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极坐标与参数方程专项测试卷
考试时间：120分钟 满分：100分
1．（2023·四川成都·统考一模）在直角坐标系 中，圆心为 的圆 的参数方程为 （ 为
参数）．以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求圆 的极坐标方程；
(2)设点 在曲线 上，且满足 ，求点 的极径．
【答案】(1)
(2)1或
【分析】（1）根据参数方程，直角坐标方程，极坐标方之间的相互转化关系即可求解；（2）根据极坐标
方程和余弦定理以及一元二次方程即可求解.
【详解】（1）由圆 的参数方程消去参数 ，得圆 的普通方程为
，圆心 ．
把 代入 ，
化简得圆 的极坐标方程为 ．
（2）由题意，在极坐标系中，点 ．
点 在曲线 上，设 ．
在 中，由余弦定理有 ，
即 ．
化简得 ．
解得 或 ．故 或 ．
点 的极径为1或 ．
2．（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为
（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程
是 ．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）消去参数可得C的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.
【详解】（1）由 （t为参数），得 ，
故曲线C的普通方程为 ．
由 ，得 ，
故直线l的直角坐标方程为 ．（2）由题意可知直线l的参数方程为 （t为参数）．
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得 ，
设A，B对应的参数分别是 ，
则 ，
从而 ，
故 ．
3．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在直角坐标系 中，已知曲线 ：
（ 为参数）.经伸缩变换 后的曲线为 ，以原点О为极点，x轴非负半轴为极轴
建立极坐标系.
(1)求曲线 的极坐标方程；
(2)M，N是曲线 上的两点，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据伸缩变换求出 的普通方程，再根据根据极坐标与直角坐标转化的公式转化为极坐标
方程（2） 转化为极角的关系，用三角函数解决.
【详解】（1） 为参数 ，经过伸缩变换
即 为参数 ，所以 为参数
，根据极坐标与直角坐标转化的公式 ，可得
（2）由（1）知曲线 的普通方程为
且极坐标方程为 ，设 的极坐标为 ，
则 的极坐标为 ，
，
又因为 ，所以
， 面积的取值范围为
4．（2023·四川内江·统考一模）在直角坐标系 中，已知曲线 （ 为参数）.在以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
(2)求曲线 与直线 交点的极坐标 .
【答案】(1)曲线 ；直线
(2) 和
【分析】（1）根据参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标互化原则直接求解即可；
（2）联立曲线 与直线 的直角坐标方程，可求得交点的直角坐标，根据直角坐标与极坐标互化的方法可
求得极坐标.
【详解】（1）由 得： ，即曲线 的普通方程为 ；
由 得： ，
则 ，即直线 的直角坐标方程为 .
（2）由 得： 或 ，即曲线 与直线 交点为 和 ，
曲线 与直线 交点的极坐标为 和 .
5．（2022·河南·校联考模拟预测）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
(1)写出 的直角坐标方程;(2)若 与 只有一个公共点，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用和差化积的正弦公式把直线 的极坐标方程展开，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即
可求解.
(2)先得出曲线C的普通方程，再联立方程，利用判别式等于0即可求解.
（1）
由 的极坐标方程可得 ，由 可知，
直角坐标方程为： .
（2）
由 的参数方程可得 ，
即 的普通方程为 .
联立方程 得： ，
因为直线 与曲线 只有一个公共点，
所以 ，
解得： .
6．（2022·四川广安·统考模拟预测）在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为
（ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 .
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A，B两点，证明： 为定值.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）将曲线 参数方程平方相加，即可消去参数得到普通方程，将直线 方程展开，利用
代入，即可求出直角坐标方程；
（2）由（1）得 ，设直线 参数方程为 为参数），代入曲线 普通方程中，设交
点 ， 对应的参数为 ，根据根与系数关系得出 的值，结合直线 参数的几何意义即可证明.
(1)
解：由 得
由 得 ，
因为 ，所以 ，
所以， 的普通方程是 ， 的直角坐标方程为
(2)
解：由（1）知
设 的参数方程为 为参数），
代入 的普通方程得 ，
所以，当 时，设方程的两根为 ，则所以， ，
所以 为定值.
7．（2022·河南安阳·校联考模拟预测）在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．
(1)写出C的普通方程和一个参数方程；
(2)若直线 和 分别与C交于与O不重合的点A，B，求 ．
【答案】(1)普通方程为 ，参数方程为 （ 为参数）；
(2)
【分析】（1）先由公式求出C的普通方程，再写出参数方程即可；
（2）先联立极坐标方程求得 ，再结合 ，由勾股定理求 即可.
(1)
由 可得 ，化为普通方程为 ，即 ；参数方程为 （
为参数）；
(2)
将 和 分别代入 ，得 ，解得 ； ，解
得 ；
则 ，又 ，则 ，则 .
8．（2022·黑龙江鸡西·鸡西市第四中学校考三模）在平面直角坐标系 中，曲线 ： ，曲线 ：（ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 ， 的极坐标方程；
(2)若射线 与曲线 ， 的公共点分别为A，B，求 的最大值.
【答案】(1) ， ；
(2) .
【分析】（1）根据直角坐标与极坐标的转化公式可得 ，消参得 的普通方程，再转化为极坐标方程即
可；
（2）根据极径的意义，问题转化为 ，代入 ， ，利用三角函数求最
值即可.
（1）
曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 的普通方程为 ，所以曲线 的极坐标方程为 .
（2）
设 ， ，
因为A，B是射线 与曲线 ， 的公共点，
所以不妨设 ，则 ， ，
所以
，所以当 时， 取得最大值 .
9．（2022·贵州贵阳·贵阳一中校考模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知直线l过点 倾斜角为
且
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求点M关于曲线 R）的对称点的极
坐标；
(2)已知点A，B分别是直线l与x，y轴的交点，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合对称性即可直接写出结果；
（2）设出直线的参数方程，进而可得 然后结合三角函数的图像与性质即
可求出结果.
(1)
点 的极坐标为 ，曲线 是过极点且倾斜角为 的直线，
所以可得点 关于曲线 的对称点的极坐标为 .
(2)
直线 的参数方程为 （ 为参数），
设点 对应的参数分别为 ，
因为点 分别是直线 与 轴的交点，所有 ，
当 时， .
10．（2022·江西萍乡·统考三模）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参
数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)若点 为曲线 上任意一点，求点 到直线 距离的最小值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）消去参数t得直线普通方程，将 代入曲线 可得直角坐标方程；
（2）设点 ，利用点到直线距离公式求解可得.
(1)
将 代入 ，消去t得直线 的普通方程为 ；
由 得， ，
将 代入可得 ，即曲线 的直角坐标方程为 ；
(2)设点 ，
则点 到直线 的距离 ，
当 ，即 时， ，
所以点 到直线 的距离最小值为 .
