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第二十六章 反比例函数（压轴题专练）
一、单选题
1．（2022春·安徽芜湖·九年级校考自主招生）若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的
图象上②M、N关于原点对称，则称点对 是函数y的一个“共生点对”（点对 与 看
作同一个“共生点对”），已知函数 ，则函数y的“共生点对”有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023秋·广东深圳·九年级深圳外国语学校校考阶段练习）如图， 是平行四边形，对角线 在
轴正半轴上，位于第一象限的点 和第二象限的点 分别在双曲线 和 的一个分支上，分别
过点 做 轴的垂线段，垂足分别为点 和 ，则以下结论：① ；②阴影部分面积是
；③当 时， ；④若 是菱形，则 ．其中正确结论的个数是（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023·浙江湖州·统考中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数 的图象与反比
例函数 的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点 和点 在函数的图象上( 且 )，点 和点 在函数 的图象上．当 与 的积
为负数时，t的取值范围是( )
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
4．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别落在双曲
线 第一和第三象限的两支上，连接 ，线段 恰好经过原点O，以 为腰作等腰三角形
， ，点C落在第四象限中，且 轴，过点C作 交x轴于E点，交双曲线第一
象限一支于D点，若 的面积为 ，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
5．（2023·安徽·校联考二模）如图，A，B两点分别为 与x轴，y轴的切点． ，C为优弧
的中点，反比例函数 的图象经过点C，则k的值为（ ）A． B．8 C．16 D．32
二、填空题
6．（2023秋·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）定义：在平面直角坐标系 中，
函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于 的点，叫做该函数图象的“n阶积点”．例如，点
为一次函数 图象的“ 阶积点”．若y关于x的一次函数 图象的“n阶积
点”恰好有3个，则n的值为 ．
7．（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）定义：平面直角坐标系 中，点 ，点 ，若
， ，其中 为常数，且 ，则称点 是点 的“ 级变换点”． 例如，点 ， 是点
， 的“ 级变换点”．
(1)若函数 的图象上存在点 ， 的“ 级变换点”，则 的值为 ；
(2)若关于 的二次函数 ( ) 的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直
线 上，则 的取值范围是 ．
8．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，已知函数 的图象与 轴交于点 ，与函数
的图象交于 两点，以 为邻边作平行四边形 ．下列结论中：
① ；②若 ，则当 时， ；③若 ，则平行四边形 的面积为3；④若
，则 ．其中正确的有 ．9．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）如图，在第一象限，反比例函数 和
的图象分别与直线 交于点 ， ，过点A，B分别作 轴，
轴，垂足分别为C，D．
（1）① 的值为 ．
②图中阴影部分的面积为 ．
（2）已知反比例函数 的图象与直线 交于点 ，与抛物线 交于
点 ， ，将点M，N之间的抛物线（不含端点）记为图象G，则图象G上的整点
（横、纵坐标都是整数的点）有 个．
10．（2023春·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如图，点 在函数 的图象上，点 为 轴正半
轴上一点， ， 轴于点 ，将 沿 翻折得到 ，点 正好落在
的图象上，已知 ， ， ， ，则 ， ．
11．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点 ， ， …在反比例函数 的图象上，点 ，
， ，… 在y轴上，且 ，直线 与双曲线 交于点 ，， ， …，则 （n为正整数）的坐标是 ．
12．（2022·福建三明·统考模拟预测）反比例函数 （ ， 为常数）和 在第一象限内的图
象如图所示，点 在 的图象上， 轴于点 ，交 的图象于点 ； 轴于点 ，交
的图象于点 ，当点 在 的图象上运动时，以下结论：
；
四边形 的面积为 ；
当 时，点 是 的中点；
若 ，则四边形 为正方形．
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、解答题
13．（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）已知反比例函数 图象过第二象限内的点 ，若
直线 经过点A，并且经过反比例函数 的图象上另一点 ．(1)求反比例函数 的解析式和直线 解析式．
(2)若点C的坐标是 ，求 的面积．
(3)直接写出不等式 的解集：_________．
(4)在第（1）问的基础上，点P在y轴上，点Q在反比例函数 的图象上，且使以A、B、P、Q四点为顶
点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的Q点坐标：_________．
14．（2023秋·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）已知，矩形 在平面直角坐标系中的位置如
图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为 ，反比例函数 的
图象经过 的中点D，且与 交于点E，连接 ， ．
(1)反比例函数 的表达式是______，点E的坐标为______；
(2)点M为y轴正半轴上一点，若 的面积等于 的面积，求点M的坐标；
(3)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数 图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为
顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2022春·福建泉州·八年级校考期末）如图，已知直线 与反比例函数的图象分别交于点A和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)如图1，当点A坐标为 时，
①求直线 的解析式：
②若点P是反比例函数在第一象限直线 上方一点，当 面积为2时，求点P的坐标；
(2)将直线 向上平移2个单位得到直线 ，将双曲线位于 下方部分沿直线 翻折，若翻折后的图
象（图中虚线部分）与直线 有且只有一个公共点，求m的值．
16．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图 ，一次函数 的图像与 轴交于点 ，与反比
例函数 的图像交于点 ，点 是线段 上一点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴的
平行线与该反比例函数的图像交于点 ，与 轴交于点 ，连接 、 ．
(1)一次函数表
达式为___________；反比例函数表达式为___________；
(2)在线段 上是否存在点 ，使点 到 的距离等于它到 轴的距离？若存在，求点 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)将 沿射线 方向平移一定的距离后，得到 ．
①若点 的对应点 恰好落在该反比例函数图像上（如图 ），求出点 、 的坐标；
②如图 ，在平移过程中，射线 与 轴交于点 ，点 是平面内任意一点，若以 、 、 ﹑ 为
顶点的四边形是菱形时，直接写出点 的坐标．
17．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）我们知道，一次函数 的图像可以由正比例函数
的图像向左平移1个单位得到；爱动脑的小明认为：函数 也可以由反比例函数 通过平
移得到，小明通过研究发现，事实确实如此，并指出了平移规律，即只要把 （双曲线）的图像向左
平移1个单位（如图1虚线所示），同时函数 的图像上下都无限逼近直线 ！如图2，已知反
比例数C： 与正比例函数L： 的图像相交于点 和点B．
(1)写出点B的坐标，并求 和 的值；
(2)将函数 的图像C与直线L同时向右平移 个单位长度，得到的图像分别记为 和 ，已知
图像 经过点 ；
则① n的值为 ；②写出平移后的图像 对应的函数关系式为 ；
③ 利用图像，直接写出不等式 的解集为 ；18．（2023春·浙江宁波·八年级统考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系 中，点 ，过函数
（ ，常数 ）图象上一点 作 轴的平行线交直线 ： 于点 ，且
．
(1)求 的值，并写出函数 （ ）的解析式；
(2)过函数 （ ）图象上任意一点 ，作 轴的平行线交直线 于点 ，是否总有 成立？
并说明理由；
(3)如图2，若 是函数 （ ）图象上的动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，分别过点
作 的垂线交 轴于点 ，问是否存在点 ，使得矩形 的周长取得最小值？若存在，请
求出此时点 的坐标及矩形 的周长；若不存在，请说明理由．
19．（2023春·山西晋城·八年级校考期中）综合与实践
问题情境：在平面直角坐标系中，已知直线 轴，直线 分别与反比例函数 的图象交
于点A，与反比例函数 的图象交于点B，连接 ， ．(1)问题解决：如图①，若点A，B的横坐标为3，试判断 的形状，并说明理由．
(2)问题探究：如图②，将直线 向右平移若干个单位后得到直线 ，它与两个函数图象的交点分别为
， ，连接 ， ，则在直线 向右平移到直线 的过程中， 的面积是否发生变化？若变
化，说明理由；若不变，求出 的面积．
(3)问题拓展：如图③，将直线 向右平移若干个单位后与反比例函数 的图象交于点C，与x
轴交于点P，与反比例函数 的图象交于点Q，连接 ， ，当P恰好是 的中点时，请直接写
出 的面积．
20．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线 与双曲线 交于A， 两点，点A的坐
标为 ，点 是双曲线第一象限分支上的一点，连结 并延长交 轴于点 ，且 ．
(1)求 的值，并直接写出点 的坐标；
(2)点 是 轴上的动点，连结 ， ，求 的最小值和点 坐标；
(3) 是坐标轴上的点， 是平面内一点，是否存在点 ， ，使得四边形 是矩形？若存在，请求出
所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）定义：在平面直角坐标系中，直线
与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线 的轴对称图形，与原函
数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线 的“对
称函数"．例如：图1是函数 的图象，则它关于直线 的“对称函数”的图象如图2所示，可以
得出它的“对称函数”的解析式为 ，
(1)写出函数 关于直线 的“对称函数”的解析式为______；
(2)若函数 关于直线 的“对称函数”图象经过 ，则 ______；
(3)已知正方形 的顶点分别为： ， ， ， ，其中
①若函数 关于直线 的“对称函数”的图象与正方形 有3个公共点，则 ______；
②若 ，函数 关于直线 的“对称函数”的图象与正方形 有4个公共点，求n的取值范
围．
22．（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）已知抛物线 的顶点为点P，抛物线与
x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C.
(1)小明说此抛物线一定过定点 ，小明的说法正确吗？说明理由；
(2)如图，若A、B两点在原点的两侧，且 ，四边形 为正方形，其中顶点E、F在x轴上，
M，N位于抛物线上，求此抛物线解析式及点E的坐标；(3)若线段 ，点Q为反比例函数 与抛物线 在第一象限内的交点，设Q的横
坐标为m，当 时，直接写出k的取值范围.
23．（2022·湖南长沙·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交
于点 ，与双曲线 交于点 ，点 是双曲线上的动点，横坐标为 ，作
轴交直线 于点 ，连接 、 ．
(1)求a、b的值；
(2)求 的面积 与 的函数关系式，并求 的最大值；
(3)当四边形 为平行四边形时，连接 ，并将直线 向上平移 个单位后与反比例函数
的图象交于 、 两点，与直线 交于点 ，设 、 、 三点的横坐标分别为 、 、
，是否存在正实数 使得等式 成立，如果存在，求出 的值，如果不存在，请说明理由．
24．（2023秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考开学考试）图形的平移变换、对称变换等是研究几何图形常用方法，小明同学用平移变换和对称变换对直线 和曲线 进行
了探究：
探究一：如图1，当直线l与曲线c有且只有一个交点时，n的值是多少？
探究二：如图2，直线l与曲线c交于A，B两点，当 时，x的取值范围是 ；直线
与曲线c和直线l分别交于E，G两点，则 与 的比值是多少？
探究三：如图3，将曲线c沿直线l翻折得另一曲线 ，直线 与两条曲线分别交于E，F两点，若
，则n的值是多少？
请完成小明提出的以上三个探究，并写出探究过程．
25．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）【发现问题】
小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长
的取值范围如何呢？
【解决问题】
小明尝试从函数图像的角度进行探究：（1）建立函数模型
设一矩形的面积为4，周长为 ，相邻的两边长为 、 ，则 ， ，即 ， ，
那么满足要求的 应该是函数 与 的图像在第___________象限内的公共点坐标．
（2）画出函数图像
①画函数 的图像；
②在同一直角坐标系中直接画出 的图象，则 的图像可以看成是 的图像向上平移
___________个单位长度得到．
（3）研究函数图像
平移直线 ，观察两函数的图像；
①当直线平移到与函数 的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长 的
值为_____________；
②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况?请直接写出公共点的个数及对应周长
的取值范围．
【结论运用】
（4）面积为9的矩形的周长 的取值范围为___________
26．（2023·江苏泰州·校考三模）定义：对于关于x的函数y，我们称函数 ，为函数y的n
分函数（其中n为常数）．例如：一次函数 的3分函数为 ．(1)已知点 在一次函数 的2分函数图象上，则n的值为______．
(2)如图，结合反比例函数 的3分函数，直接写出：当 时， 的取值范围______．
(3)已知 是二次函数 的1分函数图象上的点，当 时，满足 ，求k的最
大值．
(4)若点M、N的坐标分别为 ， ，连接 ．当二次函数 的m分函数图象与线
段 有两个公共点时，直接写出m的取值范围______．
27．（2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，已知线段 ， ， ，现将线段 沿
y轴方向向下平移得到线段 ．直线 过M、N两点，且M、N两点恰好也落在双曲线 的一
条分支上，
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)① 直接写出不等式 的解集；
② 若点P是y轴上一点，且 的面积为8.5，请直接写出点P的坐标；
(3)若点 ， 在双曲线 上，试比较 和 的大小．
28．（2023春·四川资阳·八年级校考阶段练习）如图，反比例函数 的图象经过点A，点A的横坐
标是 ，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线 ．(1)判断点B是否在反比例函数 的图象上，并说明理由；
(2)如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数 的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连
接 ， ， 和 ．求证：四边形 是矩形；
(3)已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，
请直接写出此时点P的坐标．
29．（2023春·江苏常州·八年级校考期中）（1）如图，已知点 、 在双曲线 上， 轴
与 ， 轴于点 ， 与 交于点 ， 是 的中点，点 的横坐标为2． 与 的坐标分别为
、 （用 表示），由此可以得 与 的数量关系是 ．
（2）四边形 的四个顶点分别在反比例函数 与 的图象上，对角线
轴，且 于点 ， 是 的中点，点 的横坐标为6．
①当 ， 时，判断四边形 的形状并说明理由．
②若四边形 为正方形，直接写出此时 ， 之间的数量关系．30．（2023春·
浙江金华·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象
相交于点 和点 ，点 ， 分别是 轴和 轴的正半轴上的动点，且满足 ．
(1)求 ， 的值及反比例函数的解析式；
(2)若 ，求点 的坐标，判断四边形 的形状并说明理由；
(3)若点 是反比例函数 图象上的一个动点，当 是以 为直角边的等腰直角三角形时，
求点 的坐标．
31．（2023春·四川宜宾·八年级统考期末）已知直线 上点 ，过点 作 轴交 轴于点 ，交
双曲线 于点 ，过点 作 轴交 轴于点 ，交双曲线 于点 ，若 是 的中点，且
四边形 的面积为 ．(1)求 的值；
(2)若 ， 是双曲线 第一象限上的任一点，求证： 为常数 .
(3)现在双曲线 上选一处 建一座码头，向 ， ， ， 两地转运货物，经测算，从 到 ，
从 到 修建公路的费用都是每单位长度 万元，则码头 应建在何处，才能使修建两条公路的总费用
最低？ 提示：利用 的结论转化)
32．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比
例函数 的图象交于B，与x轴交于A，与y轴交于C．
(1)若点 ．
①求一次函数和反比例函数的解析式；
②在y轴上取一点P，当 的面积为5时，求点P的坐标；
(2)过点B作 轴于点D，点E为 中点，线段 交y轴于点F，连接 ．若 的面积为
11，求k的值．33．（2023春·江苏泰州·八年级统考阶段练习）如图，一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于点 ，与y轴交于点B．
(1)求a，k的值；
(2)直线 过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D， ，连接 ．
①求C点的纵坐标
②求 的面积；
③点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上．若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直
接写出所有符合条件的点P坐标．
34．（2023·湖南长沙·校考三模）我们定义：对于一个函数，如果自变量 与函数值 ，满足：若
，则 （ 为实数），我们称这个函数在 上是同步函数．比如：函数 在
上是同步函数．理由： ， ， ，得 ， 是同步函数．
(1)若函数 在 上是同步函数，求 的值；
(2)已知反比例函数 在 上是同步函数，求 的值；
(3)若抛物线 在 上是同步函数，且在 上的最小值为 ，设抛物
线与直线 交于 ， 点，与 轴相交于 点．若 的内心为 ，外心为 ，试求 的长．
35．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，
与反比例函数 的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“ 的l镜像”．
(1)当 时；
①点 ________“ 的l镜像”；（填“在”或“不在”）
②“ 的l镜像”与x轴交点坐标是_________；
(2)过y轴上的点 作y轴垂线，与“ 的l镜像”交于点B、C，若 ，求 的长．
36．（2023·广东揭阳·模拟预测）新定义：在平面直角坐标系 中，若几何图形 与 有公共点，则
称几何图形 为 的关联图形，特别地，若 的关联图形 为直线，则称该直线为 的关联直线．
如图， 为 的关联图形，直线 为 的关联直线．(1)已知 是以原点为圆心， 为半径的圆，下列图形：
直线 ； 直线 ； 双曲线 ，是 的关联图形的是______（请直接写出正确
的序号）．
(2)如图 ， 的圆心为 ，半径为 ，直线 ： 与 轴交于点 ，若直线 是 的关联直线，
求点 的横坐标的取值范围．
(3)如图 ，已知点 ， ， ， 经过点 ， 的关联直线 经过点 ，与 的一
个交点为 ； 的关联直线 经过点 ，与 的一个交点为 ；直线 ， 交于点 ，若线段
在直线 上且恰为 的直径，请直接写出点 横坐标 的取值范围．
37．（2023·安徽·模拟预测）小明同学利用寒假 天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为 元/千克，
在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）
销售量m（千克） 销售单价n（元/千克）
当 时， 当 时，
设第x天的利润w元．
(1)请计算第几天该品种草莓的销售单价为 元/千克；
(2)这 天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【注：利润 （售价 成本） 销售量】
(3)在实际销售的前 天中，草莓生产基地为刺激销售,鼓励销售商批发草莓,每多批发1千克就发给
元奖励，通过销售记录发现，前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，
试求a的取值范围．
38．（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）某果农今年试种了一种新品种的水果，5月份开始上市．根据其它相似产品的销售经验，若设该水果上市第t天的销售单价为（元/千克），则与之间满足如下关系：
t 1 2 3 4 5 6 …
P（元/千克） 120 60 40 30 24 20 …
而该水果每天的销售量（千克）与t之间满足的函数关系如下图所示：
(1)猜想销售单价P与t之间满足我们学过的哪种函数关系？并直接写出销售单价P与t之间的函数关系式
（不必写出自变量取值范围）；
(2)求每天的销售量s（千克）与t之间的函数关系式，并求上市第几天销售量最大，最大销售量是多少千克？
(3)当每天的销售收入低于600元时，该水果将失去生产销售的价值．该水果最只能上市销售几天？最低销
售单价是多少元？（销售收入＝销售单价P×销售量S）
(4)当每天的销售量不低于200千克时，这种水果的最低售价是多少元？
39．（2022春·江苏·九年级专题练习）为了探索函数 的图象与性质，我们参照学习函数的
过程与方法，列表：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，
如图1所示：(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(2)已知点 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若 ，则 _______ ；若 ，则 _____ ；（填“＞”，“＝”，“＜”）．
(3)某农户积极响应厕所改造工程，要建造一个图2所示的长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为
1米．已知下底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设
水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．
①请写出y关于x的函数关系式；
②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？
40．（2022·河北邢台·校考三模）如图是某山坡的截面示意图，坡顶 距 轴（水平） ，与 轴交于
点 ，与坡 交于点 ，且 ，坡 可以近似看作双曲线 的一部分，坡 可以近似看作抛
物线 的一部分，且抛物线 与抛物线 的形状相同，两坡的连接点 为抛物线 的顶点，且点
到 轴的距离为 ．
(1)求 的值；
(2)求抛物线 的解析式及点 的坐标；
(3)若小明站在坡顶 的点 处，朝正前方抛出一个小球 （看成点），小球 刚出手时位于点 处，小
球 在运行过程中的横坐标 、纵坐标 与小球出手后的时间 满足的关系式为 ， ，
是小球 出手后水平向前的速度．
①若 ，求 与 之间的函数关系式；
②要使小球最终落在坡 上（包括 ， 两点），直接写出 的取值范围．
