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§7.8 空间距离及立体几何中的探索性问题
课标要求 1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几
何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．
知识梳理
1．点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP＝
a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝
____________________.
2．点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α
的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直
线l上的投影向量QP的长度，因此PQ＝＝＝__________________________.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.( )
(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度．( )
(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．( )
(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.( )
2．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距
离为( )
A. B. C. D.
3．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小
值．在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝1，BC＝2，AA ＝3，则异面直线AC与BC 之间的
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距离是( )A. B. C. D.
4．设正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，则点D 到平面ABD的距离是________．
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题型一 空间距离
命题点1 点线距离
例1 (2023·连云港模拟)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O
为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA.
(1)证明：OA⊥BC；
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(2)当AO＝1时，求点E到直线BC的距离．
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命题点2 点面距离
例 2 (2024·常州模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA⊥底面
ABCD，PA＝AB＝2，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
(1)证明：平面AEF⊥平面PBC；
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________________________________________________________________________(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．
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命题点3 异面直线的距离
例3 如图，在正四棱柱ABCD－ABC D 中，AB＝BC＝1，AA ＝2.动点P，Q分别在线段
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C D，AC上，则线段PQ长度的最小值是( )
1
A. B. C．1 D.
跟踪训练1 (多选)如图，正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，E为棱DD 的中点，F为棱
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BB 的中点，则( )
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A．点A 到直线BE的距离为
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B．直线FC 到直线AE的距离为2
1
C．点B到平面ABE的距离为
1
D．直线FC 到平面ABE的距离为
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题型二 立体几何中的探索性问题
例4 (2023·常德模拟)如图，三棱柱ABC－ABC 的底面是等边三角形，平面ABBA⊥平面
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ABC，AB⊥AB，AC＝2，∠AAB＝60°，O为AC的中点．
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(1)求证：AC⊥平面ABO；
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(2)试问线段CC 上是否存在点P，使得平面POB与平面AOB夹角的余弦值为，若存在，请
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计算的值；若不存在，请说明理由．
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思维升华 (1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此
列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的
解”．
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．
跟踪训练2 如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P
为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的
值；若不存在，请说明理由．
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