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§7.6 空间向量的概念与运算
课标要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的
正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积
及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的
法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
知识梳理
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 空间中既有大小又有方向的量
相等的向量 方向相同且大小相等的向量
相反向量 大小相等而方向相反的向量
共线向量
两个非零向量的方向相同或者相反
(或平行向量)
空间中的多个向量，表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一
共面向量
个平面内
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一实数λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一
的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，空
间向量的一组基底记为{a，b，c}．此时a，b，c都称为基向量；如果p＝xa＋yb＋zc，则
称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)．
1 2 3 1 2 3
向量表示 坐标表示
数量积 a·b ab ＋ ab ＋ ab
1 1 2 2 3 3共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a ＝ λ b ， a ＝ λ b ， a ＝ λ b
1 1 2 2 3 3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ab ＋ ab ＋ ab ＝ 0
1 1 2 2 3 3
模 |a|
cos〈a，b〉＝
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝
(a≠0，b≠0)
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的
有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称向量v为直线l的一个方向向量．
(2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的
有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
l∥l n∥n⇔n＝λn(λ∈R)
1 2 1 2 1 2
直线l，l 的方向向量分别为n，n
1 2 1 2
l⊥l n⊥n⇔n·n＝0
1 2 1 2 1 2
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为 l∥α n⊥m⇔n·m＝0
m，l⊄α l⊥α n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
α∥β n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α⊥β n⊥m⇔n·m＝0
常用结论
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内
任意一点．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝
1)，O为空间中任意一点．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( √ )
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．( × )
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0．( √ )
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( × )
2．如图，在平行六面体ABCD－ABC D 中，AC与BD的交点为点M，设AB＝a，AD＝
1 1 1 1
b，AA1＝c，则下列向量中与C1M相等的向量是( )A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b－c D．－a－b＋c
答案 C
解析 C1M＝C1C＋CM＝C1C＋(CB＋CD)＝A1A＋DA＋BA＝－a－b－c.
3．如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，棱长为a，M，N分别为AB和AC上的点，
1 1 1 1 1
AM＝AN＝，则MN与平面BBC C的位置关系是( )
1 1 1
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
答案 B
解析 以C B，C D，C C所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
1 1 1 1 1
因为AM＝AN＝，
1
所以M，
N，
所以MN＝，
又C (0,0,0)，D(0，a,0)，所以C1D1＝(0，a,0)，
1 1
所以MN·C1D1＝0，所以MN⊥C1D1.
因为C1D1是平面BBC C的一个法向量，且MN⊄平面BBC C，
1 1 1 1
所以MN∥平面BBC C.
1 1
4．设直线 l ，l 的方向向量分别为 a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若 l⊥l ，则 m＝
1 2 1 2
________.
答案 10
解析 ∵l⊥l，∴a⊥b，
1 2∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
题型一 空间向量的线性运算
例1 (1)(2023·淮安模拟)设x，y是实数，已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在
同一条直线上，那么x＋y等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 由已知可得AB＝(1，－1,3)，
AC＝(x－1，－2，y＋4)．
因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ，
使得AC＝λAB，
所以解得所以x＋y＝5.
(2)(2023·淮安模拟)在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若DA＝a，DB
＝b，DC＝c，则BE等于( )
A.a－b＋c B.a－b＋c
C.a＋b＋c D.a－b＋c
答案 A
解析 根据题意可得DF＝(DA＋DC)＝(a＋c)，DE＝DF＝(a＋c)，
所以BE＝BD＋DE＝－DB＋DE＝－b＋(a＋c)＝a－b＋c.
思维升华 用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
跟踪训练1 (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
答案 B
解析 由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．
(2)如图，在长方体ABCD－ABC D 中，O为AC的中点．
1 1 1 1①化简A1O－AB－AD＝________；
②用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝________.
答案 ①A1A ②AB＋AD＋AA1
解析 ①A1O－AB－AD＝A1O－(AB＋AD)＝A1O－AO＝A1O＋OA＝A1A.
②因为OC＝AC＝(AB＋AD)，
所以OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1
＝AB＋AD＋AA1.
题型二 空间向量基本定理及其应用
例2 (1)下列命题正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0
D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc
答案 C
解析 若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；
因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B
错误；
假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；
假设b＝0，若a, c共线，则存在无数个实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a, c不共线，则
不存在实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D错误．
(2)(多选)下列说法中正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若AB，CD共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四
点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB，PC不共线)，则λ＋μ＝1是A，
B，C三点共线的充要条件
答案 CD
解析 由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；
若AB，CD共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，因为＋＋＝1，
可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB，PC不共线)，
当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA－PC＝λ(PB－PC)，即CA＝λCB，
所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以
D正确．
思维升华 应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
PA＝λPB MP＝xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝OA＋tAB 对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－
对空间任一点O，OP＝xOA＋(1－x)OB
x－y)OB
跟踪训练2 (1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间
中任意一点，若BD＝6PA－4PB＋λPC，则λ等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案 B
解析 BD＝6PA－4PB＋λPC，
即PD－PB＝6PA－4PB＋λPC，
整理得PD＝6PA－3PB＋λPC，
由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.
(2)(2024·金华模拟)已知正方体ABCD－ABC D 的棱长为1，且满足DE＝xDA＋yDC＋(1－x
1 1 1 1
－y)DD1，则|DE|的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为DE＝xDA＋yDC＋(1－x－y)DD1，由空间向量的共面定理可知，点E，A，C，
D 四点共面，即点E在平面ACD 上，所以|DE|的最小值即为点D到平面ACD 的距离d，
1 1 1
由正方体的棱长为1，可得△ACD 是边长为的等边三角形，则 ＝×()2×sin ＝，S
1 △ACD
＝×1×1＝，由等体积法得 ＝ ，所以××d＝××1，解得d＝，所以|
DE|的最小值为.题型三 空间向量数量积及其应用
例3 如图，已知平行六面体ABCD－ABC D 中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA ＝
1 1 1 1 1
2，∠AAB＝∠AAD＝120°.
1 1
(1)求线段AC 的长；
1
(2)求异面直线AC 与AD所成角的余弦值；
1 1
(3)求证：AA⊥BD.
1
(1)解 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，
c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
因为AC1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋c，
所以|AC1|＝|a＋b＋c|＝
＝
＝＝，
所以线段AC 的长为.
1
(2)解 因为AC1＝a＋b＋c，A1D＝b－c，
所以AC1·A1D＝(a＋b＋c)·(b－c)
＝a·b－a·c＋b2－c2
＝0＋1＋1－4＝－2，
|A1D|＝|b－c|＝
＝
＝＝，
设异面直线AC 与AD所成的角为θ，
1 1
则cos θ＝|cos〈AC1，A1D〉|＝
＝＝，
即异面直线AC 与AD所成角的余弦值为.
1 1
(3)证明 由①知AA1＝c，BD＝b－a，
所以AA1·BD＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，
即AA1⊥BD，所以AA⊥BD.
1
思维升华 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接
计算；二是利用坐标运算．
跟踪训练3 (1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，
则PO·PA等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，
∴PO⊥平面ABC，
∴PO⊥AO，∴PO·OA＝0，
|AO|＝·|AB|·sin 60°
＝，
故PO·PA＝PO·(PO＋OA)＝|PO|2＝|AP|2－|AO|2＝4－＝.
(2)已知点P为棱长等于1的正方体ABCD－ABC D 内部一动点，且|PA|＝1，则PC1·PD1
1 1 1 1
的值达到最小时，PC1与PD1夹角的余弦值为________．
答案 0
解析 取线段C D 的中点E，则PC1＝PE＋EC1，PD1＝PE＋ED1＝PE－EC1，
1 1
因为|PA|＝1，所以点 P 在以 A 为球心的正方体内部的球面上，所以PC1·PD1＝(PE＋
EC1)·(PE－EC1)＝PE2－EC\o\al(2＝|PE|2－，
当A，P，E三点共线时，PC1·PD1取最小值，
此时|PE| ＝|AE|－1＝－1＝，此时PC1·PD1＝|PE|2－＝0，
min
所以PC1⊥PD1，所以PC1与PD1的夹角为90°，则夹角的余弦值为0.
题型四 向量法证明平行、垂直
例4 如图所示，在长方体ABCD －ABC D 中，AA＝AD＝1，E为CD的中点．
1 1 1 1 1(1)求证：BE⊥AD；
1 1
(2)在棱AA 上是否存在一点P，使得DP∥平面BAE？若存在，求AP的长；若不存在，说
1 1
明理由．
(1)证明 以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所
示的空间直角坐标系．设AB＝a，
则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D(0,1,1)，E，
1
B(a,0,1)．
1
故AD1＝(0,1,1)，B1E＝.
因为B1E·AD1＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
所以B1E⊥AD1，即BE⊥AD.
1 1
(2)解 存在满足要求的点P.
假设在棱AA 上存在一点P(0,0，z)，
1 0
使得DP∥平面BAE，此时DP＝(0，－1，z)，
1 0
设平面BAE的法向量为n＝(x，y，z)．
1
AB1＝(a,0,1)，AE＝.
则即
取x＝1，则y＝－，z＝－a，
故n＝.
要使DP∥平面BAE，只需n⊥DP，
1
则－az＝0，解得z＝，
0 0
所以存在点P，满足DP∥平面BAE，
1
此时AP＝.
思维升华 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直
条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素)．
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有
关定理．跟踪训练4 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，
BC＝2AB，AC＝AB，PB⊥AC.
(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是
否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
(1)证明 在△ABC中，
因为BC＝2AB，AC＝AB，
所以AC2＋AB2＝BC2，
所以AC⊥AB，
又AC⊥PB，PB∩AB＝B，
且PB，AB⊂平面PAB，
所以AC⊥平面PAB，
又AC⊂平面ABCD，
所以平面PAB⊥平面ABCD.
(2)解 假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.
取AB的中点为H，连接PH，则PH⊥AB，
因为平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以PH⊥平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(－2,2，0)，P(1,0，)，
则AD＝(－2,2，0)，AP＝(1,0，)，
BD＝(－4,2，0)，DP＝(3，－2，)，
设n＝(x，y，z)是平面PAD的法向量，
1 1 1 1
则
取n＝(，1，－1)．
1
设DQ＝λDP，其中0≤λ≤1.则BQ＝BD＋DQ＝BD＋λDP＝(3λ－4，2－2λ，λ)，
连接EF，因为AC∥平面BEQF，AC⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEQF＝EF，
所以AC∥EF.取与EF同向的单位向量j＝(0,1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面BEQF的法向量，
2 2 2 2
则
取n＝(λ，0,4－3λ)．
2
由平面BEQF⊥平面PAD知n⊥n，
1 2
则n·n＝3λ＋3λ－4＝0，
1 2
解得λ＝.
故在侧棱PD上存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD，＝.
课时精练
一、单项选择题
1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，
若l∥α，则x等于( )
A．－6 B．6 C．－4 D．4
答案 D
解析 若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，
即3x－2－10＝0，解得x＝4.
2.如图，在长方体ABCD－ABC D 中，设AD＝1，则BD1·AD等于( )
1 1 1 1
A．1 B．2
C．3 D.
答案 A
解析 由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB，AD∥BC，AD＝BC＝1，
1
BD1＝BA＋BC＋BB1，
所以BD1·AD＝(BA＋BC＋BB1)·AD
＝BA·AD＋BC·AD＋BB1·AD＝0＋BC2＋0＝1.3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在
平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B.
C. D.
答案 B
解析 对于选项A，PA＝(1,0,1)，PA·n ＝5，所以PA与n不垂直，排除A；同理可排除
C，D；对于选项B，有PA＝，所以PA·n＝0，故B正确．
4.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半
平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD的长为( )
A．2 B．3 C．2 D．4
答案 B
解析 ∵CD＝CA＋AB＋BD，
∴CD2＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·AB＋2CA·BD＋2AB·BD，
∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴CA·AB＝0，BD·AB＝0，
CA·BD＝|CA||BD|cos(180°－120°)＝1×2×＝1.
∴CD2＝1＋2＋4＋2×1＝9，
∴|CD|＝3.
5．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
1 1 1 1
A．平面BEF⊥平面BDD
1 1
B．平面BEF⊥平面ABD
1 1
C．平面BEF∥平面AAC
1 1
D．平面BEF∥平面AC D
1 1 1
答案 A
解析 在正方体ABCD－ABC D 中，
1 1 1 1
AC⊥BD且DD ⊥平面ABCD，
1
又EF⊂平面ABCD，
所以EF⊥DD ，
1
因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC，所以EF⊥BD，
又BD∩DD ＝D，BD，DD ⊂平面BDD ，
1 1 1
所以EF⊥平面BDD ，
1又EF⊂平面BEF，
1
所以平面BEF⊥平面BDD ，故A正确；
1 1
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2，
则 D(0,0,0)，B(2,2,2)，E(2,1,0)，F(1,2,0)，B(2,2,0)，A(2,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
1 1
C (0,2,2)，
1
则EF＝(－1,1,0)，EB1＝(0,1,2)，
DB＝(2,2,0)，DA1＝(2,0,2)，
AA1＝(0,0,2)，AC＝(－2,2,0)，
A1C1＝(－2,2,0)．
设平面BEF的法向量为m＝(x，y，z)，
1 1 1 1
则可取m＝(2,2，－1)，
同理可得平面ABD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，
1 1
平面AAC的一个法向量为n＝(1,1,0)，
1 2
平面AC D的一个法向量为n＝(1,1，－1)，
1 1 3
则m·n＝2－2＋1＝1≠0，
1
所以平面BEF与平面ABD不垂直，故B错误；
1 1
因为m与n 不平行，
2
所以平面BEF与平面AAC不平行，故C错误；
1 1
因为m与n 不平行，
3
所以平面BEF与平面AC D不平行，故D错误．
1 1 1
6．已知梯形 CEPD如图(1)所示，其中 PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形
ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几
何体．已知当点F满足AF＝λAB(0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为( )
A. B. C. D.
答案 C解析 由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直
角坐标系，如图所示，
则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，
B(4,0,0)，
设F(t,0,0)，0
