文档内容
拔高点突破 02 立体几何中的动态、轨迹问题
目录
01 方法技巧与总结.............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结.............................................................................................................................2
题型一：由动点保持平行求轨迹........................................................................................................2
题型二：由动点保持垂直求轨迹........................................................................................................3
题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹....................................................................................4
题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹....................................................................................5
题型五：投影求轨迹............................................................................................................................6
题型六：翻折与动点求轨迹................................................................................................................7
03 过关测试...........................................................................................................................................9“动态”问题是高考立体几何中最具创新意识的题型，它融入了“动态”的点、线、面等元素，为传
统的静态立体几何题增添了新的活力，使得题型更加新颖。同时，由于“动态”元素的引入，立体几何题
变得更加多元化，它能够在立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问
题之间建立联系，实现这些知识点之间的灵活转化。
立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结：
1、定义法
2、交轨法
3、几何法
4、坐标法
5、向量法
题型一：由动点保持平行求轨迹
【典例1-1】（多选题）（2024·辽宁大连·二模）在棱长为2的正方体 中，M为 中点，
N为四边形 内一点（含边界），若 平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥 的体积为
C．点N的轨迹长度为 D． 的取值范围为
【典例1-2】已知长方体 ， ， ，M是 的中点，点P满足
，其中 ，μ∈[0,1]，且 平面 ，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是
.
【变式1-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）在直四棱柱 中，所有棱长均为2，
， 为 的中点，点 在四边形 内（包括边界）运动，下列结论中正确的是 （填序号）①当点 在线段 上运动时，四面体 的体积为定值
②若 面 ，则 的最小值为
③若 的外心为M，则 为定值2
④若 ，则点 的轨迹长度为
题型二：由动点保持垂直求轨迹
【典例2-1】（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在四面体 中， 和 均是边长为6的等边
三角形， ，则四面体 外接球的表面积为 ；点E是线段AD的中点，点F在四面体
的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为 .
【典例2-2】（2024·山西·二模）已知正三棱锥 的底面边长为6，体积为 ，动点 在棱锥侧
面 上运动，并且总保持 ，则动点 的轨迹的长度为 .
【变式2-1】（多选题）（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知正方体 的棱长为2，棱 的中
点为 ，过点 作正方体的截面 ，且 ，若点 在截面 内运动（包含边界），则（ ）
A．当 最大时， 与 所成的角为
B．三棱锥 的体积为定值
C．若 ，则点 的轨迹长度为
D．若 平面 ，则 的最小值为
【变式2-2】（多选题）（2024·湖南怀化·二模）在三棱锥 中， 平面，点 是三角形 内的动点（含边界）， ，则下列结论
正确的是（ ）
A． 与平面 所成角的大小为
B．三棱锥 的体积最大值是2
C． 点的轨迹长度是
D．异面直线 与 所成角的余弦值范围是
题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹
【典例3-1】（多选题）（2024·江西九江·三模）如图，正方体 的棱长为1，点 在截面
内，且 ，则（ ）
A．三棱锥 的体积为 B．线段 的长为
C．点 的轨迹长为 D． 的最大值为
【典例3-2】（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱 中， ， ，点P在四
边形 内（含边界）运动，当 时，点P的轨迹长度为 ，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式3-1】（2024·四川南充·二模）三棱锥 中， ， ， 为
内部及边界上的动点， ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知正方体 的棱长为4，点 平面 ，且，则点M的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）如图，正方体 的棱长为 ，点 是平面 内的动
点， ， 分别为 的中点，若直线 与直线 所成的角为 ，且 ，则动点 的轨
迹所围成的图形的面积为 ．
【典例4-2】（多选题）（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，点P是棱长为2的正方体 的
表面上一个动点，则（ ）
A．当P在平面 上运动时，三棱锥 的体积为定值
B．当P在线段AC上运动时， 与 所成角的取值范围是
C．若F是 的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足 时， 长度的最小值是
D．使直线AP与平面ABCD所成的角为 的点P的轨迹长度为
【变式4-1】（多选题）（2024·广东梅州·二模）如图，平面 ， ，M为线段AB的
中点，直线MN与平面 的所成角大小为30°，点P为平面 内的动点，则（ ）A．以 为球心，半径为2的球面在平面 上的截痕长为
B．若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线
C．若P到直线MN的距离为1，则 的最大值为
D．满足 的点P的轨迹是椭圆
【变式4-2】（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 ， ， 分
别是棱 ， ， 的中点， 为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则点 的
轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
题型五：投影求轨迹
【典例5-1】在等腰直角 中， ， ， 为 中点， 为 中点， 为 边上一
个动点， 沿 翻折使 ，点 在平面 上的投影为点 ，当点 在 上运动时，以下
说法错误的是
A．线段 为定长 B．
C．线段 的长 D．点 的轨迹是圆弧
【典例5-2】如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为 ，在平行光线的照射下，其投影的边缘
轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E， ．若光线与地面所成角为 ，椭圆的离心率 ．
【变式5-1】（2024·浙江嘉兴·高三嘉兴一中校考期中）如图，在 中， ， ，
.过 的中点 的动直线 与线段 交于点 .将 沿直线 向上翻折至 ，使得点
在平面 内的投影 落在线段 上.则点 的轨迹长度为 .
【变式5-2】如图，在矩形 中， ， ， 为线段 上一动点，现将 沿 折起
得到 ，当二面角 的平面角为 ，点 在平面 上的投影为 ，当 从 运动到 ，
则点 所形成轨迹的长度为 .
题型六：翻折与动点求轨迹
【典例6-1】（多选题）（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在五边形 中，四边形 为正方形，
， ，F为AB中点，现将 沿 折起到面 位置，使得 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．平面 平面B．若 为 的中点，则 平面
C．折起过程中， 点的轨迹长度为
D．三棱锥 的外接球的体积为
【典例6-2】如图，已知菱形 中， ， ， 为边 的中点，将 沿 翻折
成 （点 位于平面 上方），连接 和 ，F为 的中点，则在翻折过程中，下列说法
正确的是（ ）
①平面 平面 ；② 与 的夹角为定值 ；
③三棱锥 体积最大值为 ；④点 的轨迹的长度为 .
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
【变式6-1】（多选题）（2024·吉林·模拟预测）如图1，在等腰梯形 中， ，且
为 的中点，沿 将 翻折，使得点 到达 的位置，构成三棱锥
（如图2），则（ ）
A．在翻折过程中， 与 可能垂直
B．在翻折过程中，二面角 无最大值
C．当三棱锥 体积最大时， 与 所成角小于
D．点 在平面 内，且直线 与直线 所成角为 ，若点 的轨迹是椭圆，则三棱锥
的体积的取值范围是
【变式6-2】（多选题）（2024·山东·模拟预测）如图，长方形 中， 为 的中点，
现将 沿 向上翻折到 的位置，连接 ，在翻折的过程中，以下结论正确的是（ ）A．存在点 ，使得
B．四棱锥 体积的最大值为
C． 的中点 的轨迹长度为
D． 与平面 所成的角相等
1．（多选题）如图，已知正方体 的棱长为 ，点 为 的中点，点 为正方形
A B C D
内 包含边界 的动点，则（ ）
1 1 1 1
A．满足 平面 的点 的轨迹为线段
B．若 ，则动点 的轨迹长度为
C．直线 与直线 所成角的范围为
D．满足 的点 的轨迹长度为2．（多选题）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方体 棱长为4，点N是底面正方形
ABCD内及边界上的动点，点M是棱 上的动点（包括点 ），已知 ，P为MN中点，则下
列结论正确的是（ ）
A．无论M，N在何位置， 为异面直线 B．若M是棱 中点，则点P的轨迹长度为
C．M，N存在唯一的位置，使 平面 D．AP与平面 所成角的正弦最大值为
3．（多选题）（2024·湖南·三模）如图，在棱长为2的正方体 中，点P是正方体的上底
面
A B C D
内（不含边界）的动点，点Q是棱 的中点，则以下命题正确的是（ ）
1 1 1 1
A．三棱锥 的体积是定值
B．存在点P，使得 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
D．若 ，则P的轨迹的长度为
4．（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图，已知正三棱台 由一个平面截棱长为6的正四面
体所得， ，M， 分别是AB， 的中点，P是棱台的侧面 上的动点（包含边界），则下
列结论中正确的是（ ）
A．该三棱台的体积为
B．平面 平面
C．直线CP与平面 所成角的正切值的最小值为D．若 ，则点P的轨迹的长度为
5．（多选题）（2024·全国·二模）已知正方体 外接球的体积为 是空间中的一点，
则下列命题正确的是（ ）
A．若点 在正方体表面上运动，且 ，则点 轨迹的长度为
B．若 是棱 上的点（不包括点 ），则直线 与 是异面直线
C．若点 在线段 上运动，则始终有
D．若点 在线段 上运动，则三棱锥 体积为定值
6．（多选题）（2024·广东广州·模拟预测）在棱长为1的正方体 中，若点 为四边形
内（包括边界）的动点， 为平面 内的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则平面 截正方体所得截面的面积为
B．若直线 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为双曲线
C．若 ，则点 的轨迹长度为
D．若正方体 以直线 为轴，旋转 后与其自身重合，则 的最小值是120
7．（多选题）（2024·河北石家庄·三模）如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中
点，则下列说法正确的有（ ）
A．若点 为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
B．若点 为线段 上的动点（包含端点），则 的最小值为
C．若点 为 的中点，则平面 与四边形 的交线长为
D．若点 在侧面正方形 内（包含边界）且 ，则点 的轨迹长度为
8．（多选题）（2024·云南·模拟预测）如图，直四棱柱 的底面是梯形，
， 是棱 的中点， 在直四棱柱 的表面上运
动，则（ ）A．若 在棱 上运动，则 的最小值为
B．若 在棱 上运动，则三棱锥 的体积为定值
C．若 ，则 点的轨迹为平行四边形
D．若 ，则 点的轨迹长度为
9．（多选题）如图，在棱长为 的正方体 中，已知 ， ， 分别是棱 ， ，
的中点，点 满足 ， ，下列说法正确的是（ ）
A． 平面
B．若 ， ， ， 四点共面，则
C．若 ，点 在侧面 内，且 平面 ，则点 的轨迹长度为
D．若 ，由平面 分割该正方体所成的两个空间几何体为 和 ，某球能够被整体放入 或
，则该球的表面积最大值为
10．（多选题）（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，过 中
点 的直线 与线段 交于点 ．将 沿直线 翻折至 ，且点 在平面 内的射影
在线段 上，连接 交 于点 ， 是直线 上异于 的任意一点，则（ ）A．
B．
C．点 的轨迹的长度为
D．直线 与平面 所成角的余弦值的最小值为
11．（多选题）如图甲，在矩形 中， ， ， 为 上一动点（不含端点），且满足将
沿 折起后，点 在平面 上的射影 总在棱 上，如图乙，则下列说法正确的有（ ）
A．翻折后总有
B．当 时，翻折后异面直线 与 所成角的余弦值为
C．当 时，翻折后四棱锥 的体积为
D．在点 运动的过程中，点 运动的轨迹长度为
12．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥 的四个面是全等的等腰三角形，且 ， ，
则三棱锥 的外接球半径为 ；点 为三棱锥 的外接球球面上一动点， 时，动
点 的轨迹长度为 ．
13．（2024·山东聊城·一模）已知正四面体 的棱长为2，动点 满足 ，且 ，则
点 的轨迹长为 .
14．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设 ， 是半径为3的球体 表面上两定点，且 ，球体 表
面上动点 满足 ，则点 的轨迹长度为 .
15．（2024·山东临沂·二模）如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面
体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体
表面上的动点，且总满足 ，若 ，则该多面体的表面积为 ，点N轨迹的长度为 ．16．如图，在矩形 中， ， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，
与 交于点 ，现将 ， ， ， 分别沿 ， ， ， 把这个矩形折
成一个空间图形，使 与 重合， 与 重合，重合后的点分别记为 ， ， 为 的中点，则多面体
的体积为 ；若点 是该多面体表面上的动点，满足 时，点 的轨迹长度为 ．
17．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）表面积为36π的球M表面上有A，B两点，且 为等边三角形，
空间中的动点P满足 ，当点P在 所在的平面内运动时，点P的轨迹是 ；当P在该球
的球面上运动时，点P的轨迹长度为 .
18．在正四棱柱 中， ，E 为 中点， 为正四棱柱表面上一点，且
，则点 的轨迹的长为 .
19．（2024·河南开封·二模）已知矩形 ， ，过 作平面 ，使得平面 ，
点 在 内，且 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为 ， 长度的最小值为 ．
20．如图，已知正方体 的棱长为 分别是棱 的中点，点 为底面四边形
内（包括边界）的一动点，若直线 与平面 无公共点，则点 在四边形 内运动所形成
轨迹的长度为 .21．（2024·河南·模拟预测）已知正方体 的棱长为 ，动点P在 内，满足
，则点P的轨迹长度为 ．
