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§7.10 立体几何中的动态、轨迹问题
重点解读 “动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动
态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖．同时，由于“动
态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、
多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化．
题型一 平行、垂直中的动态轨迹问题
例1 如图，在棱长为 a的正方体 ABCD－ABC D 中，E，F，G，H，N 分别是 CC ，
1 1 1 1 1
C D ，DD ，CD，BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥平面ABD，
1 1 1 1
则点M轨迹的长度是( )
A.a B.a C. D.
思维升华 动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或
圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方
程．
跟踪训练1 正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在正四
棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为( )
A.＋ B.－
C．4 D.＋1
题型二 距离、角度有关的动态轨迹问题
例2 已知长方体ABCD－ABC D 的外接球的表面积为5π，AA ＝2，点P在四边形AACC
1 1 1 1 1 1 1
内，且直线BP与平面AACC 所成的角为，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长为(
1 1
)
A．π B. C. D.
跟踪训练2 已知三棱锥P－ABC的外接球O的半径为，△ABC为等腰直角三角形，若顶点
P到底面ABC的距离为4，且三棱锥P－ABC的体积为，则满足上述条件的顶点P的轨迹长
度是________________．
题型三 翻折有关的动态轨迹问题
例 3 在矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，AD＝1，AB＝2，将△ADE 沿 DE 折起得到
△A′DE，设A′C的中点为M，若将△ADE沿DE翻折90°，则在此过程中动点M形成的
轨迹长度为________________．
跟踪训练3 (2024·连云港模拟)在矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，点E在CD上，现将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，当E从D运动到C时，求点D在平面ABC上的射影
K的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
