空间向量与立体几何——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习（含解析）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习_2025高考数学一轮复习易混易错专项复习（含解析）（完结）

（7）空间向量与立体几何 ——2025 高考数学一轮复习易混易错专项复习 【易混点梳理】 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.一般地，表面积=侧面积+底面积. 多面体 侧面展开图 面积公式 棱柱 （如三棱柱） 棱锥 （如三棱锥） 棱台 （如三棱台） 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积 旋转体 侧面展开图 面积公式 底面积： O′ 圆柱 l 侧面积： r O 表面积： 底面积： S 圆锥 l 2πr 侧面积： r O 表面积： 上底面面积： O′ 2πr r′ 圆台 下底面面积： l 2πr r O 侧面积：表面积： 3.柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积公式 （ 为底面面积， 为高）， （ 为底面半径， 柱体 为高） （ 为底面面积， 为高）， （ 为底面半 锥体 径， 为高） （ 分别为上、下底面面积， 为高）， 台体 （ 分别为上、下底面半径， 为高） 4.球的表面积和体积 （1）球的表面积：设球的半径为 ，则球的表面积为 ，即球的表面积等于它的大圆 面积的4倍. （2）球的体积：设球的半径为 ，则球的体积为 . 5.直线与直线平行： 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性. 6.等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 7.直线与平面平行的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果平面外一条 a 直线与此平面内 ， ，且 的一条直线平 b . 行，那么该直线 α 与此平面平行. 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.8.直线与平面平行的性质定理 自然语言 图形语言 符号语言 一条直线与一个 β a 平面平行，如果 过该直线的平面 ， ， 与此平面相交， . 那么该直线与交 b 线平行. α 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. 9.平面与平面平行的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 b P 如果一个平面内的两条相 α a ， ， 交直线与另一个平面平 ， ， 行，那么这两个平面平行. β 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. 10.平面与平面平行的性质定理 自然语言 图形语言 符号语言 γ a 两个平面平行，如 α 果另一个平面与这 ， ， 两个平面相交，那 . 么两条交线平行. b β 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. 11.异面直线所成的角： （1）定义：已知两条异面直线 ，经过空间任一点 分别作直线 ，我们把 与 所成的角叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）.b b b′ a′ a a O α a′ O α （2）异面直线所成的角 的取值范围： . （3）两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即 时， 与 互相垂 直，记作 . 12.直线与平面垂直的概念 如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直，记作 ， 定义 直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面.它们唯一 的公共点 叫做垂足. 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四 边形的一边垂直，如图所示 l 画法图示 P α 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段， 点到面的距离 叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到 该平面的距离. 线到面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平 两面间的距离 面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一 个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距 离. 13.直线与平面垂直的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言l 如果一条直线与一个 ， ， 平面内的两条相交直 P ， ， b 线垂直，那么该直线 a 与此平面垂直. α . 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 14.直线和平面所成的角 有关概念 对应图形 一条直线 与一个平面 相交，但不与这个平面 斜线 垂直，图中直线 . l P 斜足 斜线和平面的交点，图中点 . A α O 过斜线上斜足以外的一点 向平面 引垂线 ， 射影 过垂足 和斜足 的直线 叫做斜线在这个平面 内的射影. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角； 直线与 平面所 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 成的角 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是 的角. 取值范 围 15.直线与平面垂直的性质定理 自然语言 图形语言 符号语言 a b 垂直于同一个平面的两 ， 条直线平行. α 16.二面角的概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫 概念 做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 面 β 棱 β 面 Q α 图示 l B A l α P 棱为 ，面分别为 的二面角记为 . 记法 也可在 内（棱以外的半平面部分）分别取点 ，记作二面角. 在二面角 的棱 上任取一点 ，以点 为垂足，在 文字 半平面 和 内分别作垂直于棱 的射线 和 ，则这两 条射线构成的角 叫做这个二面角的平面角. β 图示 B α A O l 平面角 ， ， ， ， ， ， 符号 是二面角 的平面角. 范围 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角 是多少度，就说这个二面角是多少度. 规定 平面角是直角的二面角叫做直二面角. 17.平面与平面垂直 （1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互 相垂直.平面 与平面 垂直，记作 .如图 β β α α （2）判定定理： 自然语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另 β 一个平面的垂线， b ， . 那么这两个平面垂 直. α 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 18.平面与平面垂直的性质定理 自然语言 图形语言 符号语言两个平面垂直，如果 β 一个平面内有一直线 ， ， 垂直于这两个平面的 交线，那么这条直线 l ， . a 与另一个平面垂直. α 该定理可简记为“若面面垂直，则线面垂直”. 19.一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就 是说，若异面直线 所成的角为 ，其方向向量分别是u，v，则 . 20.直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如下图，直线 AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为 ，直线AB的方向向量为u，平面α 的法向量为n，则 . 21.平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为 平面α与平面β的夹角.若平面α，β的法向量分别是 和 ，则平面α与平面β的夹角即为向 量 和 的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为 ，则 .【易错题练习】 1.一个五面体 .已知 ，且两两之间距离为 1， ， ， ，则该五面体的体积为( ) A. B. C. D. 2.已知空间中有两个不重合的平面 ， 和两条不重合的直线m，n，则下列说法中正确的 是( ) A.若 ， ， ，则 B.若 ， ， ，则 C.若 ， ， ，则 D.若 ， ， ，则 3.如图，四棱锥 ABCDE 是棱长均为 2的正四棱锥，三棱锥 ACDF 是正四面体，G为BE 的中点，则下列结论错误的是( )A.点A，B，C，F共面 B.平面 平面CDF C. D. 平面ACD 4.如图，在正方体 中，O是AC中点，点P在线段 上，若直线OP与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知 中， ，D为 的中点.将 沿 翻折，使点C移动至点 E，在翻折过程中，下列说法不正确的是( ) A.平面 平面 B.三棱锥 的体积为定值 C.当二面角 的平面角为 时，三棱锥 的体积为D.当二面角 为直二面角时，三棱锥 的内切球表面积为 6.（多选）已知正方体 的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且 ， 点Q是棱 的中点，点P是棱 上的动点，则下面结论中正确的是( ) A.PQ与EF一定不垂直 B.二面角 的正弦值是 C. 的面积是 D.点P到平面QEF的距离是定值 7.（多选）如图，在正方体 中，点P在线段 上运动，有下列判断，其中 正确的是( ) A.平面 平面 B. 平面 C.异面直线 与 所成角的取值范围是 D.三棱锥 的体积不变 8.如图，在棱长为2的正方体 中，M为棱 的中点， 与 相交于点 N，P 是底面 ABCD 内（含边界）的动点，总有 ，则动点 P 的轨迹的长度为___________. 9.已知四棱锥 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面 底面 ABCD，且 ，则四棱锥 的外接球的表面积为__________. 10.如图所示，圆台 的轴截面 为等腰梯形， ，B为底面圆周 上异于A，C的点，且 ，P是线段BC的中点. （1）求证： 平面 . （2）求平面 与平面 夹角的余弦值.答案以及解析 1.答案：C 解析：因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长 为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱锥的 体积，四棱锥的高为 ，底面是上底为 1、下底为 2、高为1的梯形，故该五面体的体积 ，故选C. 2.答案：A 解析：若 ， ，则 或 ，又 ，所以 ，故A正确； 若 ， ，则 或 ，又 ，则 或n与 斜交或 均有可能， 故B错误； 若 ， ，则 或 ，又 ，因此m和n的位置关系可能为平行、相交或异 面，故C错误； 若 ， ， ，则 或 ，故D错误. 综上，选A. 3.答案：D 解析：A 选项：如图，取 CD 的中点 H，连接 GH，FH，AG，AH，易得 ， ， ，则 平面 ， 平面AFH，所以A，G，H，F四点共面， 由题意知 ， ，所以四边形AGHF是平行四边形，所以 ， 因为 ，所以 ，所以A，B，C，F四点共面，故A正确；B选项：由选项A知 ，又 平面 ， 平面CDF，所以 平面CDF， 因为 ，且 平面 ， 平面 CDF，所以 平面 CDF，又 平面 ， 平面ABE，且 ，所以平面 平面CDF，故B正确； C选项：由选项A可得 平面AGHF，又 平面AGHF，所以 ，故C正确； D选项：假设 平面ACD，则 ，由选项A知四边形AGHF是平行四边形，所以 四边形AGHF是菱形，与 ， 矛盾，故D错误. 4.答案：A 解析：如图，设正方体的棱长为 1， ，则 .以D为原点， ， ， 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则 ， ， ，故 ， ，又 ， 则 ，所以 . 在正方体 中，连接 ，可知体对角线 平面 ，所以 是 平 面 的 一 个 法 向 量 ， 所 以 .所以当 时， 取得最大值 ，当 或1时， 取得最小值 .所以 ，故选A. 5.答案：B 解析：如图：A选项， ， ， ，所以 平面 ，因为 平面 ， 故平面 平面 ，A正确，不符合题意. B选项，由A知 平面 ，但 的面积不是定值，故三棱锥的体积不是定值，B 错误，符合题意. C选项，二面角 的平面角为 ，当 时， ， 三棱锥 的体积为 ，C正确，不符合题意. D 选项，当二面角 为直二面角时， ，三棱锥 的表面积为 ， 设内切球半径为r，则由等体积法知 ，解得 ，所以内切球表面 积 ，D正确. 6.答案：BCD 解析：对于A，当点P与点 重合时， ，故选项A错误. 对于B，由于点 P是棱 上的动点，EF是棱AB上的一条线段，所以平面 PEF即为平面，平面QEF即为平面QAB. 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， 所以 ， ， . 设平面QAB的一个法向量为 ，则 即 令 ，则 . 设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，则 . 设二面角 的大小为 ，所以 ，故 ，故选项B正确. 对于C，由于 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，所以是 的高，所以 ，故选项C正确. 对于D，由于 ，且 平面 ， 平面QEF，所以 平面QEF，又点 P在 上，所以点P到平面QEF的距离是定值，故选项D正确.故选BCD. 7.答案：ABD 解析：对于 A，连接 DB，如图，因为在正方体 中， 平面ABCD，又 平面ABCD，所以 ，因为在正方形ABCD中， ，又DB与 为平面 内的两条相交直线，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，同理可得 ，因为 与AC为平面 内两条相交直线，所以 平面 ，又 平面 ，从而平面 平面 ，故A正确； 对于B，连接 ， ，如图，因为 ， ，所以四边形 是平行四边 形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理 平面 ，又 、 为平面 内两条相交直线，所以平面 平面 ，AP// 因为 平面 ，所以 1 平面 ，故B正确； AD //BC AD BC 对 于 C ， 因 为 1 1， 所 以 与 1所 成 角 即 为 与 1所 成 的 角 ， 因 为 BC AD ，所以 为等边三角形，当P与线段 1的两端点重合时， 与 1 BC AD 所成角取得最小值 ，当P与线段 1的中点重合时， 与 1所成角取得最大值 ，所以 与 所成角的范围是 ，故 C 错误；对于 D，由选项 B 得 平面 ，故 BC ADC 1上任意一点到平面 的距离均相等，即点P到平面 1 的距离不变，不妨设为h， D APC 则 ，所以三棱锥 1 的体积不变，故D正确.故选ABD. 8.答案： 解析：如图，连接 ， ， ， ， ，因为N，M分别是 ， 的中点，所 以 .由正方体的性质易知 ， ， ，所以 平面 ，所以 .同理可证 .又 ，所以 平面 ，即 平面 ，因此当 时，总有 ，所以动点P的轨迹是线段BD.又正方 体的棱长为2，所以 .9.答案： 解析：设正方形ABCD的中心为 ， 的外心为G，取AB的中点E，连接 ， ， ，则 ， ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，如图. 因为侧面 底面 ， ，平面 平面 ， 平面PAB，所 以 平面 ABCD，所以 .则 平面 ABCD，同理可知 平面 PAB.连接 OA，OB，OC，OD，OP，则 ，所以O就是该四棱锥外接球的球心.连接 BG，PE，由 ， ，得 ， ，解 得 . 设 该 四 棱 锥 的 外 接 球 半 径 为 R ， 在 中 ， ，则四棱锥 的外接球的表面积为 . 10.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）取AB的中点H，连接 ， ，如图所示， 因为P为BC的中点，所以 ， . 在等腰梯形 中， ， ， 所以 ， ，所以四边形 为平行四边形， 所以 ，又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 .（2）以直线 ， ， 分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形 中， ， 此梯形的高为 . 因为 ， ， 则 ， ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， . 设平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 . 设平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 . 设平面 与平面 的夹角为 ，则 .