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第 1 讲 空间几何体
[考情分析] 空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考
的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．
考点一 三视图与直观图
核心提炼
1．一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正
视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
2．由三视图还原几何体的步骤
一般先依据俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体．
3．S ＝S
直观图 原图．
例1 (1)(2022·全国甲卷)如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边
长为1，则该多面体的体积为( )
A．8 B．12 C．16 D．20
答案 B
解析 三视图对应的几何体是放倒的直四棱柱，如图，直四棱柱的高为 2，底面是上底为
2，下底为4，高为2的梯形，所以体积V＝Sh＝×(2＋4)×2×2＝12.(2)如图，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图是边长为a的正三角形，则原△ABC的
面积为________．
答案 a2
解析 如图，过点C′作C′M′∥y′轴，交x′轴于点M′，
过点C′作C′D′⊥x′轴，交x′轴于点D′，
则C′D′＝a，∠C′M′D′＝45°，
则C′M′＝a，
所以原三角形的高CM＝a，底边长为a，
其面积为S＝×a×a＝a2.
规律方法 由三视图还原直观图的方法
(1)注意图中实、虚线，分别是原几何体中的可视线与被遮挡线．
(2)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三
视图比较，通过调整，准确画出原几何体．
(3)由三视图还原直观图时，往往采用削体法，选定一个视图，比如俯视图，然后逐步削切
正方体等几何载体．
跟踪演练1 (1)(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和
俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______(写出符合
要求的一组答案即可)．
答案 ③④(答案不唯一，②⑤也可)
解析 根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或②⑤.
若是③④，则原几何体如图1所示；若是②⑤，则原几何体如图2所示．
(2)(2022·运城模拟)某几何体的正视图和侧视图如图 1 所示，它的俯视图的直观图是
△A′B′C′，如图2所示，其中O′A′＝O′B′， O′C′＝，则该几何体的表面积为(
)
A．36＋12 B．24＋8
C．24＋12 D．36＋8
答案 C
解析 由俯视图的直观图，可得该几何体的底面是边长为4的正三角形，底面积是4，
由正视图和侧视图知该几何体是三棱锥，如图所示，
其中SA⊥平面ABC，SA＝6，△SAB，△SAC 都是直角三角形，且S ＝S ＝×SA×AB＝
△SAB △SAC
×6×4＝12，
△SCB是腰长为2，底边长为4的等腰三角形，则S ＝×4×＝8，
△SCB
所以该几何体的表面积为24＋12.
考点二 表面积与体积
核心提炼
1．旋转体的侧面积和表面积
(1)S ＝2πrl，S ＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
圆柱侧 圆柱表
(2)S ＝πrl，S ＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
圆锥侧 圆锥表
(3)S ＝4πR2(R为球的半径)．
球表
2．空间几何体的体积公式
(1)V ＝Sh(S为底面面积，h为高)．
柱(2)V ＝Sh(S为底面面积，h为高)．
锥
(3)V ＝(S ＋＋S )h(S ，S 为底面面积，h为高)．
台 上 下 上 下
(4)V ＝πR3(R为球的半径)．
球
例2 (1)(2022·凌源模拟)五脊殿是宋代传统建筑中的一种屋顶形式．如图所示，其屋顶上有
一条正脊和四条垂脊，可近似看作一个底面为矩形的五面体．若某一五脊殿屋顶的正脊长
4米，底面矩形的长为6米，宽为4米，正脊到底面矩形的距离为2米，则该五脊殿屋顶的
体积的估计值为( )
A. 立方米 B. 立方米
C．32 立方米 D．64 立方米
答案 B
解析 如图所示，将屋顶分割为一个三棱柱和两个相同的四棱锥，
三棱柱的底面是边长为4，高为2的等腰三角形，三棱柱的高为4.
四棱锥的底面是长为4，宽为1的矩形，其高为2，
所以V＝×4×2×4＋2××4×1×2＝(立方米)．
(2)(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π，侧面积
分别为S 和S ，体积分别为V 和V 若＝2，则等于( )
甲 乙 甲 乙．
A. B．2 C. D.
答案 C
解析 方法一 因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，
所以结合＝2，
可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.
不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r ，r ，高分别为h ，
1 2 1
h，
2
则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，
所以2πr＝4π，2πr＝2π，得r＝2，r＝1.
1 2 1 2
由勾股定理得，
h＝＝，h＝＝2，
1 2
所以＝＝＝.方法二 设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r ，r ，高分别为h ，h ，
1 2 1 2
侧面展开图的圆心角分别为n，n，
1 2
则由＝＝＝2，
得＝＝2.
由题意知n＋n＝2π，
1 2
所以n＝，n＝，
1 2
所以2πr＝l，2πr＝l，
1 2
得r＝l，r＝l.
1 2
由勾股定理得，h＝＝l，
1
h＝＝l，
2
所以＝＝＝.
规律方法 空间几何体的表面积与体积的求法
(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解．
(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，
不熟悉的几何体补成熟悉的几何体．
(3)等体积法：选择合适的底面来求体积．
跟踪演练2 (1)(2022·锦州质检)2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座
“双奥之城”．其中2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰
立方”．“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目．“水立方”的设计灵
感来自于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，
它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形)，已知该多面
体共有24个顶点，且棱长为2，则该多面体的表面积是( )
A．24(＋1) B．24＋6
C．48＋24 D．16＋8
答案 C
解析 边长为2的正方形的面积为2×2＝4，正六边形的面积为6××2×2×＝6，
又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，
所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，所以该多
面体有6个正方形，正六边形有6×4÷3＝8(个)．所以该多面体的表面积是S＝8×6＋6×4＝48＋24.
(2)(2022·连云港模拟)如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该
圆台的体积是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 如图，设上底面的半径为r，下底面的半径为R，高为h，母线长为l，
则2πr＝π·1,2πR＝π·2，
解得r＝，R＝1，
l＝2－1＝1，
h＝＝＝，
上底面面积S′＝π·2＝，
下底面面积S＝π·12＝π，
则该圆台的体积为(S＋S′＋)h＝
××＝.
考点三 多面体与球
核心提炼
求空间多面体的外接球半径的常用方法
(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或
长方体中去求解；
(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，
找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
例3 (1)(2022·烟台模拟)如图，三棱锥V－ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC
＝VA＝2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为( )A．(2－)∶1 B．(2－3)∶1
C．(－1)∶3 D．(－1)∶2
答案 C
解析 因为VA⊥底面ABC，AB，AC⊂底面ABC，
所以VA⊥AB，VA⊥AC，
又因为∠BAC＝90°，
所以AB⊥AC，而AB＝AC＝VA＝2，
所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长、宽、高，因此该三棱锥外
接球的半径
R＝×＝，
设该三棱锥的内切球的半径为r，
因为∠BAC＝90°，
所以BC＝＝＝2，
因为VA⊥AB，VA⊥AC，AB＝AC＝VA＝2，
所以VB＝VC＝＝＝2，
由三棱锥的体积公式可得，
3×××2×2·r＋××2×2×·r＝××2×2×2⇒r＝，
所以r∶R＝∶＝(－1)∶3.
(2)(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的
球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大．
设圆锥的高为h(0<h<1)，底面半径为r，
则圆锥的体积V＝πr2h＝π(1－h2)h，
则V′＝π(1－3h2)，
令V′＝π(1－3h2)＝0，得h＝(负值舍去)，
所以V＝π(1－h2)h在上单调递增，
在上单调递减，
所以当h＝时，四棱锥的体积最大．
规律方法 (1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求
解．
(2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径．
跟踪演练3 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π
C．144π D．192π
答案 A
解析 由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.
设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O ，O ，连接OO ，则OO ＝1，其外接球的
1 2 1 2 1 2
球心O在直线OO 上．
1 2
设球O的半径为R，当球心O在线段OO 上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO )2，解得OO ＝
1 2 1 1
4(舍去)；
当球心O不在线段OO 上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO )2，解得OO ＝3，
1 2 2 2
所以R2＝25，
所以该球的表面积为4πR2＝100π.
综上，该球的表面积为100π.
(2)(2022·衡水中学调研)将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧
棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为________，该组合体的外接球的
体积为________．
答案 π
解析 如图，连接PA交底面BCD于点O，则点O就是该组合体的外接球的球心．
设三棱锥的底面边长为a，
则CO＝PO＝R＝a，
得×a＝2，
所以a＝，R＝，
所以V＝π·()3＝π.
专题强化练
一、选择题
1．(2022·唐山模拟)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的
比值为( )
A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．2∶3
答案 A
解析 设球的半径为r，依题意知圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积为2πr·2r
＝4πr2，球的表面积为4πr2，其比例为1∶1.
2．(2021·新高考全国Ⅰ)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母
线长为( )
A．2 B．2 C．4 D．4
答案 B
解析 设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为，所以2π×＝πl，解得l＝2.
3.(2022·福州模拟)已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面△ABC水平放置的直观图(斜二
测画法)为△A′B′C′，其中O′A′＝O′B′＝O′C′＝1，则此三棱柱的表面积为(
)
A．4＋4 B．8＋4
C．8＋4 D．8＋8
答案 C
解析 由斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面△ABC的原图形如图所示，其中OA＝
2OB＝2OC＝2，所以AB＝AC＝，所以此三棱柱的表面积为S＝2××2×2＋(2＋2)×2＝8＋
4.
4．(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为(
)
A．20＋12 B．28
C. D.
答案 D
解析 作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，
因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，所以该棱台的高h＝＝，
下底面面积S＝16，上底面面积S＝4，
1 2
所以该棱台的体积V＝h(S＋S＋)＝××(16＋4＋)＝.
1 2
5．(2022·河南湘豫名校联考)高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状
垃圾篓中，恰好被上底口(半径较大的圆)卡住，球心到垃圾篓底部的距离为5a，垃圾篓上底
面直径为24a，下底面直径为18a，母线长为13a，则该篮球的表面积为( )
A．154πa2 B.πa2 C．308πa2 D．616πa2
答案 D
解析 画出球与垃圾篓组合体的轴截面图，如图所示．
根据题意，设垃圾篓的高为h，则h＝＝4a.
所以球心到上底面的距离为a.
设篮球的半径为r，则r2＝10a2＋(12a)2＝154a2.
故该篮球的表面积为4πr2＝616πa2.
6．(2022·西北工业大学附属中学模拟)如图1，在正方体ABCD－ABC D 中，点P在正方形
1 1 1 1
ABC D 内(包含边界)，若三棱锥P－ABC的侧视图如图2所示，则此三棱锥的俯视图不可
1 1 1 1
能是( )
答案 D
解析 如图(1)所示，当点P为AD 的中点时，此时三棱锥P－ABC的俯视图为选项C；
1 1如图(2)所示，当点P为BC 的中点时，此时三棱锥P－ABC的俯视图为选项B；
1 1
如图(3)所示，取AD 和BC 的中点E和F，连接EF，当点P为EF的中点时，此时三棱锥
1 1 1 1
P－ABC的俯视图为选项A，
所以此三棱锥P－ABC的俯视图不可能是选项D.
7.(2022·湖北联考)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨
(<
10 mm)，中雨(10 mm～25 mm)，大雨(25 mm～50 mm)，暴雨(50 mm～100 mm)，小明用一
个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级( )
A．小雨 B．中雨
C．大雨 D．暴雨
答案 B
解析 由题意知，一个半径为＝100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为×＝50(mm)，
高为150(mm)的圆锥，
所以积水厚度d＝＝12.5(mm)，属于中雨．8．在直三棱柱ABC－ABC 中，AB＝2，AA ＝6，∠ACB＝30°，则此直三棱柱的外接球的
1 1 1 1
表面积是( )
A．48π B．64π C．72π D．84π
答案 D
解析 如图所示，设△ABC的外接圆的半径为r，则2r＝＝＝4，
解得r＝2.
设直三棱柱ABC－ABC 的外接球的球半径为R，所以R＝＝，
1 1 1
所以该直三棱柱外接球的表面积是
S＝4πR2＝84π.
9.如图，在正三棱锥P－ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，PA＝PB＝PC＝2，一只虫
子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是(
)
A．3 B．3 C．2 D．2
答案 D
解析 将三棱锥由PA展开，如图所示，则∠APA＝90°，
1
所求最短距离为AA 的长度，∵PA＝2，
1
∴由勾股定理可得
AA＝＝2 .
1
∴虫子爬行的最短距离为2 .
10.(2022·八省八校联考)如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱
AC，AD于E，F两点，且四面体ABEF的体积为四面体ABCD体积的，则EF的最小值为()
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题知V ＝V ，
B－AEF B－ACD
所以S ＝S ＝××1×1×＝，
△AEF △ACD
记EF＝a，AE＝b，AF＝c，
则bcsin 60°＝，即bc＝.
则a2＝b2＋c2－2bccos 60°≥2bc－bc＝bc＝，
当且仅当b＝c＝时取等号，
所以a即EF的最小值为.
11．(2022·聊城模拟)用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，
则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之
间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半
轴长之积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆
柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项错误的是( )
A．底面椭圆的离心率为
B．侧面积为24π
C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36π
D．底面积为4π
答案 C
解析 不妨过斜圆柱的最高点D和最低点B作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的
是圆柱，如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，平行四边形BFDE是斜圆柱的过底面椭圆的长
轴的截面，
由圆柱的性质知∠ABF＝45°，
则BF＝AB，设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，则2a＝·2b，a＝b，
c＝＝＝a，
所以离心率为e＝＝，A正确；
EG⊥BF，垂足为G，则EG＝6，
易知∠EBG＝45°，则BE＝6，又CE＝AF＝AB＝4，
所以斜圆柱的侧面积为S＝2π×2×(4＋6)－2π×2×4＝24π，B正确；
2b＝4，b＝2,2a＝4，a＝2，
椭圆面积为πab＝4π，D正确；
由于斜圆柱的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的
半径为2，则球的表面积为4π×22＝16π，C错误．
12．(2022·新高考全国Ⅰ)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的
体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A. B.
C. D．[18,27]
答案 C
解析 方法一 如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底面边长为a，高为h，
依题意，得36π＝πR3，
解得R＝3.
由题意及图可得
解得
所以正四棱锥的体积V＝a2h
＝·＝(3≤l≤3)，
所以V′＝l3－＝l3(3≤l≤3)．
令V′＝0，得l＝2，
所以当3≤l<2时，V′>0；
当2<l≤3时，V′<0，
所以函数V＝(3≤l≤3)在[3,2)上单调递增，在(2，3]上单调递减，
又当l＝3时，V＝；当l＝2时，V＝；
当l＝3时，V＝，所以该正四棱锥的体积的取值范围是.
方法二 如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底面边长为a，高为h，
依题意，得36π＝πR3，
解得R＝3.
由题意及图可得
解得又3≤l≤3，
所以该正四棱锥的体积V＝a2h
＝·＝
＝72×··
≤72×3＝，
所以正四棱锥的体积的最大值为，排除A，B，D.
方法三 如图，设该球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底面边长为a，高为h，正四棱
锥的侧棱与高所成的角为θ，
依题意，得36π＝πR3，解得R＝3，
所以正四棱锥的底面边长a＝lsin θ，高h＝lcos θ.
在△OPC中，作OE⊥PC，垂足为E，则可得cos θ＝＝∈，所以l＝6cos θ，
所以正四棱锥的体积
V＝a2h＝(lsin θ)2·lcos θ
＝(6cos θ)3sin2θcos θ＝144(sin θcos2θ)2.
设sin θ＝t，易得t∈，
则y＝sin θcos2θ＝t(1－t2)＝t－t3，
则y′＝1－3t2.
令y′＝0，得t＝，
所以当<t<时，y′>0；当<t<时，y′<0，
所以函数y＝t－t3在上单调递增，在上单调递减．
又当t＝时，y＝；当t＝时，y＝；当t＝时，y＝，
所以≤y≤，所以≤V≤.
所以该正四棱锥的体积的取值范围是.
二、填空题
13.(2022·湘潭模拟)陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫做陀罗．陀螺的形状结构如图所
示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分
别为h ，h ，r，且h ＝h ＝r，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为 S 和S ，则＝
1 2 1 2 1 2
________.
答案
解析 由题意知，
圆锥的母线长为l＝＝r，
则圆锥的侧面积为S＝πrl＝πr2，
1
根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为
S＝2πrh＝2πr2，所以＝.
2 2
14．(2022·杭州模拟)将一个四棱锥和一个半圆柱进行拼接，所得几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为________，表面积为______________．
答案 π＋ 3π＋4＋4
解析 根据三视图还原该几何体的直观图，如图所示，几何体体积V＝V ＋V ＝×π×12×2＋×2×2×2＝π＋；
半圆柱 四棱锥
表面积S＝2××π×12＋×2π×1×2＋2××2×2＋2××2×2＝3π＋4＋4.
15．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，
若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
答案 40π
解析 由圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，
可得sin∠ASB＝＝，
又△SAB的面积为5，
则SA2·sin∠ASB＝5，即SA2×＝5，可得SA＝4，
SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为×4＝2，
则该圆锥的侧面积为π×2×4＝40π.
16.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品(如图所示)．该工艺品可以
看成是一个球体被一个棱长为4的正方体的6个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心
重合)，其中一个截面圆的周长为3π，则该球的半径为______；现给出定义：球面被平面所
截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠
的高．如果球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积计算公式是S＝2πRh.由此可
知，该实心工艺品的表面积是________．
答案
解析 设截面圆半径为r，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即此距离为 2，
根据截面圆的周长可得3π＝2πr，得r＝，
故R2＝r2＋22＝，得R＝，
所以球的表面积S＝25π.
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如图，OA＝OB＝，且OO ＝2，
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则球冠的高h＝R－OO ＝，
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得所截的一个球冠表面积S＝2πRh＝2π××＝，且截面圆的面积为π×2＝，
所以工艺品的表面积为4πR2－6＝25π－＝.
