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§2.7 对数与对数函数
考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常
用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与
特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数．
a
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x ＝ log N，其中
a
a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N .
以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N .
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1＝0，log a＝1， ＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
a a
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝log M ＋ log N；
a a a
②log ＝log M － log N；
a a a
③log Mn＝ n log M (n∈R)．
a a
(3)换底公式：log b＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
a
3．对数函数的图象与性质
y＝log x a>1 01时， y >0 ； 当x>1时， y <0 ；
性质 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于
a
直线 y ＝ x 对称．
常用结论
1．log b·log a＝1， ＝log b.
a b a
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝log x(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
a
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，则log (MN)＝log M＋log N.( × )
a a a
(2)对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
a
(3)函数y＝log 与函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数．( × )
a
(4)函数y＝log x与y＝ 的图象重合．( √ )
2
教材改编题
1．函数y＝log (x－2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 ．
a
答案 (3,2)
解析 ∵log 1＝0，
a
令x－2＝1，∴x＝3，
∴y＝log 1＋2＝2，
a
∴原函数的图象恒过定点(3,2)．
2．计算：(log 9)·(log 4)＝ .
2 3
答案 4
解析 (log 9)·(log 4)＝×＝×＝4.
2 3
3．若函数y＝log x(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝ .
a
答案 或2
解析 当a>1时，log 4－log 2＝log 2＝1，
a a a
∴a＝2；
当0b>1，若log b＋log a＝，ab＝ba，则a＋b＝ .
a b
答案 6
解析 设log a＝t，则t>1，因为t＋＝，
b所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，
所以b2b＝ ，即2b＝b2，
又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
所以a＋b＝6.
(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ .
答案 4
解析 原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2
＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2
＝3(lg 5＋lg 2)＋1
＝4.
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)＝log (2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系
a
是( )
A．01.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log b)，由
a
函数图象可知－11，
则g(x)单调递增，且g(0)＝b＋1<0，故D符合题意．
(2)(2022·广州调研)设x ，x ，x 均为实数，且 ＝ln x ， ＝ln(x ＋1)， ＝lg x ，
1 2 3 1 2 3
则( )
A．xlog e＝a.
3 3
又c＝log 42，
3 3
∴alog 2>log 2，
3 6 12
即>>，
所以a0，a≠1)，则实数a的取值范围是 ．
a a
答案
解析 依题意log (a＋1)c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>b>a
答案 B
解析 ∵a＝log 3>1，b＝2log 3＝log 9>1，
2 5 5
c＝ <0，
∴＝＝×＝×
＝＝＝log 5>1，
4
∴a>b，∴a>b>c.
2．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 A
解析 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数f(x)在
(－∞，1]上单调递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一
是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
跟踪训练3 (1)若实数a，b，c满足log 21时，函数f(x)＝log x在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意，
a
故0b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 a＝＝log >b＝log ，
7 7
c＝log 7>log ＝＝a，
8 8
所以c>a>b.
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．log x B. C． D．2x－2
2
答案 A
解析 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log x，
a
又f(2)＝1，即log 2＝1，
a
所以a＝2.故f(x)＝log x.
2
3．(2022·昆明模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，
声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L ＝10 lg (单位：分贝，
1L≥0，其中I ＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规
1 0
定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在 50分贝以下，则声音强度I的取值范围
是( )
A．(－∞，10－7) B．[10－12，10－5)
C．[10－12，10－7) D．(－∞，10－5)
答案 C
解析 由题意可得，0≤10·lg <50，
即0≤lg I－lg(1×10－12)<5，
所以－12≤lg I<－7，
解得10－12≤I<10－7，
所以声音强度I的取值范围是[10－12,10－7)．
4．设函数f(x)＝ 若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案 C
解析 由题意得
或
解得a>1或－10，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成
a
立的是( )
A．a>1
B．01答案 BC
解析 由图象可知函数为减函数，∴00时，y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，
因此y＝ln(ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，故C项正确；
由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，
所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，
所以f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，故D项正确．
7．(2022·海口模拟)log ＋lg 25＋lg 4＋ ＋ 的值等于 ．
3
答案
解析 原式＝
＋lg 52＋lg 22＋2＋
＝＋2lg 5＋2lg 2＋2＋2
＝＋2(lg 5＋lg 2)＋2＋2
＝＋2＋2＋2
＝.
8．函数f(x)＝log · 的最小值为 ．
2
答案 －解析 依题意得f(x)＝log x·(2＋2log x)＝(log x)2＋log x＝2－≥－，当log x＝－，即x＝时等
2 2 2 2 2
号成立，所以函数f(x)的最小值为－.
9．设f(x)＝log (ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log 12.
2 2
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的最大值．
解 (1)因为f(x)＝log (ax－bx)，
2
且f(1)＝1，f(2)＝log 12，
2
所以
即
解得a＝4，b＝2.
(2)由(1)得f(x)＝log (4x－2x)，
2
令t＝4x－2x，
则t＝4x－2x＝2－，
因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4，
所以≤2≤，即2≤t≤12，
因为y＝log t在[2,12]上单调递增，
2
所以y ＝log 12＝2＋log 3，
max 2 2
即函数f(x)的最大值为2＋log 3.
2
10．(2022·枣庄模拟)已知函数f(x)＝log (x＋1)－log (1－x)，a>0且a≠1.
a a
(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(2)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
解 (1)f(x)是奇函数，证明如下：
因为f(x)＝log (x＋1)－log (1－x)，
a a
所以
解得－11时，y＝log (x＋1)是增函数，
a
y＝log (1－x)是减函数，
a
所以当a>1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
f(x)>0即log (x＋1)－log (1－x)>0，
a a
log >0，>1，>0，
a
2x(1－x)>0，解得00的x的解集为(0,1)．
11．设a＝log 0.3，b＝log 0.3，则( )
0.2 2
A．a＋blog 1＝0，
0.2 0.2
b＝log 0.3log 0.4>log 1＝0，
0.3 0.3 0.3
∴0<<1，∴abx>y B．z>y>x
C．x>y，x>z D．z>x，z>y
答案 D
解析 设2x＝3y＝log z＝k>0，
4
则x＝log k，y＝log k，z＝4k，
2 3
根据指数、对数函数图象易得4k>log k，
2
4k>log k，
3
即z>x，z>y.
13．(2022·沈阳模拟)函数f(x)＝|log x|，若正实数m，n(m0且a≠1)，则a的取值范围是 ．
a (a＋1)
答案
解析 ∵log (a＋1)－log a
a (a＋1)
＝－
＝
＝
当a>1时，lg(a＋1)>lg a>0，
∴log (a＋1)>log a，不符合题意；
a (a＋1)
当00，
lg(a＋1)－lg a＝lg>lg 1＝0，
lg(a＋1)＋lg a＝lg [a(a＋1)]
＝lg，
∴log (a＋1)0，由于y＝lg x(x>0)单调递增，
∴2－>1.
又02；
(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．
解 (1)当k＝－4时，f(x)＝log (2x－4)．
2
由f(x)>2，
得log (2x－4)>2，
2
得2x－4>4，
得2x>8，
解得x>3.
故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．
(2)因为函数f(x)＝log (2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，
2
所以f(0)＝1，
即log (1＋k)＝1，
2
解得k＝1.
所以f(x)＝log (2x＋1)．
2
因为关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，
即log (2x＋1)＝x－2m有实根．
2
所以方程－2m＝log (2x＋1)－x有实根．
2
令g(x)＝log (2x＋1)－x，
2
则g(x)＝log (2x＋1)－x
2
＝log (2x＋1)－log 2x
2 2
＝log ＝log .
2 2
因为1＋>1，log >0，
2
所以g(x)的值域为(0，＋∞)．
所以－2m>0，
解得m<0.
所以实数m的取值范围是(－∞，0)．
