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一、单项选择题
1．(2024·武汉模拟)下列说法正确的是( )
A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
2.如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段AB＝8，C，O，D为线段AB的四等分点，
则该圆台的表面积为( )
A．11π B.
C．6π D．5π
3.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆
锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为(
)
A．12 B．16 C．24 D．24
4.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何
体后的剩余部分，则该几何体的表面积为( )
A．24－3π B．24－π
C．24＋π D．24＋5π
5.如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，
C′D′＝2，则下列说法正确的是( )A．AB＝2
B．A′D′＝2
C．四边形ABCD的周长为4＋2＋2
D．四边形ABCD的面积为6
6．(2023·宁德质检)中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学
著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式．
例如在推导正四棱台(古人称方台)体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解．如图
(1)为俯视图，图(2)为立体切面图．E对应的是正四棱台中间位置的长方体；B，D，H，F
对应四个三棱柱，A，C，I，G对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和为 12，四个
四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为( )
A．24 B．28 C．32 D．36
二、多项选择题
7．(2023·邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒
尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭
阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个
正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝
30°，侧棱长为 米，则( )
A．正四棱锥的底面边长为6 米
B．正四棱锥的底面边长为3 米
C．正四棱锥的侧面积为24 平方米
D．正四棱锥的侧面积为12 平方米
8．(2023·新高考全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝
120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则( )
A．该圆锥的体积为π
B．该圆锥的侧面积为4π
C．AC＝2D．△PAC的面积为
三、填空题
9.中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，
如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的
体积是________．
10．(2023·吕梁模拟)公园、旅游景点的护栏顶部常常用“半正多面体”装饰(图1)．“半正
多面体”是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，“半正多面体”体现了数学的对
称美．如图2是一个棱数为24的“半正多面体”，其棱长为，则该“半正多面体”的表面
积为 ________，体积为 ________.
11.某校高一年级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体
ABCD－ABC D 挖去正四棱台ABCD－EFGH后所得的几何体，其中AB＝BC＝2EF＝2BF
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＝6 cm，AA＝4 cm，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方
1
厘米需要金属2 mg，不考虑损耗，所需金属膜的质量为________ mg.
12．(2024·温州模拟)魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁
比克教授于1974年发明的机械益智玩具．自1974年魔方问世起，世界上陆续出现了各种
各样的魔方．魔方爱好者小明拥有一款“Zcube三面体曲面三阶魔方”，它的直观图如图
所示，它由27个小块构成(其中，包含18个棱长为2 cm的正方体小块，9个底面半径为2
cm，高为 2 cm 的个圆柱小块)，则该魔方的表面积为________ cm2；体积为________
cm3(魔方中的空隙忽略不计)．
四、解答题13.如图，矩形O′A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的
直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1.
(1)求平面四边形OABC的面积；
(2)若该四边形OABC以OA为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积．
14.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝AB＝CD，平面
ADP⊥平面PCD，PD⊥PC.
(1)求证：△ADP为直角三角形；
(2)若PC＝AD＝1，求四棱锥P－ABCD的体积．
15．(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面
积分别为S 和S ，体积分别为V 和V 若＝2，则等于( )
甲 乙 甲 乙．
A. B．2 C. D.
16．(多选)(2023·营口模拟)如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，PA＝
BC＝2BE＝2AB＝2，记四面体P－CDE，E－PBC，E－PAC的体积分别为V ，V ，V ，则
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下列说法正确的是( )A．该几何体的体积为
B．V＝2V
3 2
C．3V＝2V
1 2
D．V＋V＝V
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