最小值大 ，求a的值．
2
【变式6-1】（2021秋•新华区校级月考）已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
c⋅10x+6x
（Ⅱ）若不等式 ＞0对任意x （﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围．
f(x)+3
∈
【变式6-2】（2021秋•鼓楼区校级期中）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数．
1
（1）若函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），求函数y= 的值域；
f(x)
（2）如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a+b的值．【变式6-3】（2021秋•荆州区校级期中）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）．
（1）若y＝f（x）的图象过点（3，4），求a的值；
1 21
（2）试比较f(lg )与f(− )的大小；
100 10
（3）若f（lga）＝100，求实数a的值．
