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解析几何专项测试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．（2023·全国·模拟预测）已知圆 ，圆 ，则同时与圆
和圆 相切的直线有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．0条
【答案】B
【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案.
【详解】由圆 ，则圆心 ，半径 ；
由圆 ，整理可得 ，则圆心 ，半径 ；
由 ，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.
故选：B.
2．（2023·全国·模拟预测）双曲线 的离心率为 ，且过点 ，则双曲线方程
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过已知得出 与 的两个关系式，即可联立求解，代入双曲线方程即可得出答案.
【详解】 双曲线 的离心率为 ，
，，
，即 ，
双曲线 过点 ，
，
则由 与 联立解得： ， ，
双曲线的方程为： ，
故选：B.
3．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）设圆 的方程为 ，则圆C围成
的圆盘在x轴上方的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出直线与 轴的交点，并确定 的大小，再根据圆盘在x轴上方的部分由 个圆和三角形
组成，即可求解.
【详解】令 得， 解得 ，
设圆C与x轴相交的点为 ，则 ，
圆圆C的圆心 ，半径 ，
，
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，三角形 的面积等于 ，
圆盘在x轴上方的部分由 个圆和三角形 组成，
所以圆盘在x轴上方的部分面积等于 ，
故选:A.
4．（2023·浙江·统考一模）设直线 与抛物线 交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点
M的横坐标是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】直接联立直线方程与抛物线方程，消y整理得 ，利用韦达定理以及中点坐标公式即
可得解．
【详解】联立 ，消y整理得 ，
则 ，所以 ．
故选：B．
5．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设双曲线 的右焦点为 ，以原点为圆心，
焦距为直径长的圆与双曲线 在 轴上方的交点分别为 ， ，若 ，则该双曲线的渐近线方程
为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的对称性结合双曲线的定义，利用点在 在圆上，结合勾股定理可求得
，即可得 ，从而可确定双曲线的渐近线方程.
【详解】解：如图，设双曲线的左焦点为 ，连接
由双曲线与圆的对称性可得 ，由由双曲线的定义可得 ，
所以 ，由点 在圆上，所以 ，即 ，
则 ，故 ，则 ，
所以双曲线的渐近线方程为 .
故选：B.
6．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C： ，O为坐标原点，A，B是抛物线C上两点，记直线
OA，OB的斜率分别为 ， ，且 ，直线AB与x轴的交点为P，直线OA、OB与抛物线C的准
线分别交于点M，N，则 PMN的面积的最小值为（ ）
△
A． B． C． D．【答案】D
【分析】设出A、B的坐标，由 解得 的值，再分别求出点M、点N的坐标，求得 的式
子，研究 恒过x轴上的定点可得点P的坐标，进而用方法1基本不等式或方法2函数思想求得三角形面
积的最小值.
【详解】设 ， ，则 ， ，
∴
∴ ，
∴设 ： ，令 得： ，∴ ，
同理：
∴ ，
设 ： ，
， ， ，
又∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ： 恒过点 ，
∴ 与x轴交点P的坐标为 ，即： ，
∴点P到准线 的距离为8+1=9.方法1： ，当且仅当 时取等号.
∴ ，
∴△PMN的面积的最小值为 .
方法2：
∵ ∴ ，当且仅当m=0时取得最小值.
∴ ，
∴△PMN的面积的最小值为 .
故选：D.
7．（2023·广西梧州·统考一模）如图所示，抛物线 ， 为过焦点 的弦，过 分别作抛物
线的切线，两切线交于点 ，设 ，则：①若 的斜率为1，则 ；
②若 的斜率为1，则 ；③ ；④ .以上结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由题设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立判断①，结合导数几何意义求得 处的切线方程，进而得 ，再依次讨论②③④即可得答案.
【详解】解：由 得 ，所以焦点坐标 ，
对①，直线 的方程为 ，由 得 ，
所以 ，所以 ，故①错误．
因为 ，所以 ，则直线 、 的斜率分别为 、 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以， ，
由 ，解得 ，即 ．
由题意知，直线 的斜率存在，可设直线 的方程为 ，
由 消去 得 ，
所以 ， ，故④正确
所以 ，故③正确；
所以当 的斜率为1，则 ，②错误；
所以，正确的个数为2个.
故选：B
8．（2022·河南商丘·校联考模拟预测）已知双曲线 的离心率为 ，右焦点为 ，直线 均过点 且互相垂直， 与双曲线的右支交于 两点， 与双曲线的左支交于 点， 为坐标原
点，当 三点共线时， （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据题意作出图形，由双曲线的对称性及双曲线的定义，利用勾股定理建立方程求解可得.
【详解】设双曲线另一焦点为 ，连接 ，如图，
因为 三点共线， ，
所以由双曲线的对称性知，四边形 为矩形，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
又 ，解得 或 （舍去），
在 中， ，即 ，
解得 ，即 .
故选：B
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.9．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）设 是过抛物线 的焦点 的弦，若 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．以弦 为直径的圆与准线相切 D．
【答案】BCD
【分析】设 方程为 ，与抛物线方程联立得 ， ，从而证明B正确；由
及基本不等式求得 的最小值，知A错误；
由 可证得 知D正确；
对选项C：根据圆心到直线的距离判断是圆与准线否相切.
【详解】抛物线 的焦点 ，
，
设直线 方程为 ，与抛物线 联立得 ，
所以 ，故B正确；
而 ，所以 ，当且仅当 时取得最小值，故A错误；
而 ，故 成立，所以D正
确；
对选项C：设 的中点为 ，分别过 作准线的垂线，垂足分别为 ，
则圆心 到准线的距离 ，
所以圆心到准线的距离等于半径，故以弦 为直径的圆与准线相切，C正确；
故选：BCD
10．（2023·全国·模拟预测）已知直线 交椭圆 于 ， 两点， 是直线 上一点，
为坐标原点，则（ ）
A．椭圆 的离心率为
B．
C．
D．若 ， 是椭圆 的左，右焦点，则
【答案】AD
【分析】根据椭圆方程求出 、 、 ，即可求出离心率，即可判断A，设 ， ，联立直线
与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据弦长公式判断B，求出 ，根据数量积的坐标
表示判断C，设 关于直线 的对称点为 ，求出对称点的坐标，再根据 ，即可判断D.
【详解】解：因为椭圆 ，所以 ， ，则 ， ，
所以离心率 ，故A正确；
设 ， ，由 ，消去 得 ，
显然 ，所以 ， ，
所以 ，故B错误；
又 ，
所以 ，故C错误；
设 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
则 ， ，当且仅当 ， ， 三点共线时取等号，
所以 的最大值为 ，即 ，故D正确，
故选：AD
11．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆 的左，右焦点分别为
，长轴长为4，点 在椭圆 外，点 在椭圆 上，则（ ）A．椭圆 的离心率的取值范围是
B．当椭圆 的离心率为 时， 的取值范围是
C．存在点 使得
D． 的最小值为2
【答案】ABC
【分析】根据点 在椭圆 外，即可求出 的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断
A；
根据离心率求出 ，则 ，即可判断B；
设上顶点 ，得到 ，即可判断C；
根据 利用基本不等式判断D.
【详解】由题意得 ，又点 在椭圆 外，则 ，解得 ，
所以椭圆 的离心率 ，即椭圆 的离心率的取值范围是 ，故A正确；
当 时， ， ，所以 的取值范围是 ，即 ，故B正
确；
设椭圆的上顶点为 ， ， ，由于 ，
所以存在点 使得 ，故C正确；
，当且仅当 时，等号成立，
又 ，
所以 ，故D不正确．
故选：ABC
12．（2022·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）若曲线C的方程为 ，则（ ）
A．当 时，曲线C表示椭圆，离心率为
B．当 时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为
C．当 时，曲线C表示圆，半径为1
D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4
【答案】BC
【分析】根据方程研究曲线的性质，由方程确定曲线形状，然后求出椭圆的 得离心率，得焦距判断
AD，双曲线方程中只要把常数1改为0，化简即可得渐近线方程，判断B，由圆的标准方程判断C．
【详解】选项A， 时，曲线方程为 ，表示椭圆，其中 ， ，则 ，
离心率为 ，A错；
选项B， 时曲线方程为 表示双曲线，渐近线方程为 ，即 ，B正确；
选项C， 时，曲线方程为 ，表示圆，半径为1，C正确；选项D，曲线C表示椭圆时， 或 ，
时， ， ， ，
时， ， ， ，
所以 ，即 ，无最大值．D错．
故选：BC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2022秋·陕西榆林·高二校考期中）双曲线 的渐近线方程为_________.
【答案】
【分析】由双曲线方程得 ，再计算渐近线方程.
【详解】由 ，得 ，故渐近线方程为 ，
故答案为：
14．（2023秋·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考期末）抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上
一动点，定点 ，则 的最小值为___________．
【答案】7
【分析】过 作抛物线准线 的垂线， 为垂足，由于 ，因此当 三点共线时，
取得最小值，由此计算可得．
【详解】如图，直线 是抛物线的准线，方程为 ，焦点为 ，过 作 于 ，作过 作
于 ，
，易知当 三点共线，即 与 重合时， 取得最小值
．
故答案为：7.15．（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离
为 （ 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】根据点到直线的距离公式可得：双曲线一个焦点到一条渐近线的距离 ，根据题意可得：
，再利用 即可求出离心率.
【详解】不妨设右焦点 ，双曲线 的渐近线方程为： ，由点到直线的
距离公式可得：焦点到渐近线的距离 ，
根据题意则有 ，又因为 ，所以 ，则 ，
故答案为： .
16．（2023秋·河南·高三校联考期末）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的右
焦点为 ，右顶点为 ，过 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则双曲线 的离心率
为__________．
【答案】
【分析】通过线段的长度先证明出 为等边三角形，得出渐近线的倾斜角，进而得出离心率的取值.【详解】根据对称性，不妨取渐近线 ，根据点到直线的距离，则 到该渐近线的距离为：
，即 ，于是 ，依题意，由 可知，
，又 ，于是 ，故 为等边三角形，于是 ，故 ，
则双曲线的离心率 .
故答案为：2四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，一个焦点
到该渐近线的距离为1.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若双曲线 的右顶点为 ，直线 与双曲线 相交于 两点 不是左右顶点），且
.求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析，定点坐标为
【分析】（1）由渐近线方程求出 ，根据焦点到渐近线距离列出方程，求出 ，从而求出
，得到双曲线方程；
（2） 与 联立，求出两根之和，两根之积，由 列出方程，求出
或 ，舍去不合要求的情况，求出直线过定点，定点坐标为 .
【详解】（1）因为渐近线方程为 ，所以 ，
焦点坐标 到渐近线 的距离为 ，解得： ，
因为 ，解得： ，
所以双曲线 的方程为 ；
（2）由题意得： ，与 联立得： ，
设 ，则 ，
，
，
化简得： ，
解得： 或 ，
当 时， 恒过点 ，
当 时， 恒过点 ，此时 中有一点与 重合，不合题意，舍去，
综上：直线 过定点，定点为 ，
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为 ），
（2）利用条件找到 与过定点的曲线 的联系，得到有关 与 的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 ，使得无论 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于
与 的等式进行变形，直至找到 ，
①若等式的形式为整式，则考虑将含 的式子归为一组，变形为“ ”的形式，让括号中式子等于0，
求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去 变为
常数.
18．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知平面上一动点 到 的距离与到直线的距离之比为 ．
(1)求动点 的轨迹方程 ；
(2)曲线 上的两点 ， ，平面上点 ，连结 ， 并延长，分别交曲线 于点
A，B，若 ， ，问， 是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 是定值， .
【分析】（1）设 ，根据已知可得 ，整理即可得到动点 的轨迹方程 ；
（2）当点 在 轴上时，以右端点为例，写出点的坐标，由已知求出 ， 的值，即可得出 ；
当点 不在 轴上时，设直线 方程为 ，联立直线与椭圆方程得到 ，
由韦达定理得到 ，同理可得到 .根据向量关系，表示出 ， ，根据斜率公式
推得 ，结合点 满足椭圆方程，化简即可得出结果.
【详解】（1）解：设 ，则 ，点 到直线 的距离 .
由已知可得 ，
整理可得 .所以，动点 的轨迹是椭圆，方程为 .
（2）解： 是定值， .
当点 在 轴上时，不妨设点 为椭圆右端点 ，由已知可得 ， ，所以
， ， ， ，所以
， ，即 ， ，所以
.
同理可得，当点 为椭圆左端点时， ， ，所以 ；
当点 不在 轴上时，设 ，直线 方程为 ，直线 方程为 .
联立直线 方程与椭圆方程 ，整理可得 ，
根据韦达定理有 .
联立直线 方程与椭圆方程 ，整理可得 ，
根据韦达定理有 .
又 ， ， ， ，
因为 ， ，所以 ，所以 .
又 ， ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
综上所述， .
所以， 是定值， .
19．（2022秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知动点M到点 的距离等于它到
直线 的距离，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求动点M的轨迹方程C；
(2)已知 ，过点 的直线l斜率存在且不为0，若l与曲线C有且只有一个公共点P，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线定义可得轨迹方程；
（2）设过点 的直线l为 ，将其与抛物线方程联立，利用 可得 值与点P坐标，再得
直线AP与y轴交点，后可得 的面积
【详解】（1）根据抛物线定义得动点M的轨迹为曲线 ..
（2）设过点 的直线l为 ，将其与抛物线方程联立，得 ，消去 得： ①，
因l与C有且只有一个公共点，则 .
将 代入①得 ，解得 ，代入直线l可得
则直线AP方程为： ，则其与y轴交点为 ，则由图可得：
20．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知抛物线 ： 和椭圆 ：
有共同的焦点F
(1)求抛物线C的方程，并写出它的准线方程
(2)过F作直线 交抛物线C于P， Q两点，交椭圆E于M， N两点，证明：当且仅当 轴时， 取
得最小值
【答案】(1)抛物线方程为 ，准线为 .
(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆中“ ”的关系求出焦点，根据共焦点即可求解；
(2)利用韦达定理分别表示出 ，即可证明.
【详解】（1）根据椭圆 ： 可得 ，所以 ，
则椭圆的右焦点 也为抛物线的焦点，所以 ，解得 ，
所以抛物线方程为 ，准线为 .
（2）由题可得，直线 的斜率不等于0，所以设 ，
设 ，
联立 整理得 ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
联立 整理得 ，
所以 ，
所以
所以 ,所以 ，因为 为常数，
所以当 ，即 时， 取得最小值，
此时 的方程为 垂直于 轴,所以命题得证.
21．（2023·四川凉山·统考一模）已知 ， 分别是椭圆 的上下顶点， ，点
在椭圆 上， 为坐标原点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 与椭圆 交于 轴上方两点 ， ．若 ，试判断直线 是否过定点？若是，求出定点坐
标；若否，说明理由．
【答案】(1) ；
(2)是，直线 过定点 .
【分析】（1）由题可得 ，然后把点 代入椭圆方程可得 ，即得；
（2）设直线 ，联立椭圆方程，利用韦达定理法结合数量积的坐标表示可得 ，进而即得.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又点 在图像 上，
所以 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 ；
（2）由题可设直线 ： ， 、 ， ，
由 ，得 ，
则 ，
，
又 ，即 ，
所以 ，即 ，
，
解得 ，又 ，即 ，
所以 ， ，
所以直线 过定点 ．
22．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知抛物线C： ，过焦点F的直线l交抛物
线于M、N两点，交y轴于E点，当点M的横坐标为1时， ．
(1)若直线l的斜率为1，求弦长 ；
(2) ， ，试问： 是否为定值．若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)(2) 为定值 ，理由见解析
【分析】（1）点M的横坐标为1时且 可得 ，求出抛物线方程，直线l的方程于抛物线方程联立，
利用韦达定理和弦长公式可得答案；
（2）设 ，求出 、 的坐标，根据 ， ，
求出 、 的坐标代入抛物线方程，可得 ，化简得
可得答案．
【详解】（1）当点M的横坐标为1时且 ，可得 ，所以 ，
抛物线方程为 ， ，
则直线l的方程为 ，
由 得 ，
设 ，所以 ，
；
（2）由（1）知 ， ，设 ，
则 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
可得 ， ，分别代入抛物线方程可得， ，
，可得 ，
，
当 在第一象限 在第四象限时，
因为 与 反向，所以 ，
与 同向，所以 ，
当 在第一象限 在第四象限时，
因为 与 同向，所以 ，
与 反向，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 为定值 ．
