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§8.6 双曲线
课标要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对
称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．
知识梳理
1．双曲线的定义
平面内到两个定点F，F 的距离之差的绝对值等于常数(小于 FF 的正数)的点的轨迹叫作双
1 2 1 2
曲线．两个定点F，F 叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
1 2
注意：(1)若将“小于FF”改为“等于FF”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以 F ，
1 2 1 2 1
F 为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于FF”，其余条件不变，此时动点轨迹
2 1 2
不存在．
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支．
(3)若将“等于常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段FF 的垂直平分线．
1 2
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
焦点 F ( － c ， 0) ， F ( c ， 0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 FF ＝ 2 c
1 2
范围 x ≤ － a 或 x ≥ a ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性
顶点 A ( － a ， 0) ， A ( a ， 0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
1 2 1 2
质
实轴：线段AA，长： 2 a ；虚轴：线段BB，长： 2 b ，实半
1 2 1 2
轴
轴长：a，虚半轴长：b
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝∈ (1 ，＋ ∞ )
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 2 (c>a>0，c>b>0)
常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则(PF) ＝a＋c，
1 2 1 min
(PF) ＝c－a.
2 min3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为－＝t(t≠0)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F(0,4)，F(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ×
1 2
)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
2．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值
范围是( )
A．－15
C．k<－1 D．k≠－1或5
答案 C
解析 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
则解得k<－1.
3．双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是____________．
答案 y＝±x
解析 依题意知，双曲线－＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，
所以双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是y＝±x.
4．设P是双曲线－＝1上一点，F ，F 分别是双曲线的左、右焦点，若PF ＝9，则PF ＝
1 2 1 2
________.
答案 17
解析 根据双曲线的定义得|PF－PF|＝8，
1 2
因为PF＝9，所以PF＝1或17.
1 2
又PF≥c－a＝2，故PF＝17.
2 2
题型一 双曲线的定义
例1 (1)(多选)(2024·邵阳模拟)已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点
O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是( )
A．一个点 B．直线
C．椭圆 D．双曲线
答案 ACD
解析 分以下几种情况讨论：设定圆O的半径为R，①当点A在圆O上，连接OA(图略)，则OA＝OP，所以点O在线段AP的垂直平分线上，由
垂直平分线的性质可知AQ＝PQ.
又因为点Q是线段AP的垂直平分线与OP的公共点，此时点Q与点O重合，
此时，点Q的轨迹为圆心O，故A正确；
②当点A在圆O内，且点A不与圆心O重合，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得QA
＝QP，所以QA＋QO＝QO＋QP＝OP＝R>OA，
此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为R的椭圆，故C正确；
③当点A在圆O外，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得QA＝QP，
所以|QA－QO|＝|QP－QO|＝OP＝R1时，轨迹为双曲线．
①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线．
②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±.
典例 (1)椭圆＋＝1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2,0)的距离与到直线
x＝的距离之比为，则椭圆方程为____________________________________________．
答案 ＋＝1
解析 依题意，右焦点F(2,0)，右准线x＝，
2
由椭圆第二定义知＝，
∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，
∴椭圆方程为＋＝1.(2)已知双曲线－＝1的右焦点为F ，M是双曲线右支上一点，定点A(9,2)，则MA＋MF 的
2 2
最小值为________．
答案
解析 设M到直线x＝＝的距离为d，由双曲线第二定义知，
＝e＝，∴d＝MF ，
2
∴MA＋MF ＝MA＋d，
2
如图，可知(MA＋d) ＝x －＝9－＝.
min A
思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|PF－PF|＝2a，运用平
1 2
方的方法，建立与PF·PF 的联系，利用三角形的面积公式求解．对于选择题或填空题直接
1 2
利用焦点三角形的面积公式计算即可．
跟踪训练1 (1)已知圆C ：(x＋3)2＋y2＝1，C ：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C 和圆C
1 2 1 2
相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1)
D．x2－＝1(x≥1)
答案 C
解析 设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C 和圆C 相外切，
1 2
得MC ＝1＋r，MC ＝3＋r，
1 2
MC －MC ＝2<6，
2 1
所以动圆圆心M的轨迹是以点C (－3,0)和C (3,0)为焦点的双曲线的左支，
1 2
且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，
则b2＝c2－a2＝8，
所以动圆圆心M的轨迹方程为
x2－＝1(x≤－1)．
(2)已知F ，F 为双曲线C：－＝1的左、右焦点，P是C的右支上一点，则的最小值为(
1 2
)
A．16 B．18
C．8＋4 D．9＋
答案 A
解析 因为F，F 为双曲线C：－＝1的左、右焦点，P是C的右支上的一点，
1 2所以PF＝PF＋4，
1 2
所以＝＝
＝PF＋＋8≥2＋8＝16，
2
当且仅当PF＝，即PF＝4时，等号成立．
2 2
因为c＝＝，所以c－a＝－2<4，
所以PF＝4成立，的最小值为16.
2
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1
C.－＝1 D.－x2＝1
答案 C
解析 椭圆C的焦点坐标为(0，±2)，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由双曲线的定义可得
2a＝|－|
＝(＋)－(－)＝2，
∴a＝，
∵c＝2，∴b＝＝，
因此双曲线的方程为－＝1.
(2)(2023·安阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，FF ＝2，
1 2 1 2
P为C上一点，PF 的中点为Q，△PFQ为等边三角形，则双曲线C的方程为( )
1 2
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．3x2－＝1
答案 A
解析 由题可知双曲线的焦距为2c＝2，
即c＝.
因为PF 的中点为Q，△PFQ为等边三角形，
1 2
所以FQ＝FQ＝FP＝PQ，
1 2 2
所以∠PFQ＝60°，∠FFQ＝30°，
2 1 2
故PF⊥FF，
2 1 2
所以PF＝＝，PF＝2PF＝，
2 1 2
所以PF－PF＝－＝＝2a，
1 2
所以＝，所以a＝1，b＝.
所以双曲线C的方程为x2－＝1.思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝
λ(λ≠0)，与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－a2<λ0，b>0)，
则解得
故该双曲线的标准方程是－＝1.
(2)(2023·内江模拟)设F ，F 分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，
1 2
过左焦点F 作直线FP与圆x2＋y2＝a2切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足OE＝(OP
1 1
＋OF1)，|OE|＝，则双曲线的方程为________．
答案 －＝1
解析 依题意作图，如图所示，
由条件OE＝(OP＋OF1)知，E是PF 的中点，并且OE⊥PF，
1 1
∴△OPF 是等腰三角形，OP＝OF＝c，
1 1
又OF＝c，∴△FPF 的外接圆是以O为圆心，OF＝c为半径的圆，
2 1 2 1
∴FP⊥PF，
1 2
由OE＝知a＝，a2＝2，
在Rt△OEF 中，EF＝＝，
1 1PF＝2EF＝2，PF＝2OE＝2，
1 1 2
根据双曲线的定义有PF－PF＝2a，
1 2
∴PF＝4，即2＝4，c2＝10，
1
∴b2＝c2－a2＝8，
∴双曲线的方程为－＝1.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例3 (1)(2023·连云港模拟)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程
是________．
答案 4x2－y2＝1
解析 方法一 由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－
＝1且＝2，联立解得a＝，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；
②若双曲线的焦点在y轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－＝1，且＝2，此时无解．
综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.
方法二 由题可设双曲线方程为
4x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线经过点(1，)，
∴λ＝4×12－()2＝1，
∴双曲线方程为4x2－y2＝1.
(2)(2023·渭南统考)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F(－c，0)，F(c，0)，
1 2
过F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，若△AFF 的面积为bc，则双曲线C的渐
2 1 2
近线方程为________．
答案 y＝±x
解析 由题意知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
如图，由双曲线的对称性，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，
则FA＝＝b，
2
所以OA＝＝＝a，
所以 ＝ab，
因为△AFF 的面积为bc， ＝ ，
1 2
所以bc＝2×ab，即c＝2a，所以a2＋b2＝4a2，
即＝3，故＝，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两
渐近线方程±＝0.
(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离
心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
命题点2 离心率
例4 (1)(2023·郑州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的
离心率e为( )
A．2或 B.
C. D.或2
答案 A
解析 由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，
而两条渐近线的夹角为，
故y＝x的倾斜角为或，
故＝或，
e＝＝或2.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，O为坐标原点，过F 作C
1 2 1
的一条渐近线的垂线，垂足为D，且DF＝2OD，则C的离心率为( )
2
A. B．2 C. D．3
答案 C
解析 如图所示，双曲线C的左焦点F(－c，0)，DF＝b，
1 1
由勾股定理得OD＝a，
在Rt△DOF 中，∠ODF ＝，
1 1
∴cos∠DOF ＝＝，
1
在△DOF 中，OD＝a，DF＝2a，OF＝c，
2 2 2
cos∠DOF ＝cos(π－∠DOF )
2 1
＝－cos∠DOF ＝－，
1由余弦定理的推论得cos∠DOF ＝＝＝－，
2
化简得c2＝5a2，即c＝a，
因此双曲线C的离心率e＝＝.
思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，
b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程
(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
跟踪训练3 (1)(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近
线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则AB等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题知e＝，
则＝＝1＋＝5，
解得＝2，
所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x，
即2x－y＝0，
则圆心(2,3)到渐近线的距离
d＝＝，
所以弦长AB＝2＝2＝.
(2)(2024·海口模拟)设双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，直线l过点(0，b)和双曲线
E的一个焦点，若直线l与圆x2＋y2＝a2相切，则e2＝________.
答案
解析 因为直线l过点(0，b)和双曲线E的右焦点F(c，0)，
设直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0，
由直线l与圆x2＋y2＝a2相切，可得＝a，
整理得b2c2＝a2(b2＋c2)，
又b2＝c2－a2，所以(c2－a2)c2＝a2(2c2－a2)，
即c4－3a2c2＋a4＝0，
所以4－32＋1＝0，即e4－3e2＋1＝0，
解得e2＝或e2＝，
又e>1，所以e2>1，所以e2＝.
课时精练一、单项选择题
1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
答案 D
解析 设双曲线方程为－＝1(m≠0)，
∵2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±3x
C．y＝±x D．y＝±x
答案 A
解析 由题意，该双曲线的离心率e＝＝，则＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，即
y＝±2x.
3．若双曲线－y2＝1的左、右焦点分别为F ，F ，点P为圆x2＋y2＝4与此双曲线的一个公
1 2
共点，则△PFF 的面积为( )
1 2
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 D
解析 由题意得a＝，b＝1，c＝＝2，
所以线段FF 是圆x2＋y2＝4的直径，
1 2
因此PF⊥PF，
1 2
所以
所以PF·PF＝2， ＝PF·PF＝1.
1 2 1 2
4．(2024·安阳模拟)以双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近
线相切于点Q，则C的焦距为( )
A．4 B．2 C．6 D．8
答案 C
解析 由题意设F(c，0)，不妨设双曲线的渐近线方程为y＝x，则＝.
又k ×＝×＝－1，
FQ
联立解得c＝3，即2c＝6.5．(2023·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆
心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为( )
A.－＝1(x>2)
B.－＝1(x>3)
C.＋＝1(02)．
6．(2023·广州大学附属中学模拟)设点F ，F 分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦
1 2
点，过点F 作直线交双曲线C的两条渐近线于点A，B，连接FB，满足F1A＝AB，F1B·F2B
1 2
＝0，则双曲线的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 C
解析 设点B位于第一象限，如图所示，
因为F1A＝AB，则A为线段FB的中点，
1
又因为O为FF 的中点，则OA∥FB，
1 2 2
因为F1B·F2B＝0，则FB⊥FB，
1 2
所以OA⊥BF，所以OB＝OF，
1 1
则∠AOF ＝∠AOB，
1又因为∠AOF ＝∠BOF ，
1 2
所以∠AOF ＋∠AOB＋∠BOF ＝3∠BOF ＝π，
1 2 2
可得∠BOF ＝，
2
易知直线OB的方程为y＝x，则＝tan ＝，
因此该双曲线的离心率为
e＝＝＝＝2.
二、多项选择题
7．(2023·江门模拟)已知曲线C：x2sin α＋y2cos α＝1(0≤α<π)，则下列说法正确的是( )
A．若曲线C表示两条平行线，则α＝0
B．若曲线C表示双曲线，则<α<π
C．若0<α<，则曲线C表示椭圆
D．若0<α<，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆
答案 BD
解析 若曲线C表示两条平行线，则有sin α＝0或cos α＝0，且0≤α<π.
若sin α＝0，则α＝0，此时曲线C的方程为y2＝1，可得y＝－1或y＝1，符合题意，
若cos α＝0，则α＝，
此时曲线C的方程为x2＝1，可得x＝－1或x＝1，符合题意，故A错；
若曲线C表示双曲线，则sin αcos α<0，
由于0≤α<π且sin α≠0，则sin α>0，
可得cos α<0，则<α<π，故B对；
若曲线C表示椭圆，则
解得0<α<且α≠，故C错；
若0<α<，则0>0，
曲线C的方程可化为＋＝1，
此时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故D对．
8．(2023·重庆模拟)已知双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过点F 作x轴的
1 2 2
垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF 为直角三角形，则( )
1
A．b＝2＋2
B．双曲线的离心率为＋1
C．双曲线的焦距为2
D．△ABF 的面积为12＋8
1
答案 BD
解析 如图所示，若△ABF 为直角三角形，由双曲线的对称性可知，
1
AF⊥BF，
1 1
且AF＝BF.
1 1
设AF＝m，则由双曲线的定义得
2
AF＝BF＝AF＋2a＝2＋m，AB＝2m.
1 1 2
所以在Rt△ABF 中，
1
由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2.
解得m＝2＋2，
所以AF＝BF＝4＋2，
1 1
所以△ABF 的面积为AF·BF＝×(4＋2)2＝12＋8，故D正确；
1 1 1
AF·BF＝AB·FF，
1 1 1 2
所以FF＝2＋2，故C不正确；
1 2
由x2－＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋，
所以b2＝(1＋)2－1＝2＋2，故A不正确；
e＝＝1＋，故B正确．
三、填空题
9．(2023·唐山模拟)已知直线l：x－y－2＝0过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且
与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为________．
答案 2
解析 直线x－y－2＝0与x轴交点为(2,0)，斜率为，由题意解得所以双曲线的实轴长为2a
＝2.
10．双曲线的一条渐近线方程为 x＋2y＝0，且焦距为 10，则该双曲线的标准方程为
________________．
答案 －＝1或－＝1
解析 依题意，2c＝10，∴c＝5，
若双曲线的焦点在x轴上，则
解得b2＝5，a2＝20，
双曲线的标准方程为－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，则解得b2＝20，a2＝5，
双曲线的标准方程为－＝1.
综上，该双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
11．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外
轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆
O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD＝2，设AD所在直线为x轴，则双曲线的
标准方程为________．
答案 x2－＝1
解析 设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图，因为AB＝BC＝CD＝2，
易知a＝1，
又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以在双曲线上，
得到－＝1，整理得b2＝，
故所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
12．(2023·上饶模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，点B(0，b)，
1 2
直线FB与双曲线的渐近线在第一象限交于点 A，若FA＝FF ，则双曲线的离心率为
1 2 1 2
________．
答案 ＋1
解析 因为F(－c，0)，F(c，0)，B(0，b)，
1 2
所以直线FB的方程为y＝x＋b，
1
又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
由解得所以A，
又因为FA＝FF，
2 1 2
所以2＋2＝4c2，
整理得2c2－4ac＋a2＝0，
即2e2－4e＋1＝0，
解得e＝＋1或e＝1－(舍去)．四、解答题
13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1有相同的渐近线，且经过点M(，－)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离．
解 (1)在双曲线－＝1中，a′＝2，b′＝，
则渐近线方程为y＝±x＝±x，
∵双曲线C：－＝1与双曲线－＝1有相同的渐近线，∴＝，
∴方程可化为－＝1，
又双曲线C经过点M(，－)，代入方程得
－＝1，解得a＝1，故b＝，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由(1)知双曲线C的方程为x2－＝1，
∵a＝1，b＝，c＝，
∴实轴长2a＝2，离心率为e＝＝，
设双曲线C的一个焦点为(－，0)，一条渐近线方程为y＝x，
∴焦点到渐近线的距离d＝＝.
14．已知点F ，F 分别为双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点，过F 作垂直于x轴的直线，
1 2 2
在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF F＝30°.
1 2
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P，P，求PP1·PP2
1 2
的值．
解 (1)在Rt△MF F 中，
1 2
因为∠MF F＝30°，所以
1 2
tan∠MF F＝＝＝，
1 2
又a＝1，a2＋b2＝c2，联立解得c＝，b＝，
所以双曲线C的方程是x2－＝1.
(2)设P(x，y)是双曲线C上任意一点，故有2x－y＝2，
0 0
两条渐近线方程为l：x－y＝0，l：x＋y＝0，设l：x－y＝0的倾斜角为α，
1 2 1
故tan α＝，
设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ，
所以cos θ＝cos 2α＝＝－，
于是有cos〈PP1，PP2〉＝－cos θ＝.
因为P到双曲线两条渐近线的距离为PP＝，PP＝，
1 2
所以PP1·PP2＝··cos〈PP1，PP2〉＝·＝.15．(2023·咸阳模拟)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 作FF
1 2 2 1 2
的垂线，交双曲线于A，B两点，D是双曲线的右顶点，连接AD，BD并延长，分别交y轴
于点M，N.若点P(－3a，0)在以MN为直径的圆上，则双曲线C的离心率为__________．
答案 2
解析 由－＝1得y2＝b2＝，
即y＝±，
不妨设A，而D(a，0)，
所以直线AD的方程为y－0＝(x－a)，
y＝(x－a)，
令x＝0得y＝，则M，
同理可求得N，
所以以MN为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，
将P(－3a，0)代入上式得
9a2＝2＝＝
＝＝(c＋a)2，
即c2＋2ac－8a2＝0，即(c－2a)(c＋4a)＝0，
则c＝2a，即离心率为＝2.
16．(2023·安庆模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F ，F ，过x轴上方的
1 2
焦点F 的直线与双曲线上支交于M，N两点，以NF 为直径的圆经过点M，若MF ，MN，
1 2 2
NF 成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为________．
2
答案 y＝±x
解析 如图所示，
由双曲线的定义知MF ＝2a＋MF ，NF ＝2a＋NF ，
2 1 2 1
所以MF ＋NF ＝4a＋MF ＋NF ＝4a＋MN.
2 2 1 1因为MF ，MN，NF 成等差数列，
2 2
所以MF ＋NF ＝2MN，即4a＋MN＝2MN，MN＝4a.
2 2
令MF ＝x，在△MNF 中，MF ⊥MN，
1 2 2
所以MF＋MN2＝NF，
即(2a＋x)2＋(4a)2＝(6a－x)2，
解得x＝a，即MF ＝a，MF ＝3a，
1 2
又在Rt△FMF 中，a2＋(3a)2＝(2c)2,2c2＝5a2，
1 2
又c2＝a2＋b2，所以2b2＝3a2，即＝，
故该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
