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专项突破 08 相似三角形模型
【思维导图】
◎突破一 A字模型
例．（2020·上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，
且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．
专训．（2021·全国·九年级课时练习）一块直角三角形木板的面积为 ，一条直角边 为 ，怎样
才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说
明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．◎突破二 8字模型
例．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延
长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
专训．（2021·辽宁鞍山·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线
BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所
在直线与射线CA交于点G．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．
◎突破三 母子型例．（2021·吉林·长春市第五十二中学九年级阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB
上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF
＝4，BE＝3，求AD的长．
专训．（2021·四川成都·九年级期中）如图1，在菱形ABCD中，AC是对角线，AB＝AC＝6，点E、F分
别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，连接AF与CE相交于点G．
（1）求 的度数．
（2）如图2，作 交CE于点H，若CF＝4， ，求GH的值．
（3）如图3，点O为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60°得到线段EM，当 构成等腰三
角形时，请直接写出AE的长．
◎突破四 旋转型
例．（2022·山东济南·八年级期末）某校数学活动小组探究了如下数学问题：(1)问题发现：如图1， 中， ， ．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰
作等腰 ，且 ，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2， 中， ， ．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边
作等腰 ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方
形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为 ， ，求正方形ABCD的边长．
专训．（2022·重庆一中七年级期中）如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝
AE．
(1)如图1，若∠BAC＝90°，当C、D、E共线时，AD的延长线AF⊥BC交BC于点F，则∠ACE＝______；
(2)如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE，证明：
AD⊥CD；
(3)如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，
若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE它们之间的数量关系，并写出证明过程．◎突破五 K字型
例．（2022·河南开封·九年级期末）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关
知识后，在等腰△ABC中，其中 ，如图1，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；
第二步，分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___；
(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当 时，连接DG，请直接写出 ___；
(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当
时，求AM的长．
专训．（2021·浙江衢州·中考真题）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，
CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证： ．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若 ， ，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 ，，求 的值（用含k的代数式表示）．
◎突破六 三角形内接矩形
例．（2021·全国·九年级课时练习）如图，已知三角形铁皮 的边 ， 边上的高 ，
要剪出一个正方形铁片 ，使 、 在 上， 、 分别在 、 上，则正方形 的边长
________．
专训．（2019·吉林长春·九年级期末）如图，在 ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，
以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．△过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在
PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与 ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t
＜4）． △
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
