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§2.7 对数与对数函数
考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常
用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与
特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数．
a
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x ＝ log N，其中
a
a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N .
以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N .
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1＝0，log a＝1， ＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
a a
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝log M ＋ log N；
a a a
②log ＝log M － log N；
a a a
③log Mn＝ n log M (n∈R)．
a a
(3)换底公式：log b＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
a
3．对数函数的图象与性质
y＝log x a>1 0<a<1
a
图象
定义域 (0 ，＋ ∞ )
值域 R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时， y >0 ； 当x>1时， y <0 ；
性质 当0<x<1时， 当0<x<1时，
y <0 y >0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于
a
直线 y ＝ x 对称．
常用结论
1．log b·log a＝1， ＝log b.
a b a
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝log x(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
a
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，则log (MN)＝log M＋log N.( × )
a a a
(2)对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
a
(3)函数y＝log 与函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数．( × )
a
(4)函数y＝log x与y＝ 的图象重合．( √ )
2
教材改编题
1．函数y＝log (x－2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 ．
a
答案 (3,2)
解析 ∵log 1＝0，
a
令x－2＝1，∴x＝3，
∴y＝log 1＋2＝2，
a
∴原函数的图象恒过定点(3,2)．
2．计算：(log 9)·(log 4)＝ .
2 3
答案 4
解析 (log 9)·(log 4)＝×＝×＝4.
2 3
3．若函数y＝log x(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝ .
a
答案 或2
解析 当a>1时，log 4－log 2＝log 2＝1，
a a a
∴a＝2；
当0<a<1时，log 2－log 4＝－log 2＝1，
a a a
∴a＝，综上有a＝或2.题型一 对数式的运算
例1 (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B．10 C．20 D．100
答案 A
解析 2a＝5b＝m，
∴log m＝a，log m＝b，
2 5
∴＋＝＋＝log 2＋log 5
m m
＝log 10＝2，
m
∴m2＝10，
∴m＝(舍m＝－)．
(2)计算：log 35＋ －log －log 14＝ .
5 5 5
答案 2
解析 原式＝log 35－log －log 14＋
5 5 5
＝log ＋
5
＝log 125－1＝log 53－1＝3－1＝2.
5 5
教师备选
计算：＝ .
答案 1
解析 原式＝
＝
＝＝＝＝1.
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及
变形应用．
跟踪训练1 (1)已知a>b>1，若log b＋log a＝，ab＝ba，则a＋b＝ .
a b
答案 6
解析 设log a＝t，则t>1，因为t＋＝，
b所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，
所以b2b＝ ，即2b＝b2，
又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
所以a＋b＝6.
(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ .
答案 4
解析 原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2
＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2
＝3(lg 5＋lg 2)＋1
＝4.
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)＝log (2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系
a
是( )
A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1
C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1
答案 A
解析 由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log b)，由
a
函数图象可知－1<log b<0，解得<b<1.综上有0<<b<1.
a
(2)若方程4x＝log x在上有解，则实数a的取值范围为 ．
a
答案
解析
若方程4x＝log x在上有解，则函数y＝4x和函数y＝log x在上有交点，
a a
由图象知解得0<a≤.
教师备选
已知x，x 分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，则 ＋ln x 的值为( )
1 2 2A．e2＋ln 2 B．e＋ln 2
C．2 D．4
答案 C
解析 根据题意，已知x，x 分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，
1 2
函数f(x)＝ex＋x－2的零点为函数y＝ex的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为(x， )，
1
函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为函数y＝ln x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为(x，ln x)，
2 2
又由函数y＝ex与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，
而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x ， )和(x ，ln x)也关于直线y＝x对称，则
1 2 2
有x＝ln x，则有 ＋ln x＝ ＋x＝2.
1 2 2 1
思维升华 对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、
最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝log x＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝ax＋b的图象可能
a
为( )答案 D
解析 结合已知函数的图象可知，
f(1)＝b<－1，a>1，
则g(x)单调递增，且g(0)＝b＋1<0，故D符合题意．
(2)(2022·广州调研)设x ，x ，x 均为实数，且 ＝ln x ， ＝ln(x ＋1)， ＝lg x ，
1 2 3 1 2 3
则( )
A．x<x<x B．x<x<x
1 2 3 1 3 2
C．x<x<x D．x<x<x
2 3 1 2 1 3
答案 D
解析 画出函数y＝x，y＝ln x，y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示．
数形结合，知x<x<x.
2 1 3
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式、对数式大小
例3 (1)设a＝log e，b＝e1.5，c＝ ，则( )
3
A．b<a<c B．c<a<b
C．c<b<a D．a<c<b
答案 D
解析 c＝ ＝log 4>log e＝a.
3 3
又c＝log 4<log 9＝2，b＝e1.5>2，
3 3
∴a<c<b.
(2)(2022·昆明一中月考)设a＝log 3，b＝log 6，c＝log 12，则( )
6 12 24
A．b<c<a B．a<c<b
C．a<b<c D．c<b<a答案 C
解析 因为a，b，c都是正数，
所以＝log 6＝1＋log 2，
3 3
＝log 12＝1＋log 2，
6 6
＝log 24＝1＋log 2，
12 12
因为log 2＝，
3
log 2＝，
6
log 2＝，且lg 3<lg 6<lg 12，
12
所以log 2>log 2>log 2，
3 6 12
即>>，
所以a<b<c.
命题点2 解对数方程不等式
例4 若log (a＋1)<log (2)<0(a>0，a≠1)，则实数a的取值范围是 ．
a a
答案
解析 依题意log (a＋1)<log (2)<log 1，
a a a
∴或
解得<a<1.
命题点3 对数性质的应用
例5 (2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是奇函数，且在上单调递减
答案 D
解析 f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为.
又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|
＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除A，C.
当x∈时，
f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln
＝ln＝ln，
∵y＝1＋在上单调递减，
∴由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．
教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a＝log 3，b＝2log 3，c＝ ，则a，b，c的大小关系
2 5
为( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>b>a
答案 B
解析 ∵a＝log 3>1，b＝2log 3＝log 9>1，
2 5 5
c＝ <0，
∴＝＝×＝×
＝＝＝log 5>1，
4
∴a>b，∴a>b>c.
2．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 A
解析 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数f(x)在
(－∞，1]上单调递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一
是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
跟踪训练3 (1)若实数a，b，c满足log 2<log 2<log2<0，则下列关系中正确的是( )
a b c
A．a<b<c B．b<a<c
C．c<b<a D．a<c<b
答案 C
解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得<<<0，
即log c<log b<log a<0，
2 2 2
可得c<b<a<1.
(2)若函数f(x)＝存在最大值，则实数a的取值范围是 ．
答案
解析 当a>1时，函数f(x)＝log x在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意，
a
故0<a<1.
当x≥2时，函数f(x)＝log x在[2，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(2)＝log 2；
a a
当0<x<2时，f(x)＝－log x－4在(0,2)上单调递增，f(x)<f(2)＝－log 2－4，
a a
则log 2≥－log 2－4，即log 2≥－2＝log a－2，
a a a a
即≥2,0<a≤，故实数a的取值范围是.
(3)(2022·潍坊模拟)已知f(x)＝1＋log x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)，则g(x) －g(x)
3 max min
＝ .
答案 5
解析 由题意得
∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1,3]，
g(x)＝f2(x)＋f(x2)
＝(1＋log x)2＋1＋log x2
3 3
＝(log x)2＋4log x＋2，
3 3
设t＝log x，则0≤t≤1，
3
则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2，在[0,1]上单调递增，
∴当t＝0即x＝1时，g(x) ＝2，
min
当t＝1即x＝3时，g(x) ＝7，
max
∴g(x) －g(x) ＝5.
max min
课时精练
1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a＝，b＝log ，c＝log 7，则( )
7 8
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 a＝＝log >b＝log ，
7 7
c＝log 7>log ＝＝a，
8 8
所以c>a>b.
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．log x B. C． D．2x－2
2
答案 A
解析 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log x，
a
又f(2)＝1，即log 2＝1，
a
所以a＝2.故f(x)＝log x.
2
3．(2022·昆明模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，
声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L ＝10 lg (单位：分贝，
1L≥0，其中I ＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规
1 0
定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在 50分贝以下，则声音强度I的取值范围
是( )
A．(－∞，10－7) B．[10－12，10－5)
C．[10－12，10－7) D．(－∞，10－5)
答案 C
解析 由题意可得，0≤10·lg <50，
即0≤lg I－lg(1×10－12)<5，
所以－12≤lg I<－7，
解得10－12≤I<10－7，
所以声音强度I的取值范围是[10－12,10－7)．
4．设函数f(x)＝ 若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案 C
解析 由题意得
或
解得a>1或－1<a<0.
5. (多选)函数y＝log (x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成
a
立的是( )
A．a>1
B．0<c<1
C．0<a<1
D．c>1答案 BC
解析 由图象可知函数为减函数，∴0<a<1，
令y＝0得log (x＋c)＝0，
a
x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0<1－c<1，
∴0<c<1.
6．(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则( )
A．f(ln 2)＝ln
B．f(x)是奇函数
C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
D．f(x)的最小值为ln 2
答案 ACD
解析 f(ln 2)＝ln(e2ln 2＋1)－ln 2＝ln ，
故A项正确；
f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(e2x＋1)－ln ex
＝ln ＝ln(ex＋e－x)，
所以f(－x)＝ln(ex＋e－x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故B项错误；
当x>0时，y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，
因此y＝ln(ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，故C项正确；
由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，
所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，
所以f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，故D项正确．
7．(2022·海口模拟)log ＋lg 25＋lg 4＋ ＋ 的值等于 ．
3
答案
解析 原式＝
＋lg 52＋lg 22＋2＋
＝＋2lg 5＋2lg 2＋2＋2
＝＋2(lg 5＋lg 2)＋2＋2
＝＋2＋2＋2
＝.
8．函数f(x)＝log · 的最小值为 ．
2
答案 －解析 依题意得f(x)＝log x·(2＋2log x)＝(log x)2＋log x＝2－≥－，当log x＝－，即x＝时等
2 2 2 2 2
号成立，所以函数f(x)的最小值为－.
9．设f(x)＝log (ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log 12.
2 2
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的最大值．
解 (1)因为f(x)＝log (ax－bx)，
2
且f(1)＝1，f(2)＝log 12，
2
所以
即
解得a＝4，b＝2.
(2)由(1)得f(x)＝log (4x－2x)，
2
令t＝4x－2x，
则t＝4x－2x＝2－，
因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4，
所以≤2≤，即2≤t≤12，
因为y＝log t在[2,12]上单调递增，
2
所以y ＝log 12＝2＋log 3，
max 2 2
即函数f(x)的最大值为2＋log 3.
2
10．(2022·枣庄模拟)已知函数f(x)＝log (x＋1)－log (1－x)，a>0且a≠1.
a a
(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(2)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
解 (1)f(x)是奇函数，证明如下：
因为f(x)＝log (x＋1)－log (1－x)，
a a
所以
解得－1<x<1，f(x)的定义域为(－1,1)．
f(－x)＝log (－x＋1)－log (1＋x)
a a
＝－[log (1＋x)－log (－x＋1)]＝－f(x)，
a a
故f(x)是奇函数．
(2)因为当a>1时，y＝log (x＋1)是增函数，
a
y＝log (1－x)是减函数，
a
所以当a>1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
f(x)>0即log (x＋1)－log (1－x)>0，
a a
log >0，>1，>0，
a
2x(1－x)>0，解得0<x<1，故使f(x)>0的x的解集为(0,1)．
11．设a＝log 0.3，b＝log 0.3，则( )
0.2 2
A．a＋b<ab<0 B．ab<a＋b<0
C．a＋b<0<ab D．ab<0<a＋b
答案 B
解析 ∵a＝log 0.3>log 1＝0，
0.2 0.2
b＝log 0.3<log 1＝0，∴ab<0.
2 2
∵＝＋＝log 0.2＋log 2＝log 0.4，
0.3 0.3 0.3
∴1＝log 0.3>log 0.4>log 1＝0，
0.3 0.3 0.3
∴0<<1，∴ab<a＋b<0.
12．若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝log z，则( )
4
A．z>x>y B．z>y>x
C．x>y，x>z D．z>x，z>y
答案 D
解析 设2x＝3y＝log z＝k>0，
4
则x＝log k，y＝log k，z＝4k，
2 3
根据指数、对数函数图象易得4k>log k，
2
4k>log k，
3
即z>x，z>y.
13．(2022·沈阳模拟)函数f(x)＝|log x|，若正实数m，n(m<n)满足f(m)＝f(n)，且f(x)在区间
3
[m2，n]上的最大值为2，则n－m等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵f(x)＝|log x|，正实数m，n(m<n)满足f(m)＝f(n)，
3∴0<m<1<n，且|log m|＝|log n|，
3 3
∴log m＝－log n，
3 3
∴log m＋log n＝0，解得mn＝1，
3 3
又∵f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，
易知f(m2)＝－log m2＝2，此时
3
∴n－m＝.
14．(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝log 有最小值，则实数a的取值范围是 ．
a
答案 (1，)
解析 令u＝x2－ax＋＝2＋－，
则u有最小值－，
欲使函数f(x)＝log 有最小值，
a
则有
解得1<a<，即实数a的取值范围为(1，)．
15．(2022·丽水模拟)已知log (a＋1)<log a(a>0且a≠1)，则a的取值范围是 ．
a (a＋1)
答案
解析 ∵log (a＋1)－log a
a (a＋1)
＝－
＝
＝
当a>1时，lg(a＋1)>lg a>0，
∴log (a＋1)>log a，不符合题意；
a (a＋1)
当0<a<1时，lg a<0，lg(a＋1)>0，
lg(a＋1)－lg a＝lg>lg 1＝0，
lg(a＋1)＋lg a＝lg [a(a＋1)]
＝lg，
∴log (a＋1)<log a(0<a<1)
a (a＋1)
即为lg>0，由于y＝lg x(x>0)单调递增，
∴2－>1.
又0<a<1，解得<a<1，
综上有a的取值范围是.
16．已知函数f(x)＝log (2x＋k)(k∈R)．
2
(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；
(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．
解 (1)当k＝－4时，f(x)＝log (2x－4)．
2
由f(x)>2，
得log (2x－4)>2，
2
得2x－4>4，
得2x>8，
解得x>3.
故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．
(2)因为函数f(x)＝log (2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，
2
所以f(0)＝1，
即log (1＋k)＝1，
2
解得k＝1.
所以f(x)＝log (2x＋1)．
2
因为关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，
即log (2x＋1)＝x－2m有实根．
2
所以方程－2m＝log (2x＋1)－x有实根．
2
令g(x)＝log (2x＋1)－x，
2
则g(x)＝log (2x＋1)－x
2
＝log (2x＋1)－log 2x
2 2
＝log ＝log .
2 2
因为1＋>1，log >0，
2
所以g(x)的值域为(0，＋∞)．
所以－2m>0，
解得m<0.
所以实数m的取值范围是(－∞，0)．
