文档内容
§7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
课标要求 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生
活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，
并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
知识梳理
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
互相________ 互相________
底面 多边形
且________ 且________
相交于______ 延长线交
侧棱
但不一定相等 于________
侧面
形状
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
互相平行且相
母线 相交于______ 延长线交
等，________于底面 于______
轴截面
侧面展
开图
2.直观图
(1)画法：常用____________．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴
与x′轴和y′轴所在平面________．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍________________，平行于x轴和z轴的线段
在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的________．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展
开图
侧面积
S ＝________ S ＝________ S ＝________
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧
公式
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
表面积 体积
几何体
柱体 S ＝S ＋2S V＝________
表 侧 底
锥体 S ＝S ＋S V＝________
表 侧 底
台体 S ＝S ＋S ＋S V＝____________
表 侧 上 下
球 S ＝________ V＝____________
表
常用结论
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．
2．直观图与原平面图形面积间的关系：S ＝S ，S ＝2S
直观图 原图形 原图形 直观图．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)菱形的直观图仍是菱形．( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )
(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( )
(4)锥体的体积等于底面积与高之积．( )
2.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是( )
A．四棱台 B．四棱锥
C．四棱柱 D．三棱柱
3．下列说法正确的是( )
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
4．若一个圆锥的底面半径和高都是 1，则它的母线长等于________，它的体积等于
________．
题型一 基本立体图形
命题点1 结构特征
例1 (多选)下列说法正确的是( )
A．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
命题点2 直观图
例2 如图，△A′O′B′是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知
O′为坐标原点，顶点A′，B′均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则O′B′的长度
为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
命题点3 展开图
例3 如图，已知正三棱柱ABC－ABC 的底面边长为1 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，
1 1 1
沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 点的最短路线的长为( )
1A．12 cm B．13 cm C. cm D．15 cm
跟踪训练1 (1)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图 A′B′C′D′
是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为( )
A．4＋4 B．4＋4
C．8 D．8
(2)(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是( )
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
C．长方体是直平行六面体
D．存在每个面都是直角三角形的四面体
(3)有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 2圈，并使铁丝
的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________．
题型二 表面积与体积
命题点1 表面积
例4 (1)(2023·深圳模拟)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一
周所得圆柱的侧面积等于( )
A．8π B．4π C．8 D．4
(2)如图所示，已知三棱台 ABC－ABC 的上、下底面都是等腰直角三角形，CC ⊥平面
1 1 1 1
ABC，AC＝2，AC ＝1，CC ＝1，则这个三棱台的侧面积为( )
1 1 1
A. B.
C. D．3＋2
命题点2 体积
例5 (1)如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 ABCD是边长为2的正方形，且△ADE，
△BCF均为正三角形，EF∥CD，EF＝4，则该木楔子的体积为( )A. B．4 C. D．2
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)在正四棱台ABCD－ABC D 中，AB＝2，AB ＝1，AA ＝，则该棱
1 1 1 1 1 1 1
台的体积为________．
思维升华 求空间几何体的体积的常用方法
公式法 规则几何体的体积，直接利用公式
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成
割补法
规则的几何体
等体 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体
积法 积
跟踪训练2 (1)定义：通过24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)来判断降雨程度；其中小
雨(0 mm－10 mm)，中雨(10 mm－25 mm)，大雨(25 mm－50 mm)，暴雨(50 mm－100
mm)；小明用一个圆锥形容器(如图)接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级( )
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
(2)(多选)已知在正四棱台ABCD－ABC D 中，AB＝4，AB ＝2，AA ＝2，则关于该正四棱
1 1 1 1 1 1 1
台，下列说法正确的是( )
A．∠AAB＝ B．高为
1
C．体积为 D．表面积为12
