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第 1 节 空间几何体的结构、三视图和直观图
考试要求 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特
征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、
圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会
用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视
图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
相交于一点，但
侧棱 平行且相等 延长线交于一点
不一定相等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
互相平行且相
延长线交于一
母线 等，垂直于底 相交于一点
点
面
轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆
侧面展开
矩形 扇形 扇环
图
2.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、
z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 45°( 或 135°) ，z′轴与x′轴、y′轴所
在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z
轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原
来的一半.
3.三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、
正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
(2)画出的三视图要长对正，高平齐，宽相等.1.常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆.
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图二者为全等的等腰三角形.
(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图二者为全等的等腰梯形.
(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图二者为全等的矩形.
2.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线
用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别
注意其中的虚线.
3.直观图与原平面图形面积间关系S ＝S
直观图 原图形.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )
(3)菱形的直观图仍是菱形.( )
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱
柱.
(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥.
(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形，但邻边不一定相等，
(3)错误.
(4)球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形， 其俯
视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同.
2.(易错题)在如图所示的几何体中，是棱柱的为________(填写所有正确的序号).
答案 ③⑤解析 由棱柱的定义可判断③⑤属于棱柱.
3.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是(
)
A.棱台 B.四棱柱
C.五棱柱 D.六棱柱
答案 C
解析 由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.
4.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45°的等腰梯形，已知
直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为( )
A. B.4
C.8 D.2
答案 C
解析 由S ＝2S ，得S ＝2×4＝8.
原图形 直观图 原图形
5.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，
凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某
一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(
)
答案 A
解析 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所
以是虚线，结合榫头的位置知选A.
6.下面图形都是由六个全等的小正方形组成，其中可以折成正方体的是( )答案 C
考点一 空间几何体的结构特征
1.给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 A
解析 ①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜
边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，
如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似
且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.
2.以下四个命题中，真命题为( )
A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
B.底面是矩形的平行六面体是长方体
C.直四棱柱是直平行六面体
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
答案 D
解析 A中等腰三角形的腰不一定是侧棱，A是假命题，B中，侧棱与底面矩形
不一定垂直，B是假命题，C中，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，C不正
确，根据棱台的定义，选项D是真命题.
3.若四面体的三对相对棱分别相等，则称之为等腰四面体，若四面体的一个顶点
出发的三条棱两两垂直，则称之为直角四面体，以长方体 ABCD－A B C D 的顶
1 1 1 1
点为四面体的顶点，可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为( )A.2，8 B.4，12 C.2，12 D.12，8
答案 A
解析 因为矩形的对角线相等，所以长方体的六个面的对角线构成 2个等腰四面
体.因为长方体的每个顶点出发的三条棱都是两两垂直的，所以长方体中有 8个
直角四面体.
感悟提升 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种几何体的概念，要
善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.
2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中
各元素的关系.
3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台
为锥”的解题策略.
考点二 空间几何体的三视图
例1 (1)(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视
图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为
________(写出符合要求的一组答案即可).
(2)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图
上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面
上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A.2 B.2 C.3 D.2
答案 (1)③④(或②⑤，答案不唯一) (2)B
解析 (1)根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧
视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图
的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则三棱锥如图1所示；若是②⑤，则三棱锥如图2所示.
(2)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为
16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从
M到N的路径中，最短路径的长度为MN＝＝＝2.
感悟提升 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确
认.二要熟悉常见几何体的三视图.
2.由三视图还原到直观图要抓住关键几点：
(1)根据俯视图确定几何体的底面.
(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对
应的棱、面的位置.
(3)确定几何体的直观图形状.
(4)要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图形成原理.
训练1 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三
视图，则这个几何体是( )
A.三棱锥 B.三棱柱
C.四棱锥 D.四棱柱
(2)(2022·成都检测)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为(
)A.2 B.2 C.2 D.4
答案 (1)B (2)C
解析 (1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知
该几何体为三棱柱.
(2)由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥A－BCC B .
1 1
易知AC 为最长棱，
1
因此AC ＝＝2.
1
考点三 空间几何体的直观图
例2 已知等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底
所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.
答案
解析 如图(1)和(2)的实际图形和直观图所示.
图(1) 图(2)
因为OE＝＝1，
由斜二测画法可知O′E′＝，E′F＝，D′C′＝1，A′B′＝3，
则直观图A′B′C′D′的面积
S′＝×＝.
感悟提升 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两
坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴
的线段长度不变)来掌握.
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S ＝S
直观图 原图形.
训练2 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均
为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A.2＋ B.
C. D.1＋
答案 A
解析 恢复后的原图形为一直角梯形，其上底为1，下底为1＋，高为2，
所以S＝(1＋＋1)×2＝2＋.
1.下列说法中，正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形
C.正方体的所有棱长都相等
D.棱柱的所有棱长都相等
答案 C
解析 棱柱的侧面都是平行四边形，选项 A错误；其他侧面可能是平行四边形，
选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项 D错误；易知选项 C
正确.
2.(2021·全国甲卷)在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为 E，F，G.
该正方体截去三棱锥A－EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则
相应的侧视图是( )
答案 D
解析 根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可
知该几何体的侧视图为D.3.一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观
图的面积为( )
A.2 cm2 B.2 cm2
C.4 cm2 D.8 cm2
答案 B
解析 直观图的面积为××42＝2(cm2).
4.如图为某个几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为( )
A.圆锥 B.三棱椎
C.三棱柱 D.三棱台
答案 C
解析 由三视图可知，该几何体是一个横放的三棱柱，故选C.
5.在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾
斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( )
A.圆面
B.矩形面
C.梯形面
D.椭圆面或部分椭圆面
答案 C
解析 将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；
将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形
状不可能是梯形面.
6.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下面的四个图中可以作
为该几何体的俯视图的是( )A.①③ B.①④
C.②④ D.①②③④
答案 A
解析 由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，
故①③正确.
7.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，
∠ACB＝90°，AB＝，PA＝BC＝1，则此几何体的侧视图的面积是( )
A. B.1 C. D.
答案 D
解析 由题知，BC⊥AC，BC⊥PA，
又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，
∴该几何体的侧视图为直角三角形，两直角边长分别等于PA的长与AC的长，
∵AB＝，BC＝1，∴AC＝1＝PA，
∴侧视图的面积S＝×1×1＝.
8.已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角
三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1答案 A
解析 在棱长为1的正方体中作出该几何体的直观图，记为四面体D－ABC，如
图，由图可知在此四面体中，△ABC，△DAB，△DAC，△DBC都是直角三角
形.
9.如图是水平放置的正方形 ABCO，在直角坐标系 xOy 中，点 B的坐标为(2，
2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.
答案
解析 利用斜二测画法作正方形ABCO的直观图如图，在坐标系x′O′y′中，|B′C′|
＝1，∠x′C′B′＝45°.
过点B′作x′轴的垂线，垂足为点D′.
在Rt△B′D′C′中，|B′D′|＝|B′C′|sin 45°＝1×＝.
10.下列结论正确的是________(填序号).
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥
②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
④圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
答案 ④
解析 如图1知，①不正确.如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何
体不是旋转体，则②不正确.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正
六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，③错误.由圆锥母线的概念知，④
正确.
11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今
有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思
为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈、长4丈，上棱长2丈，
高2丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所
示，则该楔体的侧视图的周长为________丈.
答案 8
解析 由题意可知该楔体的侧视图是等腰三角形，它的底边长为 3丈，相应高为
2丈，所以腰长为＝(丈)，所以该楔体侧视图的周长为3＋2×＝8(丈).
12.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底
面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路
程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于______ m.
答案
解析 圆锥顶点记为O，把圆锥侧面沿母线OP展开成如图所示的扇形，由题意OP＝4，PP′＝4，
则cos ∠POP′＝＝－，
又∠POP′为△POP′一内角，所以∠POP′＝.
设底面圆的半径为r，则2πr＝×4，所以r＝.
13.(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为
一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角
形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，设正四棱锥的底面边长 BC＝a，侧面等腰三角形底边上的高 PM＝
h，
则正四棱锥的高PO＝，
∴以PO的长为边长的正方形面积为h2－，一个侧面三角形面积为ah，
∴h2－＝ah，∴4h2－2ah－a2＝0.
则a＝(－1)h，∴＝.
14.(2021·江西重点中学联考)现有编号为①、②、③的三个棱锥(底面水平放置)，
俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱
锥的编号是( )A.①② B.①③ C.①②③ D.②③
答案 A
解析 还原出空间几何体，编号为①的三棱锥的直观图如图(1)的三棱锥 P－
ABC，平面PAC⊥平面ABC，平面PBC⊥平面ABC，满足题意；编号为②的三
棱锥的直观图如图(2)的三棱锥P－ABC，平面PBC⊥平面ABC，满足题意；编
号为③的三棱锥的直观图如图(3)的三棱锥P－ABC，不存在侧面与底面互相垂直，
所以满足题意的编号是①②.
15.一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面
积为________.
答案 4
解析 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，PA⊥平
面ABC，DB⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝4，DB＝2，则易得S ＝
△PAC
S ＝8，易知S >S ，S ＝12，
△ABC △CPD △ABC 梯形ABDP
S ＝×4×2＝4.
△BCD
16.(2019·全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的
形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①).半正多面体是由两种或两种以上的
正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的
半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为
1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.
答案 26 －1
解析 依题意知，题中的半正多面体的上部分有 9个面，中间部分有8个面，下
部分为9个面，共有9＋8＋9＝26(个)面，因此题中的半正多面体共有26个面.注
意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长
为x，则 x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.
