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专题2.10 幂函数与二次函数-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1
1．（5分）（2022春•杨陵区校级期末）现有下列函数：①y＝x3；②y=( ) x；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤
2
y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝ax（a＞1），其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】由题意，利用幂函数的定义，得出结论．
【解答过程】解：∵形如y＝x （ 为常数）的函数叫做幂函数，
α
∴①y＝x3、⑥y＝x是幂函数，故α①⑥满足条件；
1
而②y=( ) x、⑦y＝ax（a＞1）是指数函数，故②⑦不满足条件；
2
显然，③y＝4x2、④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2不是幂函数，故③④⑤不满足条件；
故其中幂函数的个数为2，
故选：B．
2．（5分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y＝﹣2x2相同，则y
＝ax2+bx+c的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2﹣x+3 B．y＝﹣2x2+4x+5
C．y＝﹣2x2+4x+8 D．y＝﹣2x2+4x+6
【解题思路】根据已知，得到抛物线的交点式方程，进而根据抛物线形状与抛物线y＝﹣2x2相同，得到
a＝﹣2，展开可得答案．
【解答过程】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c形状与抛物线y＝﹣2x2相同，
∴a＝﹣2，
又∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线y＝﹣2（x+1）（x﹣3）＝﹣2x2+4x+6，
故选：D．
3．（5分）（2022春•玉林期末）幂函数 （0≤m≤3，m Z）的图象关于 y轴对称，且在
y=xm2+m−2
∈
（0，+∞）上是增函数，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．2和3
【解题思路】由题意可得m2+m﹣2＞0，且m2+m﹣2为偶数，结合0≤m≤3，m Z，求出m的值．
∈【解答过程】解：由题意，可得m2+m﹣2＞0，且m2+m﹣2为偶数，
∵0≤m≤3，m Z，∴m＝2或3．
故选：D． ∈
4．（5分）（2022春•咸阳期末）若函数f（x）＝x2﹣mx+10在（﹣2，﹣1）上是减函数，则实数m的取
值范围是（ ）
A．[2，+∞） B．[﹣2．+∞） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，﹣2]
【解题思路】f（x）为开口朝上的二次函数，在对称轴左侧函数单调递减可解．
m
【解答过程】解：由题意可知f（x）＝x2﹣mx+10的对称轴为：x= ，
2
m
故f（x）的单调递减区间为（﹣∞， ]，
2
又函数f（x）在（﹣2，﹣1）上是减函数，
m
所有﹣1≤ ，得m≥﹣2，
2
故选：B．
5．（5分）（2020春•韶关期末）若二次函数f（x）＝a（x+2）（x﹣4）的图象经过点（0，﹣4），则函
数f（x）的最小值为（ ）
9 13
A．﹣4 B．﹣5 C．− D．−
2 2
1 1
【解题思路】由题意可得4＝a（0+2）（0﹣4），解得a= ，可求函数解析式为f（x）= x2﹣x﹣4，
2 2
利用二次函数的性质可求其最小值．
【解答过程】解：∵二次函数f（x）＝a（x+2）（x﹣4）的图象经过点（0，﹣4），
∴﹣4＝a（0+2）（0﹣4），
1
∴a= ，
2
1 1
∴所求函数解析式为：f（x）= （x+2）（x﹣4），即f（x）= x2﹣x﹣4，
2 2
9
∴函数f（x）的最小值为f（1）=− ．
2
故选：C．
6．（5分）（2021秋•渭城区期中）设函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1，对于x [1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，
求实数m的取值范围（ ） ∈6 6
A．m＞3 B．m＜ C． ＜m＜6 D．m＜1
7 7
【解题思路】函数在区间上恒成立问题，可转化为函数在给定区间上的最值问题，通过求解函数的最值，
列出关于实数m的不等式，达到求解该题的目的
【解答过程】解：（1）当m＝0时，f（x）＝﹣1＜﹣m+5，解得m＜6，故m＝0；
1
（2）当m≠0时，该函数的对称轴是x= ，f（x）在x [1，3]上是单调函数．
2
∈
①当m＞0时，由于f（x）在[1，3]上单调递增，要使f（x）＜﹣m+5在x [1，3]上恒成立，只要f（3）
＜﹣m+5即可． ∈
6 6
即9m﹣3m﹣1＜﹣m+5，解得m＜ ，故0＜m＜ ；
7 7
②当m＜0时，由于函数f（x）在[1，3]上是单调递减，要使f（x）＜﹣m+5在x [1，3]上恒成立，只要
f（1）＜﹣m+5即可， ∈
即m﹣m﹣1＜﹣m+5，解得m＜6，故m＜0；
6
综上可知：实数m 的取值范围是：m＜ ．
7
故选：B．
7．（5分）（2021•南开区校级开学）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线 x＝1．下列
结论：
①abc＜0；
②3a+c＞0；
③（a+c）2﹣b2＜0．
其中结论正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解题思路】利用数形结合建立不等式关系，进而可以分析出a，b，c的符号，进而可以求解．【解答过程】解：设f（x）＝y＝ax2+bx+c，
f(0)=c＜0
{
f(−1)=a−b+c＞0
由图可得： 且a＞0，
−b
=1
2a
f(1)=a+b+c＜0
c＜0
{
a＞0
则 b=−2a ，所以b＜0，所以abc＞0，3a+c＞0，①错误，②正确，
a−b+c＞0
a+b+c＜0
又（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＜0，所以③正确，
故选：C．
8．（5分）（2021秋•商洛期末）若函数f（x）＝x2+bx+c满足f（1）＝0，f（﹣1）＝8，则下列判断错误
的是（ ）
A．b+c＝﹣1
B．f（3）＝0
C．f（x）图象的对称轴为直线x＝4
D．f（x）的最小值为﹣1
【解题思路】把f（1）＝0，f（﹣1）＝8代入f（x）＝x2+bx+c可求得b、c值，然后可解决此题．
{b+c+1=0 {b=−4
【解答过程】解：把f（1）＝0，f（﹣1）＝8代入f（x）＝x2+bx+c得 ，解得 ，
−b+c=7 c=3
∴f（x）＝x2﹣4x+3，∴f（3）＝32﹣4×3+3＝0，f（x）图象的对称轴为直线x＝2，
f（x）的最小值为f（2）＝22﹣4×2+3＝﹣1．
由上分析可知ABD对，C错．
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2021秋•河池月考）函数f（x）＝x2+（2a﹣1）x+3在（﹣2，2）上为单调函数，则实数a的
取值范围是（ ）
3 3 5 3 5 5
A．(−∞，− ] B．(− ， ) C．[− ， ] D．[ ，+∞)
2 4 2 4 2 2
【解题思路】利用二次函数对称轴与已知区间的位置关系，列出不等式，即可求解．
【解答过程】解：∵f（x）＝x2+（2a﹣1）x+3在（﹣2，2）上为单调函数，2a−1 2a−1
∴− ≤−2或− ≥2，
2 2
5 3
∴a≥ 或a≤− ，
2 2
3 5
∴实数a的取值范围是（﹣∞，− ]∪[ ，+∞）．
2 2
故选：AD．
√2
10．（5分）（2021秋•锦州期末）已知幂函数 f（x）的图像经过点(2， )，则下列命题正确的是（
2
）
A．f（x）为偶函数
B．f（x）的值域是（0，+∞）
x +x f(x )+f(x )
C．若0＜x ＜x ，则f( 1 2 )＜ 1 2
1 2
2 2
D．g（x）＝f（x+1）﹣f（x）是（0，+∞）上的增函数
【解题思路】先求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可判断．
【解答过程】解：设幂函数f（x）＝x ，
α
∴2 = √2 ，∴ =− 1 ，∴f（x）＝x − 1 ，
2 2 ❑ 2
α
α
∴函数为非奇非偶函数，故A错误；
函数的值域为（0，+∞），故B正确；
x +x f(x )+f(x )
函数为凹函数，则0＜x ＜x ，所以f（ 1 2）＜ 1 2 ，故C正确；
1 2
2 2
1 1
g（x）= − ，则函数g（x）在是（0，+∞）上的增函数，故D正确．
√x+1 √x
故选：BCD．
11．（5分）（2021秋•茂名期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．2a+b＝0 B．4a+2b+c＜0 C．9a+3b+c＜0 D．abc＜0
【解题思路】通过图象开口向下可得a＜0，可判断抛物线与y轴的交点纵坐标为c＞0，抛物线对称轴
b
为x=− =1，进而得到b＞0以及ab的关系式，即可判断A；根据对称轴以及二次函数对称性可判断
2a
B，C，
【解答过程】解：由图象知，抛物线开口向下，所以a＜0，令x＝0，则y＝c＞0，
b
二次函数的对称轴为x=− =1，所以2a+b＝0，故A正确；
2a
因为对称轴为x＝1，所以x＝2与x＝0对应的函数值相等，
由图可得x＝0时，y＞0，则x＝2时，则y＝4a+2b+c＞0，故B错误；
因为对称轴为x＝1，所以x＝﹣1与x＝3对应的函数值相等，
由图可得x＝﹣1时，y＜0，则x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故C正确；
b
因为x=− =1，a＜0，所以b＞0，则abc＜0，故D正确；
2a
故选：ACD．
12．（5 分）（2021 秋•沙市区校级期中）函数 f（x）＝﹣x2+ax﹣6，g（x）＝x+4，若对任意 x
1
（0，+∞），存在x （﹣∞，﹣1]，使得f（x ）≤g（x ），则实数a可能的取值为（ ） ∈
2 1 2
A．4 ∈B．5 C．6 D．7
【解题思路】由题意可知问题转化为f（x） ≤g（x） ，先求出g（x）在（﹣∞，﹣1]上的最大值，
max max
再对f（x）的对称轴位置分情况讨论，分别求出f（x）在（0，+∞）上最大值，从而求出a的取值范围，
判断出符合题意的选项．
【解答过程】解：由题意可知问题转化为f（x） ≤g（x） ，
max max
g（x）＝x+4在（﹣∞，﹣1]上单调递增，∴g（x） ＝g（﹣1）＝3，
maxa a2
f（x）＝﹣x2+ax﹣6=−(x− ) 2+ −6，
2 4
a
①当对称轴x= ≤0，即a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（0）＝﹣6，
2
∴3≥﹣6，符合题意，
∴a≤0，
a a a2
②当对称轴x= ＞0，即a＞0时，f(x) =f( )= −6，
2 max 2 4
a2
∴ −6≤3，
4
解得﹣6≤a≤6，
∴0＜a≤6，
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，6]，
故选：ABC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022春•白塔区校级期末）已知幂函数f（x）的图象过点（2，4），则f（﹣1）＝ 1 ．
【解题思路】根据幂函数的一般解析式y＝xa，因为其过点（2，4），求出幂函数的解析式，从而求出f
（﹣1）．
【解答过程】解：∵幂函数的一般解析式y＝xa，
∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，4），
∴4＝2a，解得a＝2，
∴y＝x2，
∴f（﹣1）＝（﹣1）2＝1，
故答案为：1．
14．（5分）（2021秋•普宁市期末）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+3在区间[2，8]上单调递增，则实数a的取
值范围是 （﹣∞， 2 ] ．
【解题思路】利用二次函数的对称轴与单调区间的关系，列出不等式求解即可．
【解答过程】解：函数f（x）＝x2﹣2ax+3在区间[2，8]上单调递增，
可得a≤2．
即a （﹣∞，2]．
故答∈案为：（﹣∞，2]．15．（5分）（2022春•北海期末）已知幂函数 1 a2+a−2在（0，+∞）上单调递减，函数h
f(x)=(a2−3)x2
（x）＝3x+m，对任意x [1，3]，总存在x [1，2]使得f（x ）＝h（x ），则m的取值范围为 [ ﹣ 8 ，
1 2 1 2
∈ ∈
26
− ] ．
9
【解题思路】利用幂函数的定义与性质求出f（x），再求出函数f（x），h（x）的值域，再列出不等式
组即可．
【解答过程】解：∵f（x）是幂函数，∴a2﹣3＝1，a＝±2，
∵f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴a＝﹣2，
1 1
∴f(x)=x−2=
，∴f（x）在[1，3]上的值域为[ ，1]，
x2 9
h（x）在[1，2]上的值域为[3+m，9+m]，
{
9+m≥1
26
根据题意有 1，∴﹣8≤m≤− ，
3+m+≤ 9
9
26
∴m的范围为[−8，− ]．
9
26
故答案为：[−8，− ]．
9
16．（5分）（2021秋•湖北期末）已知函数f（x）＝x2﹣2mx（m＞0）满足：① x [0，2]，f（x）≥﹣
8；② x [0，2]，f（x）＝﹣8，则m的值为 3 ． ∀ ∈
0
【解题∃思∈路】由题意得到函数f（x）在[0，2]上的最小值为﹣8，然后按照对称轴是否在区间[0，2]内进
行分类讨论，分别求解函数f（x）的最小值，列式求解即可．
【解答过程】解：由题意，函数f（x）在[0，2]上的最小值为﹣8，
因为函数f（x）＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，对称轴为x＝m，开口向上，
当0＜m＜2时，f（x）在[0，m）上单调递减在，在（m，2]上单调递增，
所以f（x）的最小值为f（m）＝﹣m2＝﹣8，解得m＝2√2，不符合题意；
当m≥2时，f（x）在[0，2]上单调递减，
所以f（x）的最小值为f（2）＝4﹣4m＝﹣8，解得m＝3．
综上所述，m的取值为3．
故答案为：3．
四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2021秋•房山区期末）已知幂函数f（x）＝x 的图象经过点(√2，2)．
α
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1），试求实数a的取值范围．
【解题思路】（Ⅰ）利用待定系数法求解．
（Ⅱ）由偶函数的性质可知原不等式可化为f（|2﹣a|）＞f（|a﹣1|），再利用函数f（x）在（0，+∞）
上单调递增，即可求出结果．
【解答过程】解：（Ⅰ）∵幂函数f（x）＝x 的图象经过点(√2，2)，
α
∴ ，∴ ＝2，
(√2) α=2
α
∴f（x）＝x2．
（Ⅱ）函数f（x）＝x2为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，且满足f（x）＝f（|x|），
∴不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）可化为f（|2﹣a|）＞f（|a﹣1|），
∴|2﹣a|＞|a﹣1|，
两边平方得（2﹣a）2＞（a﹣1）2，
3
解得a＜ ，
2
3
即实数a的取值范围为（﹣∞， ）．
2
18．（12分）（2022春•杨陵区校级期末）已知二次函数y＝﹣4x2+8x﹣3．
（1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；
（2）画出它的图像，并说明其图像在y＝﹣4x2的图像经过怎样的平移得来；
（3）求函数在x [﹣2，2]上的最大值和最小值；
（4）判断函数的∈单调性，
【解题思路】（1）将二次函数化成顶点式，能求出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；
（2）描点法作图，再根据顶点的平移位置分析即可；
（3）根据对称轴与区间x [﹣2，2]的位置关系求解即可；
（4）根据对称轴分析函数∈的单调性即可．
【解答过程】解：（1）y＝﹣4x2+8x﹣3＝﹣4（x﹣1）2+1，
∴图像的开口方向向下，
对称轴方程为x＝1，
顶点坐标为（1，1）；1
（2）用描点法作图，它的图像过点（1，1），（ ，0），（0，﹣3），（2，﹣3），
2
图象如下：
其图像由y＝﹣4x2的图像向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的；
（3）由二次函数y＝﹣4x2+8x﹣3的图象得：
函数在x [﹣2，2]上，当x＝1时取最大值为y＝﹣4×12+8×1﹣3＝1，
当x＝﹣∈2时取最小值为y＝﹣4×（﹣2）2+8×（﹣2）﹣3＝﹣35．
（4）由二次函数y＝﹣4x2+8x﹣3的图象得：
函数的单调递增区间为（﹣∞，1]，单调递减区间为[1，+∞）．
19．（12分）（2021秋•信阳期中）已知幂函数 m− 3的图象过点（4，2）．
f(x)=(m2−2m+1)x 2
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性，并进行证明；
（3）若f（a+1）＞f（2a﹣3），求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值，可得结论．
（2）用函数的单调性的定义证明函数的单调性．
（3）由题意利用函数的单调性的定义、函数的定义域，求得a的范围．
【解答过程】解：（1）∵幂函数 m− 3的图象过点（4，2），‘
f(x)=(m2−2m+1)x 2
∴m2﹣2m+1＝1， m− 3 2，求得m＝2，
4 2=
故有f（x） 1．
=x2
（2）f（x） 1 在其定义域[0，+∞）上单调递增．
=x2证明：设x ＞x ≥0，即 x ﹣x ＞0，
2 1 2 1
x −x
则f（x
2
）﹣f（x
1
）
=√x −√x = 2 1 ＞
0，即f（x
2
）＞f（x
1
），
2 1 √x +√x
2 1
故函数f（x）在其定义域[0，+∞）上单调递增．
（3）若f（a+1）＞f（2a﹣3），则√a+1＞√2a−3，∴a+1＞2a﹣3≥0，
3
求得 ≤a＜4．
2
20．（12分）（2022春•汉中期末）已知二次函数 f（x）＝a（x﹣b）2+1（a≠0，b R）满足f（0）＝f
（2）＝3． ∈
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调，求实数m的取值范围．
【解题思路】（Ⅰ）根据函数值相等求得b，再结合f（0）＝3求得a即可，
（Ⅱ）比较对称轴和区间的位置关系即可求解结论．
【解答过程】解：（I）∵二次函数f（x）＝a（x﹣b）2+1（a≠0，b R），
∴f（0）＝f（2）得函数f（x）图像的对称轴为直线x＝1，∴b＝1，∈
由f（0）＝3，得a+1＝3，解得a＝2，
故f（x）＝2（x﹣1）2+1＝2x2﹣4x+3．
（II）若函数f（x）在[m，m+1]上单调递增，则m≥1，
若函数f（x）在[m，m+1]上单调递减，则m+1≤1，即m≤0，
综上，实数m的取值范围是（﹣∞，0]∪[1，+∞）．
21．（12分）（2022春•兴庆区校级期末）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝
1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[t，t+1]（t R）的最小值g（t）的表达式．
【解题思路】（1）由f（0）＝1∈，设函数为f（x）＝ax2+bx+1（a≠0），代入f（x+1）﹣f（x）＝2x，
求出a，b，由此能求出函数解析式；
（2）由对称轴求出函数的单调区间，分类讨论，能求出函数f（x）在[t，t+1]（t R）的最小值g（t）
的表达式． ∈
【解答过程】解：（1）由f（0）＝1，设函数为f（x）＝ax2+bx+1（a≠0），
∵二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，
∴f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）﹣ax2﹣bx＝2ax+a+b＝2x，{ 2a=2 { a=1
∴ ，∴ ，
a+b=0 b=−1
∴f（x）＝x2﹣x+1．
1
（2）f（x）＝x2﹣x+1的对称轴为x= ，
2
1 1
∴f（x）在区间（﹣∞， ]上单调递减，在区间（ ，+∞）上单调递增，
2 2
f（x）在x [t，t+1），t R上，
1 ∈ ∈
当t≤− 时，f（x） ＝f（t+1）＝t2+t+1，
min
2
1 1 1 3
当− ＜t＜ 时，f（x） ＝f（ ）= ，
min
2 2 2 4
1
当t≥ 时，f（x） ＝f（t）＝t2﹣t+1，
min
2
综上，函数f（x）在[t，t+1]（t R）的最小值g（t）的表达式为：
∈
1
{t2+t+1，t＜−
2
3 1 1 ．
g(t)= ，− ≤t≤
4 2 2
1
t2−t+1，t＞
2
22．（12分）（2022春•绵阳期末）设函数f（x）＝2x2﹣ax+b（a，b R）．
（1）当b＝﹣a2时，求不等式f（x）＜0的解集； ∈
（2）当b＝4时，不等式f（x）⩾0对一切x （0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）将b＝﹣a2代入f（x），∈解不等式，分类讨论a的范围，求f（x）＜0的解集；
（2）b＝4时，f（x）≥0，则Δ≤0，求解即可．
【解答过程】（1）解：当b＝﹣a2时，f（x）＝2x2﹣ax﹣a2＝（2x+a）（x﹣a），
当a＝0时，f（x）＝2x2＜0，无解；
a
当a＞0时，f（x）＝（2x+a）（x﹣a）＜0，解得：{x|− ＜x＜a}；
2
a
当a＜0时，f（x）＝（2x+a）（x﹣a）＜0，解得：{x|a＜x＜− }．
2
（2）当b＝4时，f（x）＝2x2﹣ax+4，不等式f（x）⩾0对一切x （0，+∞）恒成立，
∈a
则对称轴为x= ．
4
a
当 ≤0时，即a≤0时，只需f（0）＝4≥0，满足题意．
4
a a
当 ＞0时，即f（ ）≥0时，解得：0＜a≤4√2，满足题意．
4 4
综上：a （﹣∞，4√2]．
∈
