文档内容
拔高点突破 02 立体几何中的动态、轨迹问题
目录
01 方法技巧与总结.............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结.............................................................................................................................2
题型一：由动点保持平行求轨迹........................................................................................................2
题型二：由动点保持垂直求轨迹........................................................................................................7
题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹..................................................................................13
题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹..................................................................................17
题型五：投影求轨迹..........................................................................................................................24
题型六：翻折与动点求轨迹..............................................................................................................27
03 过关测试.........................................................................................................................................33“动态”问题是高考立体几何中最具创新意识的题型，它融入了“动态”的点、线、面等元素，为传
统的静态立体几何题增添了新的活力，使得题型更加新颖。同时，由于“动态”元素的引入，立体几何题
变得更加多元化，它能够在立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问
题之间建立联系，实现这些知识点之间的灵活转化。
立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结：
1、定义法
2、交轨法
3、几何法
4、坐标法
5、向量法
题型一：由动点保持平行求轨迹
【典例1-1】（多选题）（2024·辽宁大连·二模）在棱长为2的正方体 中，M为 中点，
N为四边形 内一点（含边界），若 平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥 的体积为
C．点N的轨迹长度为 D． 的取值范围为
【答案】BD
【解析】在棱长为2的正方体 中， 为 中点， 为四边形 内一点（含边界），
平面 ，
取 、 中点分别为 、 ，连接 、 、 、 ， ，如图：为正方体， 为 中点， 为 中点，
， ， ， ，
、 平面 ， 、 平面 ，且 ， ，
平面 平面 ，
为四边形 内一点（含边界），且 平面 ，
点 在线段 上（含端点），
对于A：当 在 时，则 与 的夹角为 ，此时 ，
则 与 不垂直，故A不正确；
对于B 为四边形 内一点（含边界），
到平面 的距离为2，
三棱锥 的体积为 ，故B正确；
对于C：由于点 在线段 上（含端点），
而 ，
点 的轨迹长度为 ，故C不正确；
对于D 为正方体，
平面 ，
平面 ，
，
△ 为直角三角形，且直角为 ，
，
点 在线段 上（含端点），
则当 最大时，即点 为点 时，此时 ，此时 最小，为 ，当 最小时，即 ，此时 ，
此时 最大，最大为 ，
则 的取值范围 ，故D正确．
故选：BD．
【典例1-2】已知长方体 ， ， ，M是 的中点，点P满足
，其中 ，μ∈[0,1]，且 平面 ，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是
.
【答案】
【解析】如图所示，E，F，G，H，N分别为 ， ， ，DA，AB的中点，则 ，
，
由 面 ， 面 ，则 面 ，
同理可证 面 ， ， 面 ，
所以面 面 ，
所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部，又 ，
所以点 在侧面 ，故 的轨迹为线段 ，
因为 ， ，所以 .
故答案为：
【变式1-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）在直四棱柱 中，所有棱长均为2，
， 为 的中点，点 在四边形 内（包括边界）运动，下列结论中正确的是 （填序号）①当点 在线段 上运动时，四面体 的体积为定值
②若 面 ，则 的最小值为
③若 的外心为M，则 为定值2
④若 ，则点 的轨迹长度为
【答案】①④
【解析】对于①，因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以直线 上各点到平面 的距离相等，又 的面积为定值，①正确；
对于②，取 的中点分别为 ，连接 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ， ，则 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
， 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 面 ，所以 平面 ，
当 时，AQ有最小值，则易求出
，
则 ，即 ，所以 重合，
所以AQ的最小值为 ，②错误；对于③，若 的外心为M，过 作 于点 ，则 ，
又 ，则 ，③错误；
对于④，在平面A B C D 内过 作 于点 ，
1 1 1 1
因为 平面A B C D ， 平面A B C D ，所以 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ， ，
在 上取点 ，使得 ，
则 ， ，
所以，若 ，则 在以 为圆心，2为半径的圆弧 上运动，
又因为 所以 ，则圆弧 等于 ，④正确.
故答案为：①④题型二：由动点保持垂直求轨迹
【典例2-1】（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在四面体 中， 和 均是边长为6的等边
三角形， ，则四面体 外接球的表面积为 ；点E是线段AD的中点，点F在四面体
的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为 .
【答案】
【解析】
取 中点 ，连接 ，则 ， 平面 ，
又 和 均是边长为6的等边三角形， ，
∴ 平面 ， ，
所以 ，
∴ ，
设四面体 外接球的球心为 的中心分别为 ，
易知 平面 平面 ，且 四点共面，
由题可得 ， ，
在 中，得 ，又 ，
则四面体 外接球半径 ，
所以四面体 外接球的表面积为 ；
作 于 ，设点 轨迹所在平面为 ，
则平面 经过点 且 ，
易知 到平面 的距离 ，故平面 截外接球所得截面圆的半径为 ，
所以截面圆的周长为 ，即点 轨迹的周长为 .
故答案为： ； .
【典例2-2】（2024·山西·二模）已知正三棱锥 的底面边长为6，体积为 ，动点 在棱锥侧
面 上运动，并且总保持 ，则动点 的轨迹的长度为 .
【答案】 /
【解析】
如图，取 的中心为 ，连接 ，作 于 ，连接 ，延长 交 于点 ，
注意到底面三角形 是等边三角形，所以 ，
由正三棱锥的性质可得 为高，
因为底面边长为6，体积为 ，
所以 ，所以 ，
注意到底面三角形 是等边三角形，所以 为三角形 外接圆的半径，
所以由正弦定理有 ，所以 ，
所以 .
因为 面 ， 面 ，
所以 ，
又因为 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，
因为 面 ，
所以 ，
因为 ，且 ， 面 ， 面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为动点 在棱锥侧面 上运动，并且总保持 ，
所以点 的轨迹为线段 .
在等腰三角形 中，由余弦定理有 ，
从而 ，所以 .
故答案为： .
【变式2-1】（多选题）（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知正方体 的棱长为2，棱 的中
点为 ，过点 作正方体的截面 ，且 ，若点 在截面 内运动（包含边界），则（ ）
A．当 最大时， 与 所成的角为
B．三棱锥 的体积为定值
C．若 ，则点 的轨迹长度为
D．若 平面 ，则 的最小值为
【答案】BCD
【解析】记 的中点分别为 ，
连接 ，连接 ，
因为 ，又
所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，
连接 ，记其交点为 ，
根据正方体性质，可构建如下图示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
, ， ， ， ， ， ， ，因为 ， ， ， ，
， ， ，
所以 ， ， ，
， ，
所以 六点共面，
因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，故平面 即为平面 ，
对于A， 与 重合时，|MN|最大，且 ，
所以MN与BC所成的角的平面角为 ，
又 ，
所以 ，故MN与BC所成的角为 ，所以A错误；
对于B，因为所以 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ，
所以点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，
所以 ，
向量 为平面 的一个法向量，又 ，
所以 到面 的距离 ，
又 为等边三角形，则 ，
所以三棱锥 的体积为定值 ，B正确；对于C：若 ，点 在截面 内，
所以点N的轨迹是以 为球心， 半径为 的球体被面 所截的圆（或其一部分），
因为 ， ，所以 ，
所以 平面 ，所以截面圆的圆心为 ，
因为 是面 的法向量，而 ，
所以 到面 的距离为 ，
故轨迹圆的半径 ，又 ，
故点N的轨迹长度为 ，C正确.
对于D， 平面 ， 平面 ，
又平面 与平面 的交线为 ，
所以点 的轨迹为线段 ，
翻折 ，使得其与矩形 共面，如图，
所以当 三点共线时， 取最小值，最小值为 ，
由已知 ， ， ，
过 作 ，垂足为 ，则 ，
所以
所以 ，
所以 的最小值为 ，D正确；
故选：BCD
【变式2-2】（多选题）（2024·湖南怀化·二模）在三棱锥 中， 平面
，点 是三角形 内的动点（含边界）， ，则下列结论
正确的是（ ）A． 与平面 所成角的大小为
B．三棱锥 的体积最大值是2
C． 点的轨迹长度是
D．异面直线 与 所成角的余弦值范围是
【答案】ACD
【解析】如图，把三棱锥 补形成正四棱柱并建立空间直角坐标系 ，
对于A，由 平面 ，得 是 与平面 所成的角， ，
因此 ，A正确；
对于C，由 ，得 点的轨迹是以线段 为直径的球面与 相交的一段圆弧及点 ，
令 的中点分别为 ，则 平面 ， ，于是 ，
显然 点所在圆弧所对圆心角大小为 ，长度是 ，C正确；
对于B，由选项C知，当 时， 点到平面 距离最大，最大距离为1，
因此三棱锥 的体积 ，B错误；
对于D，设 ，则点 ，而 ，
于是 ，又 ，令异面直线 与 所成的角大小为 ，
则 ，
令 ， 在 上单调递增，因此 ，D正确.
故选：ACD
题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹
【典例3-1】（多选题）（2024·江西九江·三模）如图，正方体 的棱长为1，点 在截面
内，且 ，则（ ）
A．三棱锥 的体积为 B．线段 的长为
C．点 的轨迹长为 D． 的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，在正方体中，易证 平面 ，平面 平面 ，且两平面间的距离为
，
又 的面积 ，所以三棱锥 的体积 故A正
确；
对于B，如图①所示，设 的中心为 ，则 ，
故B错误；
对于C，如图②所示，由 知， ，
点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆的一部分，由三段 劣弧构成，其长度为圆 周长的一半 故C正确；
对于D， ，
为 在 方向上的投影，由图①可知，
当 位于点 或 的位置时， 最小，
此时 取得最大值，如图②所示，建立空间直角坐标系，
则 ， ，故D正确.
故选：ACD.
【典例3-2】（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱 中， ， ，点P在四
边形 内（含边界）运动，当 时，点P的轨迹长度为 ，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】
设 ，因为 ，所以由棱柱的性质可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，点P在四边形 内（含边界）运动，当 时，
，这意味着点 是在以 为圆心 为半径的圆弧上运动，
该圆弧弧长是 圆周周长，由题意 ，解得 ，
所以该三棱柱的表面积为 .
故选：C.
【变式3-1】（2024·四川南充·二模）三棱锥 中， ， ， 为
内部及边界上的动点， ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图所示，
由 ， ，
可知三棱锥 为正三棱锥，
设 中点为 ，
则 ， ， ，
设点 在底面 上的射影为 ，
则 平面 ， ，
又 为 内部及边界上的动点， ，
所以 ，
所以点 的轨迹为以点 为圆心， 为半径的圆在 内部及边界上的部分，
如图所示，，
，
即 ， ，
所以点 的轨迹长度为 ，
故选：B.
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知正方体 的棱长为4，点 平面 ，且
，则点M的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设E为 ， 的交点，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，所以 ．
又 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为点 平面 ，故 平面 ，
所以 ，所以 ，
因为正方体的棱长为4，所以 ，即 ，
在平面 内建立平面直角坐标系，如图，则 ．
设 ，则 ，
，
所以 ．
又 ，故 ，即 ，
整理得 ，即 ，
故点M的轨迹是半径为 的圆，
所以点M的轨迹长度为 ．
故选：C．
题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）如图，正方体 的棱长为 ，点 是平面 内的动
点， ， 分别为 的中点，若直线 与直线 所成的角为 ，且 ，则动点 的轨
迹所围成的图形的面积为 ．【答案】 /
【解析】如图，连接 ，因为M，N分别为 的中点，
所以 ，（三角形中位线定理的应用）
因此直线BP与MN所成的角就是直线BP与 所成的角，
在正方体 中，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，可得 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，同理可得 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，故 ．
设 与平面 的交点为G，连接PG，
所以 ，因此在 中， ，
因为 ，所以 ，
又三棱锥
，
所以 ，则 ，
所以点P的轨迹是以G为圆心， 为半径的圆，其面积 ．故答案为： .
【典例4-2】（多选题）（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，点P是棱长为2的正方体 的
表面上一个动点，则（ ）
A．当P在平面 上运动时，三棱锥 的体积为定值
B．当P在线段AC上运动时， 与 所成角的取值范围是
C．若F是 的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足 时， 长度的最小值是
D．使直线AP与平面ABCD所成的角为 的点P的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】对A：当P在平面 上运动时， 点到平面 的距离为2，
，所以 ，故A正确；
对B：如图： 取 中点 ，连接 ，则 .当P在线段AC上运动时，因为 ，且 ，
所以 为异面直线 与 所成角.
当 与 重合时，异面直线 与 所成角为 .
当 与 不重合时，因为 , ，所以 ，所以 ，
所以异面直线 与 所成角的范围为 ，故B正确；
对C：如图：
根据正方体的结构特点， 平面 ， 为 中点，
因为 ，所以 点轨迹是过点 且平行于平面 的平面，即为平面 ，其中
分别为所在棱上的中点.
故当P在底面ABCD上运动，且满足 时，P点的运动轨迹为线段 .
其中 分别为 ， 中点.易知六边形 为正六边形，
所以当 与 重合时， ，
此时 为点 到直线 的垂线段，取得最小值，为 ，故C错误；
对D：如图：
当直线 与平面ABCD所成的角为 时，
因为 ，所以 不可能在四边形 内（ 除外）；
同理 不可能在四边形 内（ 除外）.在平面 与平面 的运动轨迹为线段 和 ，且 ；
当 在平面A B C D 时，作 平面 ，垂足为 ，连接 ，
1 1 1 1
因为 ，所以 ，
所以 在四边形A B C D 上的轨迹是以 为圆心，以2为半径的圆的 ，
1 1 1 1
所以 点的轨迹长度为： ，故D正确.
故选：ABD
【变式4-1】（多选题）（2024·广东梅州·二模）如图，平面 ， ，M为线段AB的
中点，直线MN与平面 的所成角大小为30°，点P为平面 内的动点，则（ ）
A．以 为球心，半径为2的球面在平面 上的截痕长为
B．若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线
C．若P到直线MN的距离为1，则 的最大值为
D．满足 的点P的轨迹是椭圆
【答案】BC
【解析】对于A，由于MN与平面 的所成角大小为30°，所以点 到平面 的距离 ，
故半径为 的球面在平面 上截面圆的半径为 ,故截痕长为 ，A错误，
对于B,由于平面 ，所以以 为 ，在平面 内过 作 ,平面 内作 ，建立如
图所示的空间直角坐标系，
则 ,
设 ，则 ，
化简得 ，故P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线，B正确，
,所以P到直线MN的距离为 ，化
简可得 ，
所以点 的轨迹是平面 内的椭圆 上一点，如图，当 在短轴的端点时，此时 最大，由于 ,故 ，因此 ,C
正确，
对于D, ， ,
若 ，则 ，
化简得 且 ，故满足 的点P的轨迹是双曲线的一部分，D错误，
故选：BC
【变式4-2】（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 ， ， 分
别是棱 ， ， 的中点， 为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则点 的
轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 、 、 轴，建立空间直角坐标系， ， ， ， ， ，
故 ， ，
，设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，
则 ，
令 得， ，故 ，
因为 ，故 平面 ，
为平面 上的动点，直线 与直线 的夹角为30°，
平面 ，设垂足为 ，以 为圆心， 为半径作圆，
即为点 的轨迹，其中 ，
由对称性可知， ，故半径 ，
故点 的轨迹长度为 .
故选：C.题型五：投影求轨迹
【典例5-1】在等腰直角 中， ， ， 为 中点， 为 中点， 为 边上一
个动点， 沿 翻折使 ，点 在平面 上的投影为点 ，当点 在 上运动时，以下
说法错误的是
A．线段 为定长 B．
C．线段 的长 D．点 的轨迹是圆弧
【答案】B
【解析】如图所示，
对于A中，在 为直角三角形，ON为斜边AC上的中线， 为定长，即A正确；
对于C中，点D在M时，此时点O与M点重合，此时 ， ，此时 ，即正确；
对于D，由A可知，根据圆的定义可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确；
故选B．
【典例5-2】如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为 ，在平行光线的照射下，其投影的边缘
轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E， ．若光线与地面所成角为 ，椭圆的
离心率 ．【答案】 /
【解析】连接 ,
因为 ，
所以 ,
所以 ,
在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即 ，
如图，椭圆的长轴长 是 ，过点 向 作垂线，垂足为 ，
由题意得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ，
所以椭圆的离心率为 ，
故答案为：
【变式5-1】（2024·浙江嘉兴·高三嘉兴一中校考期中）如图，在 中， ， ，
.过 的中点 的动直线 与线段 交于点 .将 沿直线 向上翻折至 ，使得点
在平面 内的投影 落在线段 上.则点 的轨迹长度为 .
【答案】
【解析】因为翻折前后 长度不变，所以点 可以在空间中看做以 为球心，AC为直径的球面上，
又因为 的投影始终在 上，所以点 所在的面 垂直于底面 ，
故点 轨迹为垂直于底面ABC的竖直面 去截球 所得圆面的圆弧，这个圆弧的直径为 时，
的长度（由余弦定理可得 ，所以此时 ），
如图，以底面点B为空间原点建系，根据底面几何关系，
得点 ，点 ，
设点 ，翻折后点 的投影 在 轴上，
所以点 纵坐标为0，即 由 ， ，
根据空间两点之间距离公式可得 轨迹： ，
又因为动点 要符合空间面翻折结论： ，
即 ，其中 ，
又动点N在线段AB上动，设 ，
故 ，
且 ，由 ，可计算得 横坐标范围为 ，
且点 在上方，由 ， 计算可得圆弧所在扇形圆心角为 ，
所以弧长为 .
故答案为： .
【变式5-2】如图，在矩形 中， ， ， 为线段 上一动点，现将 沿 折起得到 ，当二面角 的平面角为 ，点 在平面 上的投影为 ，当 从 运动到 ，
则点 所形成轨迹的长度为 .
【答案】
【解析】根据折叠关系找出与 有关的几何关系，得出点 的轨迹为圆的一部分，再考虑在运动过程中扫
过的弧长即可求解.
在折叠后的图中，作 垂足为 ，连接 ，根据三垂线定理， ，
所以 就是二面角 的平面角为 ， ，
根据折叠关系， 与 全等，对应边上的高位置相同，即 在线段 上，
且 是线段 的中点，取 的中点 ，连接 ，则 ，
所以点 的轨迹为以 为直径的圆的一部分，当 从 运动到 ，点 在圆周上从点 运动到
，这段弧所对圆心角为 ，这段弧长为 .
故答案为：
题型六：翻折与动点求轨迹
【典例6-1】（多选题）（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在五边形 中，四边形 为正方形，
， ，F为AB中点，现将 沿 折起到面 位置，使得 ，则下列
结论正确的是（ ）A．平面 平面
B．若 为 的中点，则 平面
C．折起过程中， 点的轨迹长度为
D．三棱锥 的外接球的体积为
【答案】ABD
【解析】对于A：由题意得 ，所以 ，即 ，
而已知 ，且注意到 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，故A正确；
对于B：因为 为 的中点，所以 ，又 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故B正确；
对于C：
因为四边形 为正方形， ， ，所以 ，
过点 作 交 于点 ，则 ，
所以折起过程中， 点的轨迹是以 为圆心， 为半径，圆心角为 的圆弧，
所以 点的轨迹长为 ，故C错误；
对于D：连接 ，则 ，又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
又四边形 为边长为 的正方形，则三棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，又四边形 外接圆的直径为 ， ，
设四棱锥 的外接球的半径为 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以外接球的体积 ，
即三棱锥 的外接球的体积为 ，故D正确.
故选：ABD
【典例6-2】如图，已知菱形 中， ， ， 为边 的中点，将 沿 翻折
成 （点 位于平面 上方），连接 和 ，F为 的中点，则在翻折过程中，下列说法
正确的是（ ）
①平面 平面 ；② 与 的夹角为定值 ；
③三棱锥 体积最大值为 ；④点 的轨迹的长度为 .
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【解析】对于①：由 ， ， 为边 的中点知 且 ，
易知 ， ，而 ， 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，故①正确；
对于②：若 是 的中点，又 为 的中点，则 且 ，
而 且 ，所以 且 ，即 为平行四边形，故 ，所以 与 的夹角为 或其补角，
若 为 中点，即 ，由①分析易知 ，
故 与 的夹角为 ，故②正确；
对于③：由上分析知：翻折过程中当 平面 时， 最大，
此时 ，故③错误；
对于④：由②分析知： 且 ，故 的轨迹与 到 的轨迹相同，
由①知： 到 的轨迹为以 为圆心， 为半径的半圆，而 为 中点，
故 到 的轨迹为以 中点为圆心， 为半径的半圆，
所以 的轨迹长度为 ，故④正确.
故选：C.
【变式6-1】（多选题）（2024·吉林·模拟预测）如图1，在等腰梯形 中， ，且
为 的中点，沿 将 翻折，使得点 到达 的位置，构成三棱锥
（如图2），则（ ）
A．在翻折过程中， 与 可能垂直
B．在翻折过程中，二面角 无最大值
C．当三棱锥 体积最大时， 与 所成角小于
D．点 在平面 内，且直线 与直线 所成角为 ，若点 的轨迹是椭圆，则三棱锥
的体积的取值范围是
【答案】AC【解析】如图1：
在未折起之前，有 ， ， ， . .
又 ， ，所以 .
沿 将 翻折，则 点轨迹为一个圆，且圆面一直和 垂直，如图：
当 时， ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ， ，所以 平面 .
平面 ，所以 .故A正确.
此时 ， ，所以 即为二面角 的平面角为 ，是二面角 的最
大值，故B错误；
此时三棱锥 的高等于 ，高取得最大值，又底面 不变，所以三棱锥 的体积最大.
如图：
取 中点 ，连接 ， ，则 即为一面直线 与 所成角，
在 中， ， ， ，
所以 ，
所以 ，故C正确；
对D：点 在平面 内，且直线 与直线 所成角为 ，若点 的轨迹是椭圆，根据圆锥曲线的概
念，二面角 应该在 之间取值，且不能为 （此时点 的轨迹是圆），当二面角 或 时， ，
当二面角 时， ，
所以点 在平面 内，且直线 与直线 所成角为 ，且点 的轨迹是椭圆时，
，故D错误.
故选：AC
【变式6-2】（多选题）（2024·山东·模拟预测）如图，长方形 中， 为 的中点，
现将 沿 向上翻折到 的位置，连接 ，在翻折的过程中，以下结论正确的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．四棱锥 体积的最大值为
C． 的中点 的轨迹长度为
D． 与平面 所成的角相等
【答案】ABD
【解析】对于A，当平面 平面 时有 ，下面证明：
在底面 中， ，所以 ，
当平面 平面 时，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故A正确.
对于B，梯形 的面积为 ， ，直角 斜边 上的高为 ．
当平面 平面 时，四棱锥 的体积取得最大值 ，B正确．
对于C，取 的中点 ，连接 ，则 平行且相等，四边形 是平行四边形，
所以点F的轨迹与点G的轨迹形状完全相同．过G作AE的垂线，垂足为H，G的轨迹是以H为圆心， 为半径的半圆弧，
从而PD的中点F的轨迹长度为 ，C错误.
对于D，由四边形ECFG是平行四边形，知 ，
又 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，则 到平面 的距离相等，
故 与平面 所成角的正弦值之比为 ，D正确．
故选：ABD
1．（多选题）如图，已知正方体 的棱长为 ，点 为 的中点，点 为正方形
A B C D
内 包含边界 的动点，则（ ）
1 1 1 1
A．满足 平面 的点 的轨迹为线段
B．若 ，则动点 的轨迹长度为C．直线 与直线 所成角的范围为
D．满足 的点 的轨迹长度为
【答案】AD
【解析】对于A，如图所示，取棱 的中点分别为 ，
连接 ，
根据正方体的特征易知 ，
则 共面，且 平面 ， 平面 ，
又 平面 且相交于 ，故平面 平面 ，
所以满足 平面 的点 的轨迹为线段 ，
故A正确；
对于B，设M到上底面的投影为N，易知 ，而 ，所以 ，
即P在以N为圆心，半径为2的圆上，
且P在正方形A B C D 内，如图所示，即 上，易知 ，所以 的长度为 ，
1 1 1 1
故B错误；
对于C，如图所示建立空间直角坐标系，取 的中点Q，连接 ，作 ，
设 ，则 ， ，
易知直线 与直线 所成角为 ，
显然当P为 的中点时，此时 ，
当 时， ，
易知 ，
若 最小，则需 ，此时 ，故C错误；
对于D，取 ，
可知 ，即 共面，
在底面正方形中易知 ，则 ，
结合正方体的性质可知 底面 ， 底面 ，
所以 ，
而 平面 ，
所以 平面 ，故P在线段 上运动，
易知 ，故D正确.故选：AD
2．（多选题）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方体 棱长为4，点N是底面正方形
ABCD内及边界上的动点，点M是棱 上的动点（包括点 ），已知 ，P为MN中点，则下
列结论正确的是（ ）
A．无论M，N在何位置， 为异面直线 B．若M是棱 中点，则点P的轨迹长度为
C．M，N存在唯一的位置，使 平面 D．AP与平面 所成角的正弦最大值为
【答案】ABD
【解析】由于 相交，而 ，因此 为异面直线，A正确，
当M是棱 中点，建立如图所示的空间直角坐标系，设
,
故 ， 且 ，
由于 ，故 ，化简得 ，
由于 ，所以点P的轨迹长度为半径为 的圆的 ，故长度为 ，B正确，
设 ,则 ， 且 ，
， ,
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ,
，故 ，
由于 ，故 ，化简得 ，
联立 ，故解不唯一，比如取 ，则或取 ，故C错误，
由于 平面 ， 平面 ，故 ,
又四边形 为正方形，所以 ,
平面 ，
所以 平面 ，
故平面 的法向量为
，
设AP与平面 所成角为 ，则 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
，
x∈[0,2]时，令 ，则 ，
故 ，
由于 ，当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ，
由 且 可得
因此 ，
由于 ， ，故 的最大值为 ，故D正确，、
故选：ABD3．（多选题）（2024·湖南·三模）如图，在棱长为2的正方体 中，点P是正方体的上底
面
A B C D
内（不含边界）的动点，点Q是棱 的中点，则以下命题正确的是（ ）
1 1 1 1
A．三棱锥 的体积是定值
B．存在点P，使得 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
D．若 ，则P的轨迹的长度为
【答案】ACD
【解析】对于A，三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，
是定值，A正确；
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，设 ，则
对于B， ，使得 与 所成的角 满足：
，
因为 ，故 ，故 ，
而 ，B错误；
对于C，平面 的法向量 ，所以直线 与平面 所成角 的正弦值为： ，
因为 ，故
故 ，
而 ， ，
故 即 的取值范围为 ，C正确；
对于D， ，由 ，
可得 ，化简可得 ，
在 平面内，令 ，得 ，令 ，得 ，则P的轨迹的长度为
，D正确；
故选：ACD.
4．（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图，已知正三棱台 由一个平面截棱长为6的正四面
体所得， ，M， 分别是AB， 的中点，P是棱台的侧面 上的动点（包含边界），则下
列结论中正确的是（ ）
A．该三棱台的体积为
B．平面 平面
C．直线CP与平面 所成角的正切值的最小值为
D．若 ，则点P的轨迹的长度为
【答案】AB
【解析】选项A：将三棱台 补形为棱长为6的正四面体SABC，如图1，依题意， 是边长为6的正三角形，且 ，
所以 ，即 ，解得 ，
（另因为 ， 是边长为6的正三角形，
所以 也是正三角形，边长 ，所以 ）.
于是正三棱台的高 ，
（另 （棱长为a的正四面体的高为 ）），
所以该三棱台的体积 ，故A选项正确；
选项B：易知 ， ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，故B选项正确；
选项C：连接 ， ， ，在 中， ，
因 此 在 中 ，
，
有 ，所以 ，又 平面 ，
由 平面 得 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，故直线CP与平面 所成的角为 ，
在 中， ，而 ，
所以当 最大时， 最小，由点P在平面 及其边界上运动，
知当点P与点A或点B重合时 最大，此时 ， ，
所以直线CP与平面 所成角的正切值的最小值为 ，故C选项错误；
选项D：当 时，可得 ，
因此点P的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆与等腰梯形 重合部分的两段弧 和 （如图
2），连接 ， ，由 ， ，易得 ，
因此 ，所以 的长度 ，
则点P的轨迹的长度为 ，故选项D错误．
故选：AB
5．（多选题）（2024·全国·二模）已知正方体 外接球的体积为 是空间中的一点，
则下列命题正确的是（ ）
A．若点 在正方体表面上运动，且 ，则点 轨迹的长度为
B．若 是棱 上的点（不包括点 ），则直线 与 是异面直线
C．若点 在线段 上运动，则始终有
D．若点 在线段 上运动，则三棱锥 体积为定值
【答案】BCD
【解析】方体 外接球的体积为 .设外接球的半径为 ，则 ，解得 .
设正方体的棱长为 ，则 .
对于 ，在平面 中，点 的轨迹为以 为圆心，2为半径的 圆弧；同理，在平面ABCD和平面中，点 的轨迹都是以 为圆心，2为半径的 圆弧.故点 的轨迹的长度为 .故 错
误；
对于B，利用异面直线的判定定理可以判断直线 与 是异面直线.故 正确；
对于 ，在正方体 中，有 平面
平面 平面 平面 .故C正确；
对于 ，在正方体 中， 平面
为定值.故D正确.
故选：BCD
6．（多选题）（2024·广东广州·模拟预测）在棱长为1的正方体 中，若点 为四边形
内（包括边界）的动点， 为平面 内的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则平面 截正方体所得截面的面积为
B．若直线 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为双曲线
C．若 ，则点 的轨迹长度为
D．若正方体 以直线 为轴，旋转 后与其自身重合，则 的最小值是120
【答案】ABD
【解析】对于A，若 ，显然平面 截正方体所得截面为 ，所以，截面面积为
，所以A正确；
对于B，因为 ，若 与 所成的角为 ，
则 点在以 为旋转轴的圆锥（无底）的表面上，而 平面 ，
所以则 点的轨迹为双曲线，所以B正确；对于C，若 ，则 在以 、 为焦点的椭球上且 ， ，
所以 ，又因为点 为四边形 内，该椭球被平面 截得的在四边形 内的部分为半圆，
且半径为 ，
所以点 的轨迹长度为 ，所以C错误，
对于D， 平面 ，且 为正三角形，
若正方体绕 旋转 后与其自身重合，只需要 旋转后能和自身重合即可，所以D正确.
故选：ABD.
7．（多选题）（2024·河北石家庄·三模）如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中
点，则下列说法正确的有（ ）
A．若点 为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
B．若点 为线段 上的动点（包含端点），则 的最小值为
C．若点 为 的中点，则平面 与四边形 的交线长为
D．若点 在侧面正方形 内（包含边界）且 ，则点 的轨迹长度为
【答案】BD
【解析】对于A，取 中点 ，连接 ，
则 ，所以 为异面直线 与 所成角，在 中， ，故A错误；
对于B，将侧面 延 旋转至与平面 共面，
如图连接 ，交 与点 ，此时 最小，
且 ，故B正确；
对于C，如图，以点 为原点，以 为 轴建立空间直角坐标系，
则
因为平面 平面A B C D ，
1 1 1 1
所以平面 与平面A B C D 的交线为过点 且平行于 的直线，
1 1 1 1
取 靠近 的四等分点 ，连接 ，并延长交 于点 ，
连接 ，交 于点 ，
由 ，所以 ，
则 ，则 ，所以 为平面 与平面 的交线，
A B C D
1 1 1 1
则 为平面 与平面 的交线，
所以 为平面 与四边形 的交线，
由于 ，所以 ，
又 ，所以 ，
则 ，故C错误；
对于D，因为点 在侧面正方形 内，设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
化简为 ，
则点 的轨迹为直线 在正方形 内的线段，其长度为 ，故D正确.故选：BD
8．（多选题）（2024·云南·模拟预测）如图，直四棱柱 的底面是梯形，
， 是棱 的中点， 在直四棱柱 的表面上运
动，则（ ）
A．若 在棱 上运动，则 的最小值为
B．若 在棱 上运动，则三棱锥 的体积为定值
C．若 ，则 点的轨迹为平行四边形
D．若 ，则 点的轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】由题意可得， .将平面A B C D 和平面 ，
1 1 1 1
沿直线 展开，如图2，在 中， ，，所以 ，
则 的最小值为 ，故A错；
平面 平面 平面 ，
即 到平面 的距离为定值，即三棱锥的高 为定值，
又 为定值，
所以 为定值，故B正确；
如图3，连接 ，
由正四棱柱的性质可得四边形 为正方形，故 ，
而 为中点，故 ，故 ，
而 平面 ， 平面 ，故 ，
又 ， 平面 ，故 平面 ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
而 ， 平面 ，故 平面 ，
而 平面 ，故 .
在梯形 中， ，而 ，
故 ，故 ，而 ，故同理可证 ，而 平面 ，
则 平面 点的轨迹为平行四边形 ，故C正确；
，如图4，以 为球心， 为半径作球，
则 点的轨迹即为该球与直四棱柱各面截球所得的弧，
在线段 上取一点 ，使得 上取一点 ，使得 ，
则 ，平面 截球得 ，长度为 ，平面 截球得 ，
A B C D
1 1 1 1
长度 平面 平面 截球得 ，长度为 ，
同理可得，平面 截球得 ，长度为 ，平面 与球相切与点 ，
则 点的轨迹长度为 ，故D正确.
故选：BCD.
9．（多选题）如图，在棱长为 的正方体 中，已知 ， ， 分别是棱 ， ，
的中点，点 满足 ， ，下列说法正确的是（ ）
A． 平面
B．若 ， ， ， 四点共面，则
C．若 ，点 在侧面 内，且 平面 ，则点 的轨迹长度为D．若 ，由平面 分割该正方体所成的两个空间几何体为 和 ，某球能够被整体放入 或
，则该球的表面积最大值为
【答案】AC
【解析】
对于A，在正方体中平面 平面 ， 平面 ，故 平面 ，故A选项正
确；
对于B，如图 ，延展平面 ，易知平面 过 的中点，所以 ，故B选项错误；
对于C，如图 ，若 ，取 的三等分点 靠近 ， 的中点 ，
则 ， HG⊄平面 ， 平面 ，
故 平面 ，同理 平面 ，
又 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 ，当点 在线段 上时， 平面 ，
则满足 平面 ，所以 即为 的轨迹，
由 ，得 ，故C选项正确；
对于D，如图 所示，
易知，该球是以 为顶点，底面为正六边形 的正六棱锥相切的球， ，则该六棱锥的高为： ，
正六边形 的面积为： ，
的面积为： ，
设内切球的半径为 ，由等体积法可得： ，
则该球的半径为 ，
所以该球的表面积最大为 ，故D选项错误．
故选AC．
10．（多选题）（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，过 中
点 的直线 与线段 交于点 ．将 沿直线 翻折至 ，且点 在平面 内的射影
在线段 上，连接 交 于点 ， 是直线 上异于 的任意一点，则（ ）
A．
B．
C．点 的轨迹的长度为
D．直线 与平面 所成角的余弦值的最小值为
【答案】BCD
【解析】
依题意，将 沿直线 翻折至 ，连接 ,由翻折的性质可知，关于所沿轴对称的两点连线被
该轴垂直平分，
故 ，又 在平面 内的射影 在线段 上，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，， 平面 ， 平面
所以 平面 .
平面 ， 平面 ， 平面 ，
，
，且 即为二面角 的平面角
对于A选项，由题意可知， 为 与平面 所成的线面角，故由线面角最小可知
，故A错误；
对于B选项， 即为二面角 的平面角，故由二面角最大可知 ，故B
正确；
对于C选项， 恒成立，故 的轨迹为以 为直径的圆弧夹在 内的部分，易知其长度
为 ，故C正确；
对于D选项，如下图所示
设 ，
在 中， ， ，
在 中， ， ，
所以 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则
，当且仅当 时取等号，故D正确．
故选：BCD．
11．（多选题）如图甲，在矩形 中， ， ， 为 上一动点（不含端点），且满足将
沿 折起后，点 在平面 上的射影 总在棱 上，如图乙，则下列说法正确的有（ ）
A．翻折后总有
B．当 时，翻折后异面直线 与 所成角的余弦值为
C．当 时，翻折后四棱锥 的体积为
D．在点 运动的过程中，点 运动的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】在图乙中，因为点 在平面 上的射影 在棱 上，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，又 ， ， 平面 ，所以 平面
，又 平面 ，所以 ，故A正确；
如图，
在图乙中作 于 ，连接 ，则 ，所以 与 所成角即为 与 所成角，又由
平面 可得 平面 ，所以 而 ， ，则 ，即 与
所成角余弦值为 ，故B错误；
如上图，在图乙中作 于 ，连接 ，则由 平面 可得 ，又 ，
平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，则 ，在图甲中，如图，作 ，则 ， ， 三点共线，设 ， ，则由 可得 ，即
，又在图乙中有 ，
所以 ，所以 ，而 ，所以 ， ，故D正确；
当 时， ，则 ，所以 ，
则 ，故C正确.
故选：ACD.
12．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥 的四个面是全等的等腰三角形，且 ， ，
则三棱锥 的外接球半径为 ；点 为三棱锥 的外接球球面上一动点， 时，动
点 的轨迹长度为 ．
【答案】 /
【解析】三棱锥 的四个面是全等的等腰三角形，且 ， ，如图所示，
则有 ， ，
把三棱锥 扩成长方体 ，
则有 ，解得 ，则长方体外接球半径 ，
所以三棱锥 的外接球半径 ；
点 为三棱锥 的外接球球面上一动点， 时，
由 ，动点 的轨迹是半径为 的圆，
轨迹长度为 .
故答案为： ； .
13．（2024·山东聊城·一模）已知正四面体 的棱长为2，动点 满足 ，且 ，则
点 的轨迹长为 .
【答案】
【解析】由 ，故点 在过点 且垂直于 的平面上，
由 ，故点 在以 为直径的球面上，
即点 的轨迹为过点 且垂直于 的平面截以 为直径的球面所得的圆，
由正四面体的性质可得 ，取 中点 ，连接 ， ，
则有 ，又 、 平面 ， ，
故 平面 ，取 中点 ， 中点 ，连接 ，
则 ，由 平面 ，故 平面 ，
， ，
为以 为直径的球的球心，则该球半径为 ，
则点 的轨迹所形成的圆的半径为 ，
则其轨迹长为 .故答案为： .
14．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设 ， 是半径为3的球体 表面上两定点，且 ，球体 表
面上动点 满足 ，则点 的轨迹长度为 .
【答案】
【解析】以 所在的平面建立直角坐标系， 为 轴， 的中垂线为 轴：
则 ， ， ，设 ，由 ，可得： ，
整理得到： ，故点 在平面的轨迹是以 为圆心，半径 的圆，
转化到空间中：当 绕 为轴旋转一周时， ， 不变，依然满足 ，
故空间中点 的轨迹为以 为球心，半径为2的球，同时点 在球 商，故点 在两球的交线，为圆，
球心距为 ，
所以 为直角三角形，对应圆的半径为 ，周长为
故答案为：
15．（2024·山东临沂·二模）如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面
体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体
表面上的动点，且总满足 ，若 ，则该多面体的表面积为 ，点N轨迹的长度为 ．【答案】
【解析】根据题意该正四面体的棱长为 ，点 分别是正四面体棱的三等分点．
该正四面体的表面积为 ，
该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，
每个角上小正四面体的侧面面积为 ，
每个角上小正四面体的底面面积为 ，
所以该多面体的表面积为： ．
如图设点 为该多面体的一个顶点， 为 所在棱的顶点，则 ，
在 中， ，
则 ，所以 ， 得 ，即 ；
同理 ， ，
由 ， 平面 ，所以 平面 ．
由点 是该多面体表面上的动点，且总满足 ，
则点 的轨迹是线段 ，
所以点 轨迹的长度为： ．
故答案为： ；
16．如图，在矩形 中， ， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，
与 交于点 ，现将 ， ， ， 分别沿 ， ， ， 把这个矩形折
成一个空间图形，使 与 重合， 与 重合，重合后的点分别记为 ， ， 为 的中点，则多面
体 的体积为 ；若点 是该多面体表面上的动点，满足 时，点 的轨迹长度为 ．【答案】
【解析】连接 ，有 ，而 ， 为 中点，则有 ，
，则 平面 ，同理 平面 ，又平面 与平面 有公共点 ，
于是点 共面，而 ，即有 ， ，
因为 ， ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，即有 ，则 ，同理 ，
即 ，从而 ，即四边形 为平行四边形， ， ，
等腰梯形 中，高 ，其面积 ，
显然 平面 ，所以多面体 的体积 ；
因为 平面 ，同理可得 平面 ，又 ，则 平面 ，
依题意，动点 所在平面与 垂直，则该平面与平面 平行，而此平面过点 ，
令这个平面与几何体棱的交点依次为 ，则 ,
又 为 的中点，则点 为所在棱的中点，即点 的轨迹为五边形 ，
长度为：
.故答案为： ；
17．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）表面积为36π的球M表面上有A，B两点，且 为等边三角形，
空间中的动点P满足 ，当点P在 所在的平面内运动时，点P的轨迹是 ；当P在该球
的球面上运动时，点P的轨迹长度为 .
【答案】 圆
【解析】设球的半径为r，则 ，解得r＝3，
在平面内，动点P的轨迹组成一个圆，以线段AB所在直线为x轴，以靠近点B且长度为1处为坐标原点，
则 ， ，此时动点P的轨迹方程为 ，
设其圆心为 ，则在空间中，z轴和xOy坐标平面垂直，
动点P的轨迹为xOy平面中的圆 绕x轴旋转一周形成球的球面，
如图所示，
所以点P的轨迹是两个球面的交线，这两个球分别是以M和 为球心，
在 中，结合余弦定理得到 .
设交线所围成的圆半径为R.则 ，
解得 .所以交线的长度为 .
故答案为：圆；
18．在正四棱柱 中， ，E 为 中点， 为正四棱柱表面上一点，且
，则点 的轨迹的长为 .
【答案】 /A B C D
【解析】如图，连接 ， ，由题可知， ， 平面 .
1 1 1 1
因 平面A B C D ，则 .
1 1 1 1
又 平面 ， 平 ， ，则 平面 .又 平面 ，则
；
如图，过E做 平行线，交 于F，则F为 中点.连接 ，
过 做 垂线，交 于G.
由题可得， 平面 ，又 ，则 平面 .
因 平面 ，则 .
又 平面 ， 平面 ， ，则 平面 .
因 平面 ，则 ；
因 平面 ， 平面 ， ，则 平面 .
连接 ，则点P轨迹为平面 与四棱柱的交线，即 .
注意到 ，
，则 ，故 .
则点 的轨迹的长为 .
故答案为： .
19．（2024·河南开封·二模）已知矩形 ， ，过 作平面 ，使得平面 ，
点 在 内，且 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为 ， 长度的最小值为 ．
【答案】 双曲线【解析】
如图，以 为原点， 所在直线为 轴，平面 内过 且与 垂直的直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立空间直角坐标系，
则由已知， ， ， ， ，
∵点 在平面 内，∴设 ，则 ， ，
∵直线 与直线 所成的角为 ，
∴ ，
两边同时平方，化简得 点轨迹方程为 ，
∴点 的轨迹为双曲线.
，
∵ 点轨迹方程为 ，∴ ，且 ，
∴ ，
∴当 时， 的最小值为 .
故答案为：双曲线，
20．如图，已知正方体 的棱长为 分别是棱 的中点，点 为底面四边形
内（包括边界）的一动点，若直线 与平面 无公共点，则点 在四边形 内运动所形成
轨迹的长度为 .
【答案】【解析】取 的中点 ，连接 ，如图所示：
分别是棱 的中点，所以 ，
又因为 平面 平面 ，所以 平面 .
因为 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 .
又因为 平面 平面 ，所以 平面 .
因为 ，所以平面 平面 .
因为点 为底面四边形 内（包括边界）的一动点，直线 与平面 无公共点，
所以 的轨迹为线段 ，则 .
故答案为： .
21．（2024·河南·模拟预测）已知正方体 的棱长为 ，动点P在 内，满足
，则点P的轨迹长度为 ．
【答案】 /
【解析】在正方体 中，如图，
平面 ， 平面 ，则 ，而 ，
平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，
则 ，同理 ，而 平面 ，因此 平面 ，令 交平面 于点E，由 ，得 ，
即 ，解得 ，而 ，于是 ，
因为点P在 内，满足 ，则 ，
因此点P的轨迹是以点 为圆心，1为半径的圆在 内的圆弧，
而 为正三角形，则三棱锥 必为正三棱锥， 为正 的中心，
于是正 的内切圆半径 ，
则 ，即 ， ，
所以圆在 内的圆弧为圆周长的 ，即点P的轨迹长度为 ．
故答案为：
