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浙江省 2022 年初中学业水平考试（衢州卷）数学试题卷
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转 ，如果旋转后的图形与另一个
图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是中心对称图形，此项不符合题意；
B、是中心对称图形，此项符合题意；
C、不是中心对称图形，此项不符合题意；
D、不是中心对称图形，此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形，熟记中心对称图形的定义是解题关键．
2. 计算结果等于2的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的性质、负整数指数幂、零指数幂逐项判断即可得．
【详解】解：A、 ，则此项符合题意；
B、 ，则此项不符合题意；
C、 ，则此项不符合题意；
D、 ，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握各运算法则是解题关键．
3. 在平面直角坐标系中，点 位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据第三象限内的点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点 位于第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的
关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象
限（+，-）．
4. 如图是某品牌运动服的S号，M号，L号，XL号的销售情况统计图，则厂家应生产最多的型号为（
）
A. S号 B. M号 C. L号 D. XL号
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得在销量中，该品牌运动服中的众数是M号，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴在销量中，该品牌运动服中的众数是M号，
∴厂家应生产最多的型号为M号．
故选：B
【点睛】本题主要考查了众数的应用，熟练掌握一组数据中，出现次数最多的数是众数解题的关键．
5. 线段 首尾顺次相接组成三角形，若 ，则 的长度可以是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边，即可得出c的取值范围．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即： ，
∴c的长度可能为3．
故选：A
【点睛】本题考查三角形的三边和关系，属于基础题，熟练掌握三角形三边关系，得出第三边的取值范围
是解题的关键．
6. 某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设
1节5号电池的质量为 克，1节7号电池的质量为 克，列方程组，由消元法可得 的值为（ ）
5号电池（节） 7号电池（节） 总质量（克）
第一天 2 2 72
第二天 3 2 96
A. 12 B. 16 C. 24 D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】根据表格建立二元一次方程组，用消元法即可得到答案．
【详解】解：设1节5号电池的质量为 克，1节7号电池的质量为 克，
根据表格得 ,
由 - 得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意建立方程组是解本题的关键．
7. 不等式组 的解集是（ ）
A. B. 无解 C. D.【答案】D
【解析】
【分析】分别解两个不等式得到，然后根据大小小大取中间确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式 ，解得 ，
解不等式 ，解得 ，
不等数组的解集为 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
8. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的
一端 （人眼）望点 ，使视线通过点 ，记人站立的位置为点 ，量出 长，即可算得物高 ．令
BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则 关于 的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据矩形的判定与性质可得 ，从而可得 ，
再根据相似三角形的判定证出 ，然后根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：由题意可知，四边形 是矩形，
，，
，
又 ，
，
，
，
，
，
整理得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一次函数的几何应用，熟练掌握相似
三角形的判定与性质是解题关键．
9. 如图，在 中， ．分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧
相交于点 ，作直线 分别交 ， 于点 ．以 为圆心， 长为半径画弧，交 于
点 ，连结 ．则下列说法错误的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得
，从而可得 ，再根据等腰三角形的性质可得 ，
然后根据三角形的外角性质可得 ，由此即可判断选项B；先假设 可得
，再根据角的和差可得 ，从而可得 ，由此
即可判断选项C；先根据等腰三角形的判定可得 ，再根据相似三角形的判定可得
，然后根据相似三角形的性质可得 ，最后根据等量代换即可判断选项D．
【详解】解：由题意可知， 垂直平分 ， ，
，则选项A正确；
，
，
， ，
， ，
， ，
，
，则选项B正确；假设 ，
，
又 ，
，
，与 矛盾，
则假设不成立，选项C错误；
， ，
，
在 和 中， ，
，
，即 ，
，则选项D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形
的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键．
10. 已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为（ ）
A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数 的对称轴为：直线 ，（1）当 时，当 时， 随 的增大而减小，当 ， 随 的增大而增大，
当 时， 取得最小值，
，
；
（2）当 时，当 时， 随 的增大而增大，当 ， 随 的增大而减小，
当 时， 取得最小值，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算： ____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据求一个数的算术平方根的方法进行运算，即可求得．
【详解】解： ，
故答案为：2
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根的方法，熟练掌握和运用求一个数的算术平方根的方法是解决
本题的关键．
12. 不透明袋子里装有仅颜色不同的 4 个白球和2个红球，从袋子中随机摸出一球，“摸出红球”的概率
是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】解：∵袋子中共有6个球，红球2个，∴“摸出红球”的概率 ．
故答案为：
【点睛】本题考查随机事件的概率，属于基础题目，理解随机事件概率的求法是解题的关键．
13. 如图， 切⊙ 于点 ， 的延长线交⊙ 于点 ，连接 ，若 ，则 的度数为
_____．
【答案】25°
【解析】
的
【分析】连接OB根据切线 性质，得∠ABO=90°，可求出∠AOB=50°，再根据OB=OC，即可求出∠C的度
数．
【详解】解：连接OB，
∵AB是⊙ 的切线，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=40°，
∴∠AOB=90-∠A=50°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠CBO= ∠AOB=25°．故答案为：25°
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的形式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
14. 将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次
方程：_____（不必化简）．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程．
【详解】由包装盒容积为360cm3可得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了将实际问题转化为一元二次方程，能够利用长方形的体积列出方程是解题关键．
15. 如图，在 中，边 在 轴上，边 交 轴于点 ．反比例函数 的图象恰好经过
点 ，与边 交于点 ．若 ， ， ，则 =____．
【答案】
【解析】【分析】过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，设点 的坐标为 ，则
，先根据相似三角形的判定可得 ，根据相似三角形的性质可得
，又根据相似三角形的判定证出 ，根据相似三角形的性质可得 ，
，再根据反比例函数的解析式可得 ，从而可得 ，然后根据
即可得出答案．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
， ，
， ，
轴， 轴，
，
，
，即 ，，
又 轴， 轴，
，
，
，即 ，
解得 ， ，
将 代入反比例函数 得： ，
，
，
由 得： ，
，
，
，
解得 ，
即 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数 的几何应用、相似三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造相似三角形
是解题关键．
16. 希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图， 是两侧山脚的入口，从 出发任作线段
，过 作 ，然后依次作垂线段 ，直到接近 点，作 于点
．每条线段可测量，长度如图所示．分别在 ， 上任选点 ，作 ， ，
使得 ，此时点 共线．挖隧道时始终能看见 处的标志即可．
（1） _______km．
（2） =_______．
【答案】 ①. 1.8 ②.
【解析】
【分析】（1）由图可知CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km，代入CD－EF－GJ计算即可得到答案；
（2）连接AB，过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，∠ATB＝90°， 共线,得到∠MBQ
＝∠ABT，由题意可知BT和AT的长度，即可求得∠ABT的正切，进一步即可得到答案．
【详解】解：（1）由图可知，CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km，
∴CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8（km）；故答案为：1.8
（2）连接AB，过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，∠ATB＝90°，
∵点 共线,
∴∠MBQ＝∠ABT，
由题意可知，BT＝DE＋FG－CB－AJ＝4.9＋3.1－3－2.4＝2.6,
AT＝CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8，
∴tan∠ABT＝ ，
∴tan∠MBQ ＝ ＝ ，
∴k＝ ．
故答案为：
【点睛】此题考查了锐角三角函数、对顶角相等知识，数形结合是解题的关键．
三、解答题（本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20~21小题每小题8分，第
22~23小题每小题10分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程）
17. （1）因式分解： ．
（2）化简： ．【答案】 ；
【解析】
【分析】（1）根据平方差公式进行分解即可;
（2）先对第一个分式 的分母进行因式分解，得到 ，再根据分式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1） ；
（2）
= ，
= ，
= ．
【点睛】本题考查因式分解和分式化解，解题的关键是熟练掌握平方差公式和分式的运算法则．
18. 已知：如图， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD，然后即可根据ASA证明△ACB≌△ACD，再根据全等三角形的
性质即得结论．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，∵ ，
∴△ACB≌△ACD，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ACB≌△ACD是解本题的关键．
19. 如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写
出结论．
（1）在图1中画一条线段垂直 ．
（2）在图2中画一条线段平分 ．
【答案】（1）图见解析， （答案不唯一）
（2）图见解析， 平分 （答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据网格特点，利用三角形全等的判定与性质画图即可得；
（2）根据网格特点，利用矩形的判定与性质画图即可得．
【小问1详解】
解：如图1，线段 即为所求，满足 ．
【小问2详解】
解：如图2，线段 即为所求，满足 平分 ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质画图、矩形的判定与性质画图，熟练掌握全等三角形和矩形
的性质是解题关键．
20. 如图， 是以 为直径的半圆上的两点， ，连结 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝
∠ACD，进而得到结论；
（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形 的面积相等，继而得到结论．
【小问1详解】
证明：∵ = ，
∴∠ACD＝∠DBA，
又 ∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图，连结OC，OD．∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°,
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵ ，
∴S =S ，
△DOC △DBC
∴S =S +S =S +S =S ，
阴影 弓形COD △DOC 弓形COD △DBC 扇形COD
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S = ．
扇形COD
∴S ．
阴影=
【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的
关键．
21. 【新知学习】在气象学上，“入夏”由两种平均气温与22℃比较来判断：
衢州市2021年5月5日~5月14日的两种平均气温统计表 （单位：℃）
5 6
2021年5月 7日 8日 9日 10日 11日 12日 13日 14日
日 日
（日平均气温） 20 21 22 21 24 26 25 24 25 27
（五天滑动平均气温） … … 21.6 22.8 23.6 24 24.8 25.4 … …
注：“五天滑动平均气温”指某一天及其前后各两天的日平均气温的平均数，如：
(℃)．
已知2021年的 从5月8日起首次连续五天大于或等于22℃，而 对应着 ~ ，其中第一个大于或等于22℃的是 ，则5月7日即为我市2021年的“入夏日”．
【新知应用】已知我市2022年的“入夏日”为下图中的某一天，请根据信息解决问题：
衢州市2022年5月24日~6月2日的两种平均气温折线统计图
（1）求2022年的 .
（2）写出从哪天开始，图中的 连续五天都大于或等于22℃．并判断今年的“入夏日”．
（3）某媒体报道：“夏天姗姗来迟，衢州2022年的春天比去年长．”你认为这样的说法正确吗？为什么？
（我市2021年和2022年的入春时间分别是2月1日和2月27日）
【答案】（1）
（2）5月27日；5月25日
（3）不正确，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给计算公式计算即可；
（2）根据图中信息以及（1）即可判断；
（3）根据图表即可得到结论．
【小问1详解】
解： （ ）；
【小问2详解】
解：从5月27日开始， 连续五天都大于或等于22℃．
我市2022年的“入夏日”为5月25日．
【小问3详解】
解：不正确.因为今年的入夏时间虽然比去年迟了18天，但是今年的入春时间比去年迟了26天，所以今年的春天应该比去年还短．
【点睛】本题主要考查从图表中获取信息，平均数的运算，正确的理解题意是解题的关键．
22. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
（1）用含 的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车 的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新
能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】（1） 元
（2）①燃油车的每千米行驶费用为 元，新能源车的每千米行驶费用为 元；②每年行驶里程超过
5000千米时，买新能源车的年费用更低
【解析】
【分析】（1）利用电池电量乘以电价，再除以续航里程即可得；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 元建立方程，解方程可得 的值，由此即可得；
②设每年行驶里程为 千米时，买新能源车的年费用更低，根据这两款车的年费用建立不等式，解不等式
即可得．
【小问1详解】
解：新能源车的每千米行驶费用为 元，
答：新能源车 的每千米行驶费用为 元．
【小问2详解】解：①由题意得： ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，
则 ， ，
答：燃油车的每千米行驶费用为 元，新能源车的每千米行驶费用为 元；
②设每年行驶里程为 千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得： ，
解得 ，
答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低．
【点睛】本题考查了列代数式、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题
关键．
23. 如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线 为 轴，铅垂线
为 轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度 从 点滑出，运动轨迹近似抛物线
．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡 上设置点 （与 相距
32m）作为标准点，着陆点在 点或超过 点视为成绩达标．（1）求线段 的函数表达式（写出 的取值范围）．
（2）当 时，着陆点为 ，求 的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度 的大小有关，进一步探究，测算得7组 与 的对应数据，在
平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想 关于 的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？
（参考数据： ， ）
【答案】（1） （8≤x≤40）
（2） 的横坐标为22.5，成绩未达标
（3）①a与 成反比例函数关系， ，验证见解析；②当 m/s时，运动员的成绩恰能达标
【解析】
【分析】（1）根据图像得出CE的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式；
（2）将 代入二次函数解析式，由 解出x的值，比较即可得出结果；
（3）由图像可知，a与 成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K
的坐标（32，4），代入 即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值．
【
小问1详解】
解：由图2可知： ，
设CE： ，
将 代入 ，得： ，解得 ，
∴线段CE的函数表达式为 （8≤x≤40）．
【小问2详解】
当 时， ，由题意得 ，
解得
∴ 的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．
【小问3详解】
①猜想a与 成反比例函数关系．
∴设
将（100，0.250）代入得 解得 ，
∴ ．
将（150，0.167）代入 验证： ，
∴ 能相当精确地反映a与 的关系，即为所求的函数表达式．
②由K在线段 上，得K（32，4），代入得 ，得
由 得 ，
又∵ ，
∴ ，∴当 m/s时，运动员的成绩恰能达标．
【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数与一次函数综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的
性质，并能灵活运用二次函数与一次函数的性质解决问题．
24. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结 交 于点
， 平分 交 于点G．
（1）求证： .
（2）若 ．
①求菱形 的面积.
②求 的值.
（3）若 ，当 的大小发生变化时（ ），在 上找一点 ，使 为定
值，说明理由并求出 的值．
【答案】（1）见解析 （2）①24，②
（3） ＝ ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质可证得∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，由 平分 交 于点G，得到
∠CBG＝∠EBG＝ ∠CBE，进一步即可得到答案；
（2）①连接AC交BD于点O,Rt DOC中，OC＝ ，求得AC＝8，由菱形的面
△积公式可得答案；②由BG AC，得到 ，DH＝HG，DG＝2DH，又由DG＝2GE，得到
EG＝DH＝HG，则 ，再证明 CDH∽ AEH，CH＝ AC＝ ，OH＝OC－CH＝4－ ＝ ，利
△ △
用正切的定义得到答案；
（3）过点G作GT BC，交AE于点T，△BGE∽△AHE，得AB＝BE＝5，则EG＝GH，再证
△DOH∽△DBG，得DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA得 ，GT＝ ，为定值，即可得到
ET的值．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AB CD，
∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，
∵ 平分 交 于点G，
∴∠CBG＝∠EBG＝ ∠CBE，
∴∠CBD＋∠CBG＝ （∠ABC＋∠CBE）＝ ×180°＝90°，
∴∠DBG＝90°；
【小问2详解】
解：①如图1，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，∴OD＝ BD＝3，AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
在Rt△DOC中，OC＝ ，
∴AC＝2OC＝8，
∴ ，
即菱形 的面积是24．
②如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠DBG＝90°
∴BG⊥BD，
∴BG AC，
∴ ，
∴DH＝HG，DG＝2DH，
∵DG＝2GE，
∴EG＝DH＝HG，
∴ ，
∵AB CD，
∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，
∴△CDH∽△AEH，∴ ，
∴CH＝ AC＝ ，
∴OH＝OC－CH＝4－ ＝ ，
∴tan∠BDE＝ ；
【小问3详解】
如图3，过点G作GT BC交AE于点T，此时ET＝ ．
理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BG AC，
∴△BGE∽△AHE，
∴ ，
∵AB＝BE＝5，
∴EG＝GH，
同理可得，△DOH∽△DBG，
∴ ，
∵BO＝DO，
∴DH＝GH＝EG，
∵GT BC，∴GT AD，
∴△EGT∽△EDA，
∴ ，
∵AD＝AB＝5，
∴GT＝ ，为定值，
此时ET＝ AE＝ （AB＋BE）＝ ．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练
掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
