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专题 2.4 整式的加减（满分 100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022·全国·七年级课时练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．2不是单项式 B．6πx3的系数是6，次数是4
1
C． 是二次单项式 D．x2−1是二次二项式
x2
【思路点拨】
利用多项式和单项式的相关定义解答即可．
【解题过程】
解：A.2是单项式，原说法错误，故此选项不符合题意；
B. 6πx3的系数是6π，次数是3，原说法错误，故此选项不符合题意；
1
C. 分母中含字母，不是单项式，原说法错误，故此选项不符合题意；
x2
D. x2−1是二次二项式，原说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的多项式(m−4)x3−xn+x−mn为二次三项式，则当x=−1
时，这个二次三项式的值是（ ）
A．−10 B．−12 C．8 D．14
【思路点拨】
根据二次三项式的定义得出m-4=0，n=2，求出m=4，n=2，代入二次三项式，最后把x=-1代入求出即可．
【解题过程】
解：∵关于x的多项式（m-4）x3-xn+x-mn为二次三项式，
∴m-4=0，n=2，
∴m=4，n=2，
即多项式为-x2+x-8，当x=-1时，-x2+x-8=-（-1）2-1-8=-10．
故选：A．
3．（2022·全国·七年级单元测试）按一定规律排列的单项式：x3，−x5，x7，−x9，x11，……，第n个单
项式是（ ）
A．(−1) nx2n−1 B．(−1) n−1x2n+1 C．(−1) n−1x2n−1 D．(−1) nx2n+1
【思路点拨】
先观察系数与指数的规律，再根据规律定出第n个单项式即可．
【解题过程】
解：∵x3，−x5，x7，−x9，x11，……，
∴系数是奇数项为-1，偶数项为1，即系数的规律是(-1)n-1,
指数的规律为2n+1，
∴第n个单项式为(−1) n−1x2n+1，
故选：B．
4．（2022·全国·七年级单元测试）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第
二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是
（ ）
A．297 B．301 C．303 D．400
【思路点拨】
首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．
【解题过程】
解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0，
第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1；
第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2；
第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，
……，
第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301．
故选：B．
5．（2022·全国·七年级单元测试）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底
面为长方形(长为m，宽为n)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两
块阴影部分的周长和是( )
A．4m B．4n C．2(m＋n) D．4(m－n)
【思路点拨】
本题需先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们
加起来即可求出答案．
【解题过程】
解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，
∴L =2（n-a+m-a）,
上面的阴影
L =2（m-2b+n-2b）,
下面的阴影
∴L =L +L
总的阴影 上面的阴影 下面的阴影
=2（n-a+m-a）+2(m-2b+n-2b)
=4m+4n-4（a+2b），
又∵a+2b=m，
∴4m+4n-4(a+2b)=4n，
故选：B．
6．（2022·全国·七年级课时练习）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价
后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价50%，再打六折
C．先提价30%，再降价30% D．先提价25%，再降价25%
【思路点拨】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．
【解题过程】
解：设原件为x元，
∵先打九五折，再打九五折，
∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
∵先提价50%，再打六折，
∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，
∵先提价30%，再降价30%，
∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，
∵先提价25%，再降价25%，
∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，
∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x
故选B
7．（2022·广东·七年级单元测试）某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场
m+n
以每包n元（m>n）的价格进了同样的60包茶叶，如果以每包 元的价格全部卖出这种茶叶，那么这
2
家商店（ ）
A．亏损了 B．盈利了 C．不赢不亏 D．盈亏不能确定
【思路点拨】
先根据题意列出进货的成本与销售额，再作差比较即可．
【解题过程】
m+n
解：由题意得，进货成本=40m+60n，销售额= ×（40+60），
2
m+n
故总利润为： ×（40+60）-（40m+60n）
2
=50（m+n）-（40m+60n）
=50m+50n-40m-60n
=10（m-n），
∵m＞n，
∴10（m-n）＞0，
∴这家商店盈利．
故答案为：盈利．8．（2022·全国·七年级课时练习）若代数式2mx2+4x−2y2−3(x2− 2nx−3 y+1)的值与x的取值无关，
则m2019n2020的值为（ ）
3 2 2 3
A． B． C．− D．−
2 3 3 2
【思路点拨】
把代数式去括号，合并为关于x的代数式，令含有字母x的项的系数为零，可求出m，n的值，从而求出
m2019n2020的值．
【解题过程】
解：2mx2+4x−2y2−3(x2−2nx−3 y+1)
=2mx2+4x−2y2−3x2+6nx+9 y−3
=(2m−3)x2+(4+6n)x−2y2+9 y−3
∵代数式的值与x的取值无关
∴2m−3=0，4+6n=0
3 2
∴m= ，n=−
2 3
3 2019 2 2020 [3 2 ] 2019 2 2
∴m2019n2020=( ) (− ) = ×(− ) ×(− )=
2 3 2 3 3 3
故选：B．
1
9．（2022·全国·七年级课时练习）数学课上，张老师出示了这样一道题目：“当a= ,b=−2时，求已知
2
1
7a3+3a2b+3a3−3a2b−10a3−1的值”．解完这道题后，小茗同学发现：“a= ,b=−2是多余的条
2
件”．师生讨论后，一致认为小茗的发现是正确的．受此启发，张老师又出示了一道题目：无论x,y取任
何值，多项式2x2+ax−4 y+1−2(x2+3x−by−4)的值都不变，则系数a,b的值分别为（ ）
A．a=6,b=2 B．a=2,b=6 C．a=−6,b=2 D．a=6,b=−2
【思路点拨】
对多项式 去括号，合并同类项，再由无论x，y取任何值，多项式
2x2+ax−4 y+1−2(x2+3x−by−4)的值都不变，可得关于a和b的方程，求解即可．
2x2+ax−4 y+1−2(x2+3x−by−4)
【解题过程】
解：2x2+ax−4 y+1−2(x2+3x−by−4)
=2x2+ax−4 y+1−2x2−6x+2by+8
=(a−6)x+(2b−4)y+9
∵无论x,y取任何值，多项式2x2+ax−4 y+1−2(x2+3x−by−4)的值都不变，
∴a−6=0，2b−4=0，
∴a=6，b=2
故选：A．
10．（2022·全国·七年级课时练习）对多项式x−y−z−m−n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式
子化简，称之为“加算操作”，例如：(x−y)−(z−m−n)=x−y−z+m+n，
x−y−(z−m)−n=x−y−z+m−n，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】
给x−y添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号，即可判
断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．
【解题过程】
解：∵(x−y)−z−m−n=x−y−z−m−n
∴①说法正确
∵x−y−z−m−n−x+ y+z+m+n=0
又∵无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号
∴②说法正确
③第1种：结果与原多项式相等；
第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；
第3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；
第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；
第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；
第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；
第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意；
∴共有8种情况
∴③说法正确
∴正确的个数为3
故选D．
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
1 1 x+ y
11．（2022·全国·七年级课时练习）在式子①2x+5，②−1，③a2+2ab+b2，④xyz，⑤ + ，⑥ ，
x y 2
2
⑦ +3，⑧x2−y2中是整式的有________，其中是单项式的有________，是多项式的有________．
π
【思路点拨】
根据整式、单项式、多项式的定义，结合所给各式进行判断即可.
【解题过程】
解：所给式子中整式有：①②③④⑥⑦⑧；
单项式有：②④⑦；
多项式有：①③⑥⑧．
故答案为①②③④⑥⑦⑧、②④、①③⑥⑦⑧．
12．（2022·全国·七年级课时练习）已知a﹣b＝4，a﹣c＝1，则代数式(2a﹣b﹣c)2+(c﹣b)2的值为__．
【思路点拨】
把(2a﹣b﹣c)整理成(a﹣b)+(a﹣c)的形式，然后整体代入数据进行计算即可得解．
【解题过程】
解：(2a﹣b﹣c)2+(c﹣b)2，
＝[(a﹣b)+(a﹣c)]2+(c﹣b)2，
当a﹣b＝4，a﹣c＝1时，∴c﹣b＝3，
原式＝(4+1)2+32＝25+9＝34．
故答案为：34．
13．（2022·江苏·七年级单元测试）已知代数式x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2合并同类项后不含x3，x2项，
则2a+3b的值 _____．
【思路点拨】
根据合并后不含三次项，二次项，可得含三次项，二次项的系数为零，可得a，b的值，再代入所求式子计
算即可．
【解题过程】
解：x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2
＝x4+（a+5）x3+（3﹣7﹣b）x2+6x﹣2，
∵x4+ax3+3x2+5x3﹣7x2﹣bx2+6x﹣2，合并同类项后不含x3和x2项，
∴a+5＝0，3﹣7﹣b＝0，
解得：a＝﹣5，b＝﹣4，
∴2a+3b＝2×（﹣5）+3×（﹣4）＝﹣22．
故答案为：﹣22．
14．（2022·全国·七年级课时练习）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称
它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
【思路点拨】
1 3
设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b= c，c= d，由“优美矩形”ABCD的周长得
3 5
4d+2c=26，列式计算即可求解．
【解题过程】
解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，
∵“优美矩形”ABCD的周长为26，∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，
1
∴c=3b，则b= c，
3
5 3
∴d=2b+c= c，则c= d，
3 5
6
∴4d+ d =26，
5
∴d=5，
∴正方形d的边长为5，
故答案为：5．
15．（2022·江苏无锡·七年级期末）同一数轴上有点A，C分别表示数a，c，且a，c满足等式（16+a）2+|c
﹣12|＝0，点B表示的数是多项式2x2﹣4x+3的一次项系数，点A，B，C在数轴上同时开始运动，点A向
左运动，速度为每秒3个单位长度，点B，C均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长
度，设运动时间为t秒．若存在m使得2AB﹣m•BC的值不随时间t的变化而改变，则该定值为 _____．
【思路点拨】
根据题意分别表示出A，B，C表示的数为﹣4，﹣16﹣3t，﹣4+3t，12+4t，进而根据数轴上两点的距离求
得AB,BC，根据整式的加减结果与t无关即可求得m的值．
【解题过程】
解：∵（16+a）2+|c﹣12|＝0，
∴16+a＝0，c﹣12＝0，
∴a＝﹣16，c＝12，
∵点B表示的数是多项式2x2﹣4x+3的一次项系数，
∴点B表示的数是﹣4，
运动后，点A，B，C表示的数分别是：﹣16﹣3t，﹣4+3t，12+4t，
∴AB＝（﹣4+3t）﹣（﹣16﹣3t）＝6t+12，
BC＝（12+4t）﹣（﹣4+3t）＝t+16，
∴2AB﹣m•BC
＝2（6t+12）﹣m（t+16）
＝12t+24﹣mt﹣16m
＝（12﹣m）t+24﹣16m，
∵2AB﹣mBC的值不随时间t的变化而改变，∴12﹣m＝0，
解得m＝12．
此时2AB﹣mBC＝24﹣16×12＝﹣168．
故答案为：﹣168．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（2022·全国·七年级课时练习）先去括号，再合并同类项：
1
(1)6a2﹣2ab﹣2（3a2－ ab）；
2
(2)2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]；
2
(3)9a3﹣[﹣6a2+2（a3－ a2）]；
3
(4)﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1）．
【思路点拨】
（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可；
（3）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可；
（4）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可．
【解题过程】
1
（1）解：6a2﹣2ab﹣2（3a2－ ab）＝6a2﹣2ab﹣6a2+ab＝﹣ab；
2
（2）解：2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]＝4a﹣2b﹣4b﹣2a+b＝2a﹣5b；
2 4 22
（3）解：9a3﹣[﹣6a2+2（a3－ a2）]＝9a3+6a2﹣2a3＋ a2＝7a3＋ a2；
3 3 3
（4）解：2t﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1）＝2t﹣t+t2﹣t﹣3+2+2t2﹣3t+1＝3t2﹣3t．
17．（2022·全国·七年级课时练习）先化简，再求值
（1）2（a2b+ab2）-2（a2b-1）-3（ab2+1），其中a=-2，b=2．
（2）(2x2y−2x y2 )−[(−3x2y2+3x2y)+(3x2y2−3x y2 )]，其中x=−1,y=2
5 2
（3）当x＝－ ，y＝ 时，求xy+2y2+(x2−3xy−2y2)−(x2−xy)的值；
2 5【思路点拨】
先根据去括号法则去括号，然后根据合并同类项即可完成化简，再代入求值，注意去括号时符号的变化.
【解题过程】
（1）解：2（a2b+ab2）-2（a2b-1）-3（ab2+1）
=2a2b+2ab2-2a2b+2-3ab2-3
=-ab2-1.
当a=-2，b=2时，原式=-（-2）×22-1=8-1=7.
（2）(2x2y−2x y2 )−[(−3x2y2+3x2y)+(3x2y2−3x y2
)]
=x y2−x2y,
当x=−1,y=2时，原式=(−1)×22−( −1）²×2=−4−2=−6
（3）xy+2y2+(x2−3xy−2y2)−(x2−xy)
=xy+2y2+x2-3xy-2y2-x2+xy
=-xy
5 2
当x=－ ，y＝ 时，原式=1.
2 5
18．（2022·全国·七年级专题练习）已知A=3a2b﹣2ab2+abc，小明同学错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结
果为4a2b﹣3ab2+4abc．
(1)计算B的表达式；
(2)求出2A﹣B的结果；
1 1
(3)小强同学说(2)中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a= ，b= ，求(2)中式子的值．
8 5
【思路点拨】
（1）根据B＝4a2b﹣3ab2+4abc－2A列出关系式，去括号合并即可得到B；
（2）把A与B代入2A-B中，去括号合并即可得到结果；
（3）把a与b的值代入计算即可求出值．
【解题过程】
解：（1）∵2A＋B＝4a2b﹣3ab2+4abc，
∴B＝4a2b﹣3ab2+4abc－2A
＝4a2b－3ab2＋4abc－2(3a2b－2ab2＋abc)
＝4a2b－3ab2＋4abc－6a2b＋4ab2－2abc＝－2a2b＋ab2＋2abc；
（2）2A－B＝2(3a2b－2ab2＋abc)－(－2a2b＋ab2＋2abc)
＝6a2b－4ab2＋2abc＋2a2b－ab2－2abc
＝8a2b－5ab2；
（3）对，由（2）化简的结果可知与c无关，
1 1
将a＝ ，b＝ 代入，得
8 5
(1) 2 1 1 1 2
8a2b－5ab2＝8× × －5× ×( ) ＝0．
8 5 8 5
19．（2022·全国·七年级课时练习）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋯+22017+22018的值 ，采用以
下方法：
设S=1+2+22+⋯+22017+22018 ①
则2S=2+22+⋯+22018+22019 ②
②-①得 2S−S=22019−1
∴S=1+2+22+⋯+22017+22018=22019−1
（1）1+2+22+⋯+29= ;
（2）3+32+⋯+310 = ;
（3）求1+a+a2+⋯+an的和（a>0 ，n是正整数，请写出计算过程 ）.
【思路点拨】
（1）利用题中的方法设S=1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S=2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；
（2）利用题中的方法设S=1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式
相减计算出S即可；
（3）利用（2）的方法计算．
【解题过程】
解：（1）设S=1+2+22+…+29①
则2S=2+22+…+210 ②
②-①得2S-S=S=210-1
∴S=1+2+22+…+29=210-1；
故答案为210-1
（2）设S=3+3+32+33+34+…+310 ①，
则3S=32+33+34+35+…+311 ②，
②-①得2S=311-1，311−1
所以S= ，
2
311−1
即3+32+33+34+…+310= ；
2
311−1
故答案为 ；
2
（3）设S=1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS=a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②-①得：（a-1）S=an+1-1，
a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1；
an+1−1
a不等于1时，a-1才能做分母，所以S= ，
a−1
an+1−1
即1+a+a2+a3+a4+..+an= .
a−1
a b a+b
20．（2022·四川资阳·七年级期末）一般情况下 + = 不成立，但有些数可以使得它成立，例如：
2 3 2+3
a b a+b
a=b=0．我们称使得 + = 成立的一对数a,b为“相伴数对”，记为(a,b)
2 3 2+3
（1）若(1,b)是“相伴数对”，求b的值；
（2）写出一个“相伴数对”(a,b)，并说明理由．（其中a≠0，且a≠1）
22
（3）若(m,n)是“相伴数对”，求代数式m− n−[4m−2(3n−1)]的值．
3
【思路点拨】
（1）根据“相伴数对”定义列出方程求解即得；
a b a+b
（2）先根据“相伴数对”定义确定一个有序数对为“相伴数对”，再将这个特殊的情况代入 + =
2 3 2+3
验证左右相等即可；
（3）先根据“相伴数对”定义得出9m+4n=0，进而用含m的式子表示n，再化简要求的代数式即得．
【解题过程】
解：（1）∵(1，b)是“相伴数对”
1 b 1+b
∴ + =
2 3 2+3
9
解得：b=−
4（2）(−4，9)是“相伴数对”，理由如下：
−4 9 −4+9
∵ + =1， =1
2 3 2+3
−4 9 −4+9
∴ + =
2 3 2+3
∴根据定义(−4，9)是“相伴数对”
（3）∵(m，n)是“相伴数对”
m n m+n
∴ + =
2 3 2+3
∴9m+4n=0
4
∴−3m− n=0
3
22
∵m− n−[4m−2(3n−1)]
3
22
=m− n−4m+6n−2
3
4
=−3m− n−2
3
4
=−3m− n−2
3
4
∴当−3m− n=0时
3
4
−3m− n−2=0−2=−2
3
21．（2022·全国·七年级期中）小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设整个长
方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计）
（1）求a的值；（2）请用含x的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米；
（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米．装修公司有A，B两种活动
方案，如表：
已知卧室2的面积为21平方米，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？
【思路点拨】
（1）根据长方形的对边相等可得a+5=4+4，即可求出a的值；
（2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板的面积，用长
方形的面积-三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积；
（3）根据卧室2的面积为21平方米求出x，再分别求出所需的费用，然后比较即可．
【解题过程】
解：（1）根据题意，可得a+5＝4+4，
得a＝3；
（2）铺设地面需要木地板：
4×2x+a[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]+6×4＝8x+3（17﹣5x）+24＝75﹣7x，
铺设地面需要地砖：
16×8﹣（75﹣7x）＝128﹣75+7x＝7x+53；
（3）∵卧室2的面积为21平方米，
∴3[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]＝21，
∴3（17﹣5x）＝21，
∴x＝2，
∴铺设地面需要木地板：75﹣7x＝75﹣7×2＝61，
铺设地面需要地砖：7x+53＝7×2+53＝67，
A种活动方案所需的费用：61×300×0.8+67×100×0.85+2000＝22335（元），
B种活动方案所需的费用：61×300×0.9+67×100×0.85＝22165（元），
22335＞22165，
所以小方家应选择B种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低．22．（2022·全国·七年级专题练习）特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，
从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：a x4+a x3+a x2+a x+a =6x，则：
4 3 2 1 0
①取x=0时，直接可以得到a =0；②取x=1时，可以得到a +a +a +a +a =6；③取x=−1时，可以得
0 4 3 2 1 0
到a −a +a −a +a =−6；④把②，③的结论相加，就可以得到2a +2a +2a =0，结合①a =0的结
4 3 2 1 0 4 2 0 0
论，从而得出a +a =0．
4 2
请类比上例，解决下面的问题：
已知a (x−1) 6+a (x−1) 5+a (x−1) 4+a (x−1) 3+a (x−1) 2+a (x−1)+a =4x．求：
6 5 4 3 2 1 0
(1)a 的值；
0
(2)a +a +a +a +a +a +a 的值；
6 5 4 3 2 1 0
(3)a +a +a 的值．
6 4 2
【思路点拨】
（1）观察等式可发现只要令x=1即可求出a；
0
（2）观察等式可发现只要令x=2即可求出a+a+a+a+a+a+a 的值；
6 5 4 3 2 1 0
（3）令x=2即可求出等式①，令x=0即可求出等式②，两个式子相加即可求出来．
【解题过程】
（1）解：当x=1时，
∵a (x−1) 6+a (x−1) 5+a (x−1) 4+a (x−1) 3+a (x−1) 2+a (x−1)+a =4x，
6 5 4 3 2 1 0
∴a =4×1=4；
0
（2）解：当x=2时，
∵a (x−1) 6+a (x−1) 5+a (x−1) 4+a (x−1) 3+a (x−1) 2+a (x−1)+a =4x，
6 5 4 3 2 1 0
∴a +a +a +a +a +a +a =8；
6 5 4 3 2 1 0
（3）解：当x=2时，
∵a (x−1) 6+a (x−1) 5+a (x−1) 4+a (x−1) 3+a (x−1) 2+a (x−1)+a =4x，
6 5 4 3 2 1 0
∴a +a +a +a +a +a +a =8①；
6 5 4 3 2 1 0
当x=0时，
∵a (x−1) 6+a (x−1) 5+a (x−1) 4+a (x−1) 3+a (x−1) 2+a (x−1)+a =4x，
6 5 4 3 2 1 0∴a −a +a −a +a −a +a =0②；
6 5 4 3 2 1 0
用①+②得：2a +2a +2a +2a =8，
6 4 2 0
∴a +a +a =4−a =0．
6 4 2 0
23．（2022·四川达州·七年级期中）一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分
a+b
出来的右边数．其中a，b两部分数位相同，若 正好为剩下的中间数，则这个多位数就叫平衡数，
2
3+7 23+41
例如：357满足 ＝5，233241满足 =32．
2 2
(1)判断：468_____平衡数；314567_____平衡数（填“是”或“不是”）；
(2)证明任意一个三位平衡数一定能被3整除；
(3)若一个三位平衡数后两位数减去百位数字之差为9的倍数，且这个平衡数为偶数，求这个三位数．
【思路点拨】
（1）根据平衡数的定义即可判断；
（2）设出这个三位平衡数，化简即可验证；
x+ y
（3）设出这个三位平衡数，根据后两位数减去百位数字之差为9的倍数列出代数式并化简，再根据
2
是整数，y是偶数即可得出答案．
【解题过程】
4+8
解：(1)∵ ＝6，
2
∴468是平衡数；
31+67
∵ ＝49≠45，
2
∴314567不是平衡数；
故答案为：是；不是；
a+b
(2)证明：设这个三位平衡数为：100a+10• +b，
2
a+b
∵100a+10• +b
2
＝100a+5a+5b+b
＝105a+6b
＝3(35a+2b)，a+b
∴100a+10• +b一定能被3整除，
2
即任意一个三位平衡数一定能被3整除；
x+ y
(3)设这个三位平衡数为100x+10( )+y，
2
x+ y
∴10 +y-x=9k，
2
∴6y+4x＝9k，
∴6y+4x满足被9整除，
x+ y
又∵ 是整数，
2
∴x+y是2的倍数，
∵三位数是偶数，
∴y是偶数，
∵0＜x≤9，0≤y≤9，由于y为偶数，
则y可以取0，2，4，6，8，
y＝0时，x无满足条件值；
y＝2时，x＝6满足；
y＝4时，x无满足条件值；
y＝6时，x无满足条件值；
y＝8时，x＝6满足，
综上所述，三位数为642，678．
24．（2022·全国·七年级）已知A,B,C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a,b,c．
（1）填空：abc______0，a+b_____0；（填“>”，“=”或“<”）
（2）若a=−2且点B到点A,C的距离相等，
①当b2=9时，求c的值；
②P是数轴上B,C两点之间的一个动点，设点P表示的数为x，当P点在运动过程中，
bx+cx+|x−c|−13|x+a|−c的值保持不变，求b的值．
【思路点拨】
（1）根据各点在数轴上的位置判断出a＜0＜b＜c，|a|<|b|<|c|，从而可得结果；
（2）①首先得到b值，再根据点B到点A,C的距离相等可得c值；②根据点P的位置得到x-c＜0，x+a＞0，代入原式去绝对值化简，再根据原式的值保持不变得到原式的值
与x无关，可得b值．
【解题过程】
解：（1）根据数轴上A、B、C三点的位置，
可知：a＜0＜b＜c，|a|<|b|<|c|，
∴abc＜0，a+b＞0，
故答案为：＜，＞；
（2）①∵b2=9，且b＞0，
∴b=3，
∵点B到点A,C的距离相等，
∴c-b=b-a，
∴c-3=3-（-2），
∴c=8，
故答案为：8；
②∵x处于B、C两点之间，
∴x-c＜0，x+a＞0，
∴|x−c|=c−x，|x+a|=x+a，
∴bx+cx+|x−c|−13|x+a|−c
=bx+cx+c−x−13(x+a)−c
=bx+cx+c−x−13x−13a−c
=bx+cx−14x−13a
=(b+c−14)x−13a
∵c-b=b-a，a=-2，
∴c=2b+2，
∴bx+cx+|x−c|−13|x+a|−c
=(b+2b+2−14)x−13×(−2)
=(3b−12)x+26
∵P在运动过程中，原式的值保持不变，
即原式的值与x无关，
∴3b-12=0，
∴b=4．
