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专题 05 指数与指数函数
目录
题型一： 指数的运算.......................................................................................................................3
题型二： 指数函数的图像...............................................................................................................4
题型三： 指数比较大小...................................................................................................................6
题型四： 指数函数与不等式.........................................................................................................10
题型五： 指数函数性质综合运用.................................................................................................11
知识点总结
知识点一、根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根；
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数；
(3)()n＝a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝
知识点二、有理数指数幂
正分数指数幂：a＝
概念 负分数指数幂：a＝＝ a>0，m，n∈N*，n>1
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
ar·as＝ar＋s
运算
(ar)s＝ars a>0，b>0，r，s∈Q
性质
(ab)r＝arbr知识点三、指数函数的概念、图象与性质
y＝ax(a>0，且a≠1)
01
图象
在x轴上方，过定点(0,1)
图象特征
当x逐渐增大时，图象逐渐下降 当x逐渐增大时，图象逐渐上升
定义域 R
值域 (0 ，＋∞ )
性
单调性 递减 递增
质
函数变 当x＝0时， y ＝ 1
化规律 当x<0时，y>1；当x>0时，00时，y>1
【常用结论与知识拓展】
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间
的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，
底数越大．例题精讲
题型一：指数的运算
【要点讲解】(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是字母,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来计算.
【例1】
A．9 B． C．3 D．
【解答】解： ．
故选： ．
【变式训练1】 的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：动点 ， 的轨迹方程为 ，
抛物线的焦点坐标为 ， ，
设 到准线的距离为 ， ， ，
则原式故选： ．
【变式训练2】化简 ， 为正数）的结果是
A． B． C． D．
【解答】解：原式 ．
故选： ．
题型二：指数函数的图像
【要点讲解】(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这
些点,若不满足则排除;
(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸
缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论;
(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解;
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.
【例2】指数函数 的图象如图所示，则 图象顶点横坐标的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由图象知函数为减函数，则 ，二次函数 的顶点的横坐标为 ，
，
， ，
即横坐标的取值范围是 ．
故选： ．
【变式训练1】函数① ；② ；③ ；④ 的图象如图所示， ， ， ，
分别是下列四个数： ， ， ， 中的一个，则 ， ， ， 的值分别是
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【解答】解：直线 与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为 ， ， ， ，
由 ，
故选： ．
【变式训练2】已知 ， ，则函数 的图象必定不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解： ， ，
的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过 ，的图象可看成把 的图象向下平移 个单位得到的，
故函数 的图象
经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限，
故选： ．
【变式训练3】若函数 且 的图象经过第一、二、三象限，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数 且 的图象经过第一、二、三象限，
则根据指数函数的图象可知， ，当 时， ，
即 ，解得 ，
由指数函数的性质可知 ， ．
故选： ．
题型三：指数比较大小
【要点讲解】(1)能化成同底数幂的先化成同底数幂再利用 单调性 比较大小
(2)不能化成同底数幂的,一般引入 “ 1 ” 等中间量比较大小
【例3】已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解：设 ，则 ，
当 时， 为减函数，
又 （7） ，
，则 ，当 时， ， 为减函数，
（9） （8） （7）， ，
， ，
即 ．
故选： ．
【变式训练1】设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
因为函数 为减函数，
所以 ，即 ，
综上， ．
故选： ．
【例4】设函数 ， 且 ，则下列关系式不成立的
是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 ，故 ， 错误；
故可作出 的图象如图所示，由图可知，要使 且 （c） （a） （b）成立，
则有 且 ，
故必有 且 ，
又 （c） （a） ，即为 ，
所以 ，故 错误， 正确．
故选： ．
【变式训练1】已知函数 ，实数 ， 满足 ，则
A． B． ， ，使得
C． D．
【解答】解：画出函数 的图象，如图所示，由图知 ，则 ，故 错， 对，
由基本不等式可得 ，所以 ，则 ，故 错，
对．
故选： ．
【例5】若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，得 ，
若 ，则 ，由 ，得 ，与 矛盾，故 错误；
若 ，则 ，由 ，得 成立，此时 ，故 错误；
取 ，由 ，得 ，又 单调递增，且
，
，此时 ，故 错误；
下面证明 ，
要证 ，即证 ，若 ，由 知 ，则 ，可得成立；
若 ，由 知 ，则 ，可得 成立．
综上可得， ．
故选： ．
【变式训练1】已知函数 ，且函数 的图像与 的图像关于直线 对称，
函数 的图像与 的图像关于 轴对称，设 ．则
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得， ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ．
故选： ．
题型四：指数函数与不等式
【要点讲解】先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解
【例6】已知偶函数 ，则满足 的实数 的取值范围是
A． B．
C． D． ， ，
【解答】解：当 时， 为增函数，
又由函数 为偶函数，
故当 时， 为减函数，若 （2），
则 ，
解得： ，
故选： ．
【变式训练1】已知函数 ，若 时 ，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
若 时，由 ，得 ，
所以 ，
若 ，则 ，当且仅当 时取等号，
又 在 ， 上单调递增，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练2】已知指数函数 且 ，过点 ．
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ）若 ，求实数 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）指数函数 且 ，过点 ，
则 ，解得 ，所以 ；
（Ⅱ）由①可知， ，则 在 上为单调递增函数，
不等式 ，等价于 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．
题型五：指数函数性质综合运用
【要点讲解】利用好同增异减去进行分析题目
【例7】若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是
A． B． ，
C． ， ， D． ，
【解答】解：由于底数 ，所以函数 的单调性与 的
单调性相同．
因为函数 在 上是减函数，
所以 在 上是减函数，所以 ，即 ，
从而实数 的取值范围是 ，
故选： ．
【变式训练1】求函数 在区间 上的值域．
【解答】解：
，令 ， ， ， ，
则 ， ， ，
对称轴 ，函数在 ， 递减，在 ， 递增，
， ，
函数的值域是 ， ．
【变式训练2】已知函数 为常数），若 在区间 ， 上是增函数，
则 的取值范围是 ， ．
【解答】解： 函数 为常数），
令 ，则 ，
由 为增函数，
在 ， 上为增函数，
故函数 的单调递增区间为 ， ，
若 在区间 ， 上是增函数，
则 ， ， ，
即 ，
解得： ， ，
故 的取值范围 ， ，
故答案为： ，【变式训练3】已知函数 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）当 ， 时，求 的最大值和最小值．
【解答】解：（1）当 ，即 时，
， ，
， ，故 （4分）
（2）
令
当 ，即 时，函数的最小值 （10分）
当 ，即 时，函数的最大值 （12分）
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．指数函数 与 的图象如图所示，则
A． ， B． ， C． ， D． ，2．函数① ；② ；③ ；④ 的图象如图所示， ， ， ， 分别是
下列四个数： ， ， ， 中的一个，则 ， ， ， 的值分别是
A． ， ， ， B． ， ， ， C． ， ， ， D． ， ， ，
3．已知 ，则
A． B． C． D．
4．下列结论中，正确的是
A．函数 是指数函数
B．函数 的值域是 ，
C．若 ，则
D．函数 的图像必过定点
5．设 ， ，若函数在 处的函数值大于函数在 处的函数值，函
数在 处的函数值大于函数在 处的函数值，则下列关系式中一定成立的是A． B． C． D．
6．若 ，则
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．函数 且 的图象一定不经过的点
A． B． C． D．
8．已知函数 的图象恒过点 ，则下列函数图象也过点 的是
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
9．当 时， ．
10．若 时，指数函数 的值总大于1，则实数 的取值范围是 ．
11．函数 且 的图象恒过定点 ，则点 的坐标为 ．
12．在 ， ， ， 这4个数中，最小的是 ，最大的是 ．
四．解答题（共3小题）
13．化简求值：
（1） ；
（2）若 ，求 ， 的值．
14．已知函数 ．（1）求函数 在区间 ， 上的最大值和最小值；
（2）若方程 在区间 内有解，求实数 的取值范围．
15．已知函数 是指数函数，函数 ．
（1）求函数 在 ， 上的值域；
（2）若函数 是定义域为 的奇函数，试判断函数 的单调性，并用定义证明．
