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考向 25 空间几何体的结构、三视图和直
观图
（2022年甲卷理）4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方系的边长为1，则该多面
体的体积为
A．8
B．12
C．16
D．20
【答案】B
1
2×4×2− ×2×2×2=12
【解析】该多面体的体积一个长方体体积减去一个三棱柱的体积得到，即 2 ，
故选：B.
（2022年浙江卷）5．某几何体的三视图如图所示(单位: )，则该几何体
的体积（单位： ) 是 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是由半个球、一个圆柱和一个圆台组成，
.1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，
即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.
2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.
3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.
由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.
4.由三视图还原到直观图的思路
(1)根据俯视图确定几何体的底面.
(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.
(3)确定几何体的直观图形状.
1.常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆.
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.
(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.
(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.
2.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼
见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.
1.如图为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是( )
【答案】B
【解析】由圆柱切削后的几何体及其正视图知，截得的截面为椭圆，结合正视图，可知侧视图中右边的轮廓线不可见，故用虚线表示，故选B.
2.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几
何体的侧视图为( )
【答案】B
【解析】由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示.
该几何体的侧视图为选项B中的图形.
3.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下面的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(
)
A.①③ B.①④ C.②④ D.①②③④
【答案】A
【解析】由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确.
4.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，AB＝，PA＝
BC＝1，则此几何体的侧视图的面积是( )A. B.1 C. D.
【答案】D
【解析】由题知，BC⊥AC，BC⊥PA，又AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴该几何体的侧视图为直角三角形，两直角边长分别等于PA的长与AC的长，∵AB＝，
BC＝1，∴AC＝1＝PA，∴侧视图的面积S＝×1×1＝.
5.已知四棱锥S－ABCD的三视图如图所示，则围成四棱锥S－ABCD的五个面中最大面的面积是( )
A.3 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【解析】如图，由三视图知四棱锥S－ABCD的侧面SAD与底面ABCD垂直，底面为矩形，矩形的相邻两
边长分别为2，4，∴底面面积为2×4＝8.由正视图可得该四棱锥的高为＝，
∴△SAD的面积为×4×＝2.侧面SAB与侧面SCD为直角三角形，其面积均为×3×2＝3.侧面SBC为等腰三角
形，底边上的高为＝3，
∴△SBC的面积为×4×3＝6.∴围成四棱锥S－ABCD的五个面中最大面的面积为8.
6.一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为( )
A.8 B.4 C.4 D.4
【答案】D
【解析】由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，PA⊥平面ABC，DB⊥平面 ABC，
AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝4，DB＝2，则易得S
△PAC
＝S
△ABC
＝8，S
△CPD
＝12，S
梯形ABDP
＝12，S
△BCD
＝×4×2＝4，故选D.
7.有以下四个命题：
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③直四棱柱是直平行六面体；
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.
其中真命题的序号是________.
【答案】①④
【解析】命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面
不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱
台的定义知是正确的.
8.如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边
形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是______(填出所有可能的序号).
【答案】①②③
【解析】空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面
ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影③.
一、单选题
1．（2022·山东济南·二模）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何
体（ ）A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变
【答案】D
【解析】把①拿掉后主视图和俯视图发生改变，左视图不变.
故选：D
2．（2021·四川遂宁·三模（理））将直角三角形､矩形､直角梯形如图一放置，它们围绕固定直线L旋转一
周形成几何体，其三视图如图二，则这个几何体的体积是（ ）
附：柱体的体积公式 为底面面积， 为柱体的高)锥体的体积公式 为底面面积， 为锥
体的高)台体的体积公式 为台体的上､下底面面积， 为台体的高
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由圆锥，圆柱和圆台构成的组合体；
如图所示：所以 ．
故选： ．
3．（2022·陕西咸阳·三模（理））古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作
最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如
图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，该沙漏由两个形状相同的圆锥组成，圆锥底面圆半径 ，高为 ，
则母线长 ，则圆锥的侧面积 ，圆锥底面积 ，则圆锥表面积为 ，则沙漏表面积为 ，
故选: D.
4．（2021·江西南昌·二模（理））如图，正四棱锥 的高为12， ， ， 分别为 ，
的中点，过点 ， ， 的截面交 于点 ，截面 将四棱锥分成上下两个部分，规定 为主
视图方向，则几何体 的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】研究平面DPB，设AC与BD的交点为O，BM与EF交点为N,
为 的中点， 为 的中点， ， ，
又因为 ,过点 作 ，设 ，， ，又 ， ， ,
, 为4个格， 为8个格，
故选：C
5．（2022·四川·射洪中学模拟预测（文））图形是信息传播､互通的重要的视觉语言《画法几何》是法国
著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图”来表示三维空间中立体图形.其体来说.
做一个几何的“三视图”，需要观测者分别从几何体正面､左面､上面三个不同角度观察，从正投影的角度
作图.下图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三视图知几何体为一侧棱垂直底面，底面为直角三角的三棱锥，且由网格纸知同一顶点互相垂
直的三条棱的长为4，如图，
所以三棱锥的外接球即为三棱锥所在的棱长为4的正方体的外接球，
设外接球的半径为R，则 ,
所以外接球的表面积 ，故选：C
6．（2023·安徽省宣城中学模拟预测）如图，已知正方体 的棱长为2，M，N分别为 ，
的中点．有下列结论：
①三棱锥 在平面 上的正投影图为等腰三角形；
②直线 平面 ；
③在棱BC上存在一点E，使得平面 平面 ；
④若F为棱AB的中点，且三棱锥 的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为 ．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】对于①，设 的中点为 ，连接 ， ， ，
如图，
为 的中点， ，
又 平面 ， 平面 ，点 ， 在平面 上的正投影分别为 ，
且点 在平面 上的正投影分别为其本身，
三棱锥 在平面 上的正投影图为 ，
又 ，
即 为等腰三角形，①正确；
对于②，以点 为原点，分别以 所在直线为 轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
，
， ，即 ，
， ，即 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
即 是平面 的一个法向量，
而 ，与 不垂直， 不与平面 平行，②错误；
对于③，如图
设 的中点为 ，连接 ，由②知， ，
， ，
， ，即 ，
， ，即 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， 平面 平面 ，③正确；
对于④，如图，
若 为棱AB的中点，又 为棱 的中点， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ， ，
又 ， 和 有公共的斜边 ，
设 的中点为 ，则点 到 的距离相等，为三棱锥 外接球的球心， 为该球的直径，
， ，
该球的体积为 ，④正确.
综上所述，正确的结论为①③④.
故选：D.
二、多选题
7．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）如图， 是底面直径为 高为 的圆柱 的轴截面，四边形
绕 逆时针旋转 到 ，则（ ）
A．圆柱 的侧面积为
B．当 时，
C．当 时，异面直线 与 所成的角为
D． 面积的最大值为
【答案】BC
【解析】对于A，圆柱 的侧面积为 ，A错误；
对于B，因为 ，所以 ，又 ，
所以 平面 ，所以 ，B正确；对于C，因为 ，所以 就是异面直线 与
所成的角，因为 ，所以 为正三角形，
所以 ，因为 ，所以 ，C正确；
对于D，作 ，垂足为 ，连接 ，所以 平面 ，所以 .
在 中， ，
，所以 ，D错误.
故选：BC.
8．（2021·福建泉州·二模）四棱锥 的三视图如图所示，平面 过点 且与侧棱 垂直，则
（ ）
A．该四棱锥的表面积为
B．该四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为C．平面 截该四棱锥所得的截面面积为
D．平面 将该四棱锥分成上下两部分的体积比为
【答案】ABD
【解析】由三视图知原几何体是正四棱锥，如图 ， 是棱锥的高， ， 是 中点，
则 是斜高， ，所以 ，
表面积为 ，A正确；
由正四棱锥性质知 ， 是二面角 的平面角，
，B正确；
在 内过 作 于 ，在侧面 内作 交 于 ，同理作出 点（ ），
则平面 为平面 ，
（因为 ， 平面 ，所以 平面 ，同理 平面 ，所以四边形
在同一平面内，为截面 ）．
中， ， ， 是正三角形，则 是 中点，
， ，
中， ，所以 ， ，
中， ，
中，由余弦定理得 ，则 ，
，所以 ，C错；
，又 ，所以下面一部分的体积为 ，上下两部分的体积为 ，D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题考查由三视图还原原几何体，考查正四棱锥的性质，棱锥的体积．解题关键是
掌握正棱锥的性质，特别是正棱锥的直角三角形．作截面时，利用线面垂直的判定定理，即作垂线构造出
截面．
三、填空题
9．（2022·陕西·西安中学一模（文））某零件的结构是在一个圆锥中挖去了一个正方体，且正方体的一个
面与圆锥底面重合，该面所对的面的四个顶点在圆锥侧面内．在图①②③④⑤⑥⑦⑧中选两个分别作为该
零件的主视图和俯视图，则所选主视图和俯视图的编号依次可能为________（写出符合要求的一组答案即
可）．
【答案】⑤⑦（或①⑧）
【解析】若俯视图为图⑦，则主视图为图⑤，若俯视图为图⑧，则主视图为图①，
故答案为：⑤⑦（或①⑧）
10．（2022·安徽淮南·二模（理））3D打印又称增材制造，是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金
属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术为了培养青少年的创新意识和应用技能，
某学校成立了3D打印社团，学生们设计了一种几何体，其三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为
），如果这种打印原料的密度为 ，不考虑打印消耗，则制作该模型所需原料的质量约为
_______g．（ 取3.14）
【答案】
【解析】该几何体下半部为底面半径为1高为1的圆柱，上半部为半径为1的球体的四分之一，
则该几何体的体积为故制作该模型所需原料的质量
故答案为：
1．（2020年全国三卷）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题2可知：该几何体是棱长为 的正方体割掉一部分剩下的一个角，如图所示，其面积为：
，故选：C．
2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 则该圆锥的侧
面积为________.
【答案】
【分析】∵ ∴∴
∴ . 故答案为： .
3．（2016年全国III）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多
面体的表面积为
A． B． C．90 D．81
【答案】B
【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为 3的正方形，故面积都是9，前后两个
侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为
和3，故面积都为 ，则该几何体的表面积为2(9 +18+ )=54 + ．
4．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体
由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为 3，高为4的圆柱，其体积
，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，
其体积 ，
故该组合体的体积 ．故选B．
解法二 该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为
．选B．
5．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩
余部分体积的比值为
1 1 1 1
8 7 6 5
A． B． C． D．
【答案】D【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥 ，其体积为 ，又正方体的体积为
1，则剩余部分的体积为 ，故所求比值为 ．
D
1 C
1
A
1
B
1
D
C
A B
6．（2016全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A．20π B．24π C．28π D．32π
【答案】C
【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为 ，周长为 ，圆锥母线长为 ，圆柱高为 ．
由图得 ， ，由勾股定理得： ，
，故选C．
