文档内容
考点 7 -2 三视图、截面与外接球
1．（2022·上海静安·二模）中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来，构件中突出的部分叫榫头，凹
进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯
结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据榫头的俯视图结合结果图，可判断卯眼的俯视图.
【详解】
解：根据榫头的俯视图及结果图的俯视图可判断卯眼的俯视图为B项中的图形.
故选：B.
2．（2022·全国·模拟预测（文））已知三棱锥 的直观图如图所示，则该三棱锥的俯视图为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据直观图直观想象即可
【详解】
由图，则该三棱锥的俯视图为D
故选：D
3．（2022·青海西宁·二模（文））已知某几何体的主视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：
其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
由三视图的定义，结合正视图和左视图得图形相同，对题目中的图形进行分析,即可得到结论．
【详解】
对于④，中间是正三角形，它与正视图和左视图中矩形的宽度不一致，所以④不能作为该几何体的俯视图
图形；
对于其余4个图形，中间图形与正视图和左视图的矩形宽度一致，可以作为该几何体的俯视图图形；
所以满足条件的图形个数为①②③⑤共4个．
故选：C．
4.（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，
现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为 ，墙壁
截面 为矩形，且 ，则扇形 的面积是__________.【答案】 ##
【分析】
计算 ，再利用扇形的面积公式求解.
【详解】
由题意可知，圆 的半径为 ，即 ，
又 ，所以 为正三角形，∴ ，
所以扇形 的面积是 .
故答案为：
5．（2021·全国·高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组
成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即
可）．
【答案】③④（答案不唯一）
【分析】
由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.
【详解】
选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方体 中， ，
分别为棱 的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥 .
故答案为：③④.
6.（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将三棱锥 放到长方体中，设长方体的长、宽、高分别为 ，求出 即得三棱锥 外
接球的半径，即得解.
【详解】解：由题意， ， ， ，将三棱锥 放到长方体中，可得长方
体的三条对角线分别为 ，2， ，
设长方体的长、宽、高分别为 ，
则 ， ， ，
解得 ， ， ．
所以三棱锥 外接球的半径 ．
三棱锥 外接球的体积 ．
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）在正方体 中，棱长为3，E为棱 上靠近 的三等分点，
则平面 截正方体 的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意运用基本事实作出截面，根据截面的几何特征求其面积即可.
【详解】
延长 交于点 ，连接 交 于点 ，如图，
在正方体 中，面 面 ，
面 面 ，面 面
，又
四边形 是梯形，且为平面 截正方体 的截面.又 ，在等腰梯形 中，过 作 ，
.
故选：C.
8.（2022·全国·高三专题练习）若过圆锥的轴 的截面为边长为4的等边三角形，正方体
的顶点 ， ， ， 在圆锥底面上， ， ， ， 在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设正方体棱长为 ，根据题意得 ，分析求解即可.
【详解】
根据题意过顶点 和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示：
所以 ， ，所以 ， ，
为矩形，设 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，即 ，解得 .
故选：C.
9.（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））鲁洛克斯三角形是指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边
长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形，如图①.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有
相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径 （等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终
保持与两直线都接触.由于这个性质，机械加工中把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件
上钻出圆角正方形（视为正方形）的孔来.图②是鲁洛克斯三角形钻头（阴影部分）与它钻出的圆角正方形
孔洞的横截面，现有一个质点飞向圆角正方形孔洞，则其恰好被钻头遮挡住，没有穿过孔洞的概率为
_________.【答案】
【分析】
设正方形的边长为 ，求出鲁洛克斯三角形面积，再利用几何概型求解.
【详解】
解：设正方形的边长为 ，鲁洛克斯三角形由三个弓形与正三角形组成，
其面积为 ，
故所求概率 .
故答案为：
10．（2022·北京·二模）如图，在正方体 ，中，E，F，G分别为棱 上的点
（与正方体顶点不重合），过 作 平面 ，垂足为H．设正方体 的棱长为1，给
出以下四个结论：
①若E，F，G分别是 的中点，则 ；
②若E，F，G分别是 的中点，则用平行于平面 的平面去截正方体 ，得
到的截面图形一定是等边三角形；
③ 可能为直角三角形；
④ ．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①④【分析】
①等体积法 判断；②根据正方体的性质画出平行于平面 的可能截面情况；③由正方体
性质，通过定两点，移动另一点判断 的内角变化趋势即可；④设 ，
利用等体积法，结合正余弦定理、三角形面积公式、锥体体积公式化简即可判断.
【详解】
①由 ，而 ，
所以 ，可得 ，正确；
②根据正方体的性质平行平面 的平面有如下情况：
当截面在面 与面 之间时为六边形，在面 左上或面 右下时为等边三角形，错误；
③ 分别在 上不为顶点任意点，当 从 到 过程 递减，即小于 ，同理知：
也小于 ， 不可能为直角三角形，错误；
④若 ，又 ，即 ，
所以 ，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，正确；
故答案为：①④11.（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， 是边长为 的等边三角形， ，
二面角 是150°，则三棱锥 外接球的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意画出简图，通过作图分析出几何体外接球的球心位置，算出半径，即可求出表面积.
【详解】
如图，作 平面ABC，垂足为E，连接BE，记 ，连接PD.
由题意可得D为AC的中点.
在 中， ，D为AC的中点，
因为 ，所以 ，则 .
因为二面角 是150°，所以 ，
所以 ， .
因为 是边长为 的等边三角形，且D为AC的中点，所以 .
设 为 外接圆的圆心，则 .
设三棱锥 外接球的球心为O，
因为 ，所以O在平面ABC下方，
连接 ，OB，OP，作 ，垂足为H，
则 ， .设三棱锥 外接球的半径为 ，
，即 ，解得 ，
故三棱锥 外接球的表面积是 .
故选：A.
12．（2022·河南安阳·模拟预测（理））在四面体ABCD中， ， 平面BCD， .过
点B作垂直于平面ACD的平面 截该四面体，若截面面积存在最大值，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
过 作 于点 ，过点 作 ,先证得平面 为所求截面，然后设 ，求得
， ，从而求得三角形面积，然后换元后求导利用导数的单调
性求得最值，从而得出结论.
【详解】
在四面体ABCD中， ， 平面BCD， .∵ 平面BCD， 平面BCD，
，又 ， ,则 平面 ，过 作 于点 ，过点 作 ,则
平面 ， 平面 ，故 ， ，则 平面 ， 平面 ，故
平面 平面ACD，设 ，设 ，在 中， ， ，在 中，
， ， ，在△ 中， ，则 ，故
，故
，令 ，
，得 ，当 时， ，当
时， ，故函数 在 时单调递减，在 时单调递增，即当 时，
有最小值，此时截面面积最大，故当 ， 时，截面面积最大，故若截面面积存在
最大值，则 ，故 的最大值为 ，
故选：C.13．（2020·河北石家庄·模拟预测（理））三棱锥 中， ，△ 为等边三角形，二面角
的余弦值为 ，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 .则三棱锥体积的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知作出图象，找出二面角 的平面角，设出 的长，即可求出三棱锥 的
高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有 长度的字母表示），再设出球心 ，
由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得 的长度，
则三棱锥体积的最大值可求.
【详解】
如图所示，过点 作 面 ，垂足为 ，过点 作 交 于点 ，连接 ，
则 为二面角 的平面角的补角，即有 ，
易知 面 ，则 ，而△ 为等边三角形，
∴ 为 中点，
设 ，
则 c ，
故三棱锥 的体积为： ，当且仅当 时，体积最大，此时 共线.
设三棱锥 的外接球的球心为 ，半径为 ，
由已知， ，得 .
过点 作 于F，则四边形 为矩形，
则 ， ， ，
在 △ 中 ，解得
∴三棱锥 的体积的最大值为： .
故选：D.
14．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）已知正方体 的棱长为2，M，N分别是 的中
点，点P是截面 （包括边界）上的动点， ，则 与平面 所成最大
角的正切值为_______．
【答案】
【分析】
先分析得到点P的轨迹是圆，然后将 与平面 所成最大角的正切值转化为求 的最大正切值
并计算即可.
【详解】
取 的中点O，连接 ，由正方体性质可知 平面 ，则
，即如下图（2），点P的轨迹是 ，半径为 ，又M到平面
的距离为 ，因为 ，所E到 的距离为 ，则 为直线 与
平面 的夹角，当O，T，P共线时，则此时 最小， 的值最大，
，所以 ，
即 ．故答案为： .
15．（2022·河南·高三开学考试（理））如图，在 中， ， ， 是 的角
平分线，沿 将 折起到 的位置，使得平面 平面 ．若 ，则三棱锥
外接球的表面积是________．
【答案】
【分析】
先利用角平分线及 求出各边长，进而找到球心及球心在平面BCD上的投影，利用半径相等列出
方程，求出半径，进而求出外接球表面积.
【详解】
过点 作 ，连接 .
设 ，则 ， ， ．在 中，由余弦定理可得．因为平面 平面 ，交线为CD，所以 平面 ，因
为BE 平面BCD，所以 ，则 ，解得： ，从而
．在 中，由余弦定理可得 ．
因为CD是∠ACB的角平分线，所以 ，由正弦定理得： ，
，而 ，所以 ， ．因为
，且 ，所以 ．设
外接圆的圆心为 ，半径为r，则 ，点 到直线 的距离 ．设三
棱锥 外接球的球心为O，半径为R，则 ，即
，解得： ，故三棱锥 外接球的表面积是
．
