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专题 1.2 面积问题
【例1】图1，是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方
形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2，三个代数式 ， ， 之间的等量关系是 ；
（3）若 ， ，求 ；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
【解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为 ，
故答案为： ；
（2） ，
故答案为： ；
（3） ，
则 ；
（4） ．【变式训练1】如图1，将一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线均匀分成 4个小长
方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含 、 的式子表示）
（2）若 ，且 ，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出 ， 和 的数量关系．
【解答】解：（1）图2的空白部分的边长是
（2）由图 可知，小正方形的面积 大正方形的面积 个小长方形的面积，
大正方形的边长 ， 大正方形的面积 ，
又 个小长方形的面积之和 大长方形的面积 ，
小正方形的面积
（3）由图2可以看出，大正方形面积 空白部分的正方形的面积 四个小长方形的面积
即： ．
【变式训练2】如图 是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块
小长方形，然后按图 形状拼成一个正方形．
（1）你认为图 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）观察图 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式： ， ，
（3）已知 ， ，求 的值．【解答】解：（1） ．（2分）
（2） ．（6分）
（3） ．（10分）
【例2】两个边长分别为 和 的正方形如图放置（图 ，其未叠合部分（阴影）面积为 ；
若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为 的小正方形（如图 ，两个小正方形叠
合部分（阴影）面积为 ．
（1）用含 ， 的代数式分别表示 、 ；
（2）若 ， ，求 的值；
（3）当 时，求出图3中阴影部分的面积 ．
【解答】解：（1）由图可得， ，
；
（2） ，
， ，；
（3）由图可得， ，
，
．
【变式训练1】如图①所示是一个长为 ，宽为 的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个
小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．
方法① ；
方法② ；
（3）观察图②，直接写出 ， ， 这三个代数式之间的等量关系；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若 ， ，求 的值．
【解答】解：（1）根据拼图可得，阴影部分是边长为 的正方形，
故答案为： ；
（2）方法①，从大正方形中减去四个小长方形的面积，
即： ，
方法②根据正方形的面积公式直接表示小正方形的面积为 ，
故答案为：① ，② ；
（3）由（2）知， ；（4）由于 ，
又 ， ，
．
【变式训练2】如图1，在一个长为 ，宽为 的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4
块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长为 ．
（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示．
（3）如图3，点 是线段 上的一点，以 ， 为边向两边作正方形，面积分别是
和 ，设 ，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分面积．
【解答】解：（1）由大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得，
阴影部分的正方形边长为 ，
故答案为： ；
（2）方法一：阴影部分是边长为 的正方形，因此面积为 ，
方法2：从边长为 的正方形面积减去4个长为 ，宽为 长方形的面积可得，
，
于是有： ；
（3）设大正方形的边长为 、小正方形的边长 ，
则 ， ，
由 得，，
即 ，
因此阴影部分的面积 ，
答：阴影部分的面积为8
【变式训练3】如图①所示是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成
四个小长方形，图②是边长为 的正方形．
（1）请用图①中四个小长方形和图②中的正方形拼成一个大正方形，画出示意图（要求连
接处既没有重叠，也没有空隙）；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示（1）中拼得的大正方形的面积；
（3）请直接写出 ， ， 这三个代数式之间的等量关系；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若 ， ，求 的值．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）方法1：大正方形的边长为 ，因此面积为： ；
方法2：大正方形的面积等于各个部分的面积和，
即边长为 的正方形的面积与4个长为 ，宽为 的长方形的面积和，
即 ；
（3） ；
（4） ．【变式训练4】【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 的值与 的取值
无关，求 的值”，通常的解题方法是：把 、 看作字母， 看作系数合并同类项，因为
代数式的值与 的取值无关，所以含 项的系数为 0，即原式 ，所以
，则 ．
【理解应用】
（1）若关于 的多项式 的值与 的取值无关，求 值；
（2）已知 ， ，且 的值与 无关，求
的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为 ，宽为 ，按照图2方式不重叠地放在大长方形
内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为 ，左
下角的面积为 ，当 的长变化时， 的值始终保持不变，求 与 的等量关系．
【解答】解：（1），
其值与 的取值无关，
，
解得， ，
答：当 时，多项式 的值与 的取值无关；
（2） ， ，
，
的值与 无关，
，即 ；
（3）设 ，由图可知 ， ，
，
当 的长变化时， 的值始终保持不变．
取值与 无关，
．
【例3】完全平方公式： 适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若 ， ，求 的值．
解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
得
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若 ， ，求 的值；
（2）①若 ，则 6 ；
②若 ，则 ；
（3）如图，点 是线段 上的一点，以 、 为边向两边作正方形，设 ，两
正方形的面积和 ，求图中阴影部分面积．
【解答】解：（1） ；
；
；
又 ；，
，
．
（2）① ，
；
又 ，
．
②由 ，
；
又 ，
．
（3）由题意可得， ， ；
， ；
，
；
图中阴影部分面积为直角三角形面积，
．
【变式训练1】例如：若 ， ，求 的值．解：因为 ，所以 ，即： ，
又因为 ，所以 ．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若 ， ，求 的值；
（2）填空：若 ，则 6 ；
（3）如图所示，已知正方形 的边长为 ， ， 分别是 、 上的点，且
， ，长方形 的面积是12，分别以 、 为边作正方形 和
正方形 ，则 的值为 ．
【解答】解：（1） ，
，即 ，
又 ，
，
；
（2）
，
故答案为：6；
（3）答案为：5；由题意得 ，
设 ， ，则 ，
，
又 ，
，
，
，
或 （舍 ，
故答案为5
【变式训练2】图1是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长
方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；
（2）观察图2，请写出下列三个代数式 ， ， 之间的等量关系；
（3）运用你所得到的公式，计算：若 、 为实数，且 ， ，试求
的值．
（4）如图3，点 是线段 上的一点，以 、 为边向两边作正方形，设 ，
两正方形的面积和 ，求图中阴影部分面积．
【解答】解：（1）阴影部分的正方形边长为 ，故周长为 ，
故答案为： ；（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为： ，
大正方形边长为 ，故面积也可以表达为： ，
因此 ，
故答案为： ；
（3）由（2）可知： ，
已知 ， ，
所以 ，
所以 ；
故 的值为 ；
（4）设 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
由题意： ，
所以 ．
【变式训练3】认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图①中的条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法 ；方法 ．
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来： ；
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：
如图②，两个正方形边长分别为 ， ，如果 ，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）阴影部分面积为两个正方形面积的和，即 ；阴影部分面积为大
正方形面积减去两个矩形面积，即 ，
故答案为： ， ；
（2）阴影部分面积相等，即得： ，
故答案为： ；
（3） 阴影部分的面积 ，
阴影部分的面积 ，
，
阴影部分的面积 ，
答：阴影部分面积为2
【例4】如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为 的正方形，乙是长为 ，宽为
的长方形，丙是边长为 的正方形 ．（1）如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据
图形的面积写出一个乘法公式 ；
（2）若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为 大正方形，则需要取甲、乙、丙纸
片各多少张．
【解答】解：（1） 图2中正方形的面积可表示为： 和 ，
可得公式 ，
故答案为： ；
（2）由计算 可得，
需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张．
【变式训练1】我 们 知 道 多 项 式 的 乘 法 可 以 利 用 图 形 的 面 积 进 行 解 释 ， 如
就能用图1或图2等图形的面积表示：
（1）请你写出图3所表示的一个等式： ．
（ 2 ） 试 画 出 一 个 图 形 ， 使 它 的 面 积 能 表 示 ： ．
【解答】解：（1） 长方形的面积 长 宽，
图3的面积 ，故图3所表示的一个等式： ，
故答案为： ；
（2） 图形面积为： ，
长方形的面积 长 宽 ，
由此可画出的图形为：
【变式训练2】阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，
可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到 ．请解答下列
问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 ， ，
求 的值；
（3）图3中给出了若干个边长为 和边长为 的小正方形纸片．若干个长为 和宽为 的
长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：
．【解答】解：（1）根据题意，大矩形的面积为： ，
各小矩形部分的面积之和 ，
等式为 ．
（2）
．
（3）如图所示
【变式训练3】先阅读后作答：根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法．例如：
十 ，就可以用图①的面积关系来说明．（1）根据图②写出一个等式：
（2） ，请你画出一个相应的几何图形加以说明．
【解答】解：① ；
②画出的图形如下：
（答案不唯一，只要画图正确即得分）
【变式训练4】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片， 种纸片是边长为
的正方形， 种纸片是边长为 的正方形， 种纸片是长为 、宽为 的长方形．用 种
纸片一张， 种纸片一张， 种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）．
方法1 ；
方法2 ．
（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式： ， ，àb之间的等量关系为
；
（3）晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为 的长方形，这个长方形相邻
两边长为 ；
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知： ， ，求 的值；②已知： ，求 的值．
【解答】解：（1）由题意，图2面积可分别表示为： 和 àb，
故答案为： ， àb；
（2）根据（1）中两个结果可得， àb，
故答案为： àb；
（3） 可分解为 ，
可拼成边长各为 ， 的长方形，
故答案为： ， ；
（4）①由（2）题结果 àb可得，
，
② 设 ， ， 则 ，
，
，
又 ，
，
àb ，．
【例5】阅读理解：
若 满足 ，求 的值．
解：设 ， ，则 ， ，
解决问题：
（1）若 满足 ．则 1 2 ；
（2）若 满足 ，求 的值；
（3）如图，在长方形 中， ， ，点 ． 是 、 上的点，且
，分别以 、 为边在长方形 外侧作正方形 和 ，若
长方形 的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．
【解答】解：（1）设 ， ，则 ，
，
所以 ；
故答案为：12；
（ 2 ） 设 ， ， 则 ，，
所以 ；
答： 的值为 ；
（3）由题意得， ， ，
长方形 的面积为160，
，
，
阴影部分的面积为 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ；
故答案为：384
【变式训练1】若 满足 ，求 的值．
解：设 ， ，
则 ， ，
．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若 满足 ，求 的值；
（2）已知正方形 的边长为 ， ， 分别是 、 上的点，且 ， ，
长方形 的面积是48，分别以 、 作正方形 和正方形 ，求阴影部
分的面积．【解答】解：（1）设 ， ，
， ，
，
；
（2） 正方形 的边长为 ， ， ，
， ，
，
，
阴影部分的面积 ．
设 ， ，则 ， ，
，
， ，
，
，
．
即阴影部分的面积是28
【变式训练2】阅读理解：“若 满足 ，求 的值”．解：设 ， ，
则 ， ，
那么 ．
解决问题：
（1）若 满足 ，求 的值；
（2）如图，正方形 的边长为 ， ， ，长方形 的面积是
200，四边形 和 都是正方形，四边形 是长方形，求图中长方形
的面积．（结果是一个具体的数值）．
【解答】解：（1）设 ， ，则 ，
，
；
（2） ，
设 ， ，则 ，且 ，则 ．
【例6】【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若 ， ，则
．
（3）小明同学用图3中 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形， 张宽、长分别
为 、 的长方形纸片拼出一个面积为 长方形，则 ．
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图 4表
示的是一个边长为 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图 4
中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 图 2 得 ： 正 方 形 的 面 积 ； 正 方 形 的 面 积
，
， （2分）故答案为： ；
（2） ，
， ，
，
，
故答案为：30； （4分）
（3）由题意得： ，
，
，
，
故答案为：9； （6分）
（4） 原几何体的体积 ，新几何体的体积 ，
．
故答案为： ． （8分）
【变式训练1】把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面
积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由1，可得等式：
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为 的正方形，
试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 ， ，求 的值．（3）如图3，将两个边长分别为 和 的正方形拼在一起， ， ， 三点在同一直线上，
连接 和 ．若这两个正方形的边长满足 ， ，请求出阴影部分的面积．
【解答】解：（1） ；
（2） ， ，
；
（3） ， ，
【变式训练2】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一
个数学等式．例如图1可以得到 ．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 ， ，
求 的值；
（3）小明同学用3张边长为 的正方形，4张边长为 的正方形，7张边长分别为 、 的
长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？
（4）小明同学又用 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形， 张边长分别为 、
的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么 2016．
【解答】解：（1）正方形的面积可表示为 ；
正方形的面积 各个矩形的面积之和 ，
所以 ．
（2）由（1）可知：
（3）长方形的面积 ．
所以长方形的边长为 和 ，
所以较长的一边长为
（ 4 ） 长 方 形 的 面 积
， ， ．
．
故答案为：2016
