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专题 06 对数与对数函数
目录
题型一： 对数的运算.......................................................................................................................3
题型二： 对数函数的图像...............................................................................................................4
题型三： 比较大小...........................................................................................................................6
题型四： 对数函数与不等式...........................................................................................................7
题型五： 对数函数性质综合...........................................................................................................9
知识点总结
知识点一、对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做 以 a 为底 N 的对数 ，记作 x ＝ log N，其中
a
a叫做对数的底数，N叫做真数．
知识点二、对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1＝0，log a＝1，alog N＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
a a a
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝log M ＋ log N.
a a a
②log ＝log M － log N.
a a a
③log Mn＝ n log M(n∈R)．
a a知识点三、换底公式
log b＝ (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
a
知识点四、对数函数的概念
一般地，函数y＝log x ( a >0 ，且 a ≠1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 (0 ，
a
＋∞ )．
知识点五、对数函数的图象及性质
a的范围 0<a<1 a>1
图象
定义域 (0 ，＋∞ )
值域 R
性质
定点 过定点(1,0)，即x＝1 时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
知识点六、指数函数与对数函数的关系
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们
a
的定义域与值域正好互换，图象关于直线 y ＝ x 对称．
【常用结论与知识拓展】
1．换底公式及其推论(1)log b·log a＝1，即log b＝ (a，b均大于0且不等于1)；
a b a
m
(2)log bn＝ log b；
a a
(3)log b·log c·logd＝log d.
a b c a
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故
0<c<d<1<a<b.
由此我们可得到此规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．
例题精讲
题型一：对数的运算
【要点讲解】(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂
的底数最简,然后再用对数的运算性质化简合并.
(2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底
数对数真数的积、商、幂的运算.
【例1】
A． B． C． D．【变式训练1】计算 的值为
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式训练2】 ．
【变式训练3】求值：
（1） ；
（2） ．
题型二：对数函数的图像
【要点讲解】在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐
标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
【例2】如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数 ， ，
的一个是A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【变式训练1】已知函数① ，② ，③ ，④ 的大
致图象如图所示，则
A． B． C． D．
【变式训练2】已知函数 ， ， 的图象如图所示，则
A． B． C． D．【变式训练3】函数 ，且 与函数 在同一直角坐
标系中的图象大致是
A． B．
C． D．
题型三：比较大小
【要点讲解】
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
【例3】若 ，则
A． B． C． D．
【变式训练1】已知 ， ， ，则
A． B． C． D．【变式训练2】已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【变式训练3】设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【变式训练4】已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【变式训练5】已知 ， ，则
A． B．
C． D．
【变式训练6】设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【变式训练7】已知 ， ，有以下命题：① ；②；③ ，其中正确的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练8】若实数 ， 满足 ，则
A． B． C． D．
题型四：对数函数与不等式
【要点讲解】(1)形如log x>log b的不等式,借助y=log x的单调性求解,如果a的取值不确定,
a a a
需分a>1与0<a<1两种情况讨论.
(2)形如log x>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.
a
【例4】不等式 的解集是 ．（用区间表示）
【变式训练1】若 ，则 的取值范围为 ．
【变式训练2】已知实数 满足 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练3】设函数 ，则满足 的 的取值范围是
A． ， B． ， ， C． ， ，
D． ，【变式训练4】已知函数 ，若 成立，则实数
的取值范围为
A． ， B．
C． ， ， D．
【变式训练5】已知 ，且 ，则 的取值范围是
A． B． C． ， D．
【变式训练6】已知函数 ， ， ， ，
有 ，则实数 的取值范围是 ．
题型五：对数函数性质综合
【要点讲解】(1)定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;
(2)底数与1的大小关系;
(3)复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.
【例5】已知函数 ，则函数 的减区间是
A． B． C． D．【变式训练1】函数 的单调递减区间为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【例6】已知 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【例7】已知函数 是 上的增函数（其中 且
，则实数 的取值范围为
A． B． C． D． ，
【例8】函数 在区间 内恒有 ，则 的取值范围是
A． B． 或
C． 或 D．
【例9】函数 在区间 ， 上是减函数，则 的取值范围是
A． B． ， C． ， D．【例10】已 知 函 数 的 图 象 恒 过 定 点 ， 且 函 数
在 ， 上单调递减，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． D．
【变式训练1】若函数 且 在区间 ， 内单调递增，
则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， ， D． ，
【变式训练2】若函数 ， 在区间 内单调递增，则 的
取值范围是
A． ， B． ， C． D．
【变式训练3】若函数 且 的值域是 ， ，则实
数 的取值范围是 ．
课后练习
一．选择题（共6小题）1．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
2．若 ，则
A． B． C． D．
3．已知 ， ， ，则 的最小值为
A．4 B．6 C．8 D．10
4．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
5．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是 大小的，即441个点，根据0
和1的二进制编码，一共有 种不同的码，假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约
为 秒，那么大约可以用（参考数据： ，
A． 万年 B．117万年 C． 万年 D．205万年
6．已知函数 ，则函数 的图象与两坐标轴围成图形
的面积是
A．4 B． C．6 D．
二．多选题（共2小题）
7．下列结论正确的是
A．
B．
C．D．
8．已知 ，则
A． B．
C． D．
三．填空题（共4小题）
9．已知对数函数 的图象过点 ，则 ．
10．已知 ， ，现有如下说法：① ；② ；③ ．
则正确的说法有 （横线上填写正确命题的序号）
11．已知 ，用 表示 ．
12．已知 ， ， ，则在 ， ， ， ， ，
这6个数中，值最小的是 ．
四．解答题（共3小题）
13．计算：
（1） ；
（2）若 ，求 的值．
14．（1） ；
（2） ．
15．已知函数 且 的图象过点 ．
（1）求实数 的值；
（2）解关于 的不等式 ．
