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第二十六章 反比例函数（单元重点综合测试）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2023秋·湖南常德·九年级统考阶段练习）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用一次函数与反比例函数的定义分析得出答案．
【详解】解：A、 ，是一次函数，故此选项错误；
B、 ，y不是 的反比例函数，故此选项错误；
C、 ，是反比例函数，故此选项正确；
D、 ，是正比例函数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的定义，正确掌握定义是解题关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）反比例函数 的图象经过 、 两点，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的特征列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过 、 两点，
∴ ，
解得 ，
故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．（2023·河北保定·统考一模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积 （单位： 变化时，气
体的密度 （单位： 随之变化．已知密度 与体积 是反比例函数关系，它的图象如图所示．则正
确的是（ ）
A．函数解析式为 B．容器内气体的质量是
C．当 时， D．当 时，
【答案】C
【分析】利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再逐一判定即可．
【详解】解：设 ，
将 代入 得 ，
解得 ，
，故A选项错误，不符合题意；
是体积单位，故B选项说法不符合题意；
将 代入 得 ．
当 时， 正确，故C选项符合题意；
将 代入 得 ，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意确定反比例函数的解析式，难度不大．4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）在同一直角坐标系中，函数 与 的大致
图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，即可解答．
【详解】解：①当 时， ，
一次函数 经过第一、三、四象限，反比例函数 经过第二、四象限；
②当 时， ，
一次函数 经过第一、二、四象限，反比例函数 经过第一、三象限；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数 ，当
时，经过一、三象限；当 时，经过二、四象限；反比例函数 ，当 时，经过一、三象
限；当 时，经过二、四象限．
5．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，取一根长 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其
吊起来，在中点O的左侧距离中点 处挂一个重 的物体，在中点O的右
侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位： ）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足 ．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函
数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意 代入数据求得 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，函数为反比例函数，
当 时， ，
即 函数图象经过点 ．
故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．
6．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如图，曲线 是抛物线 的一部分（其中A
是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线 是双曲线 （ ）的一部分，A，C两点的纵
坐标相等，曲线 与 组成“小波浪”，由点C开始不断重复出现“小波浪”，若点 和
是波浪线上的点，则 的最大值为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】A
【分析】由抛物线求出点A、点B，由点B求出双曲线的k，再求出点C，得到3个单位为一个循环，求出
q，再结合顶点的纵坐标得到 的最大值．
【详解】解：∵曲线 是抛物线 的一部分，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ ， ，
把点 代入双曲线 （ ），得： ，
∴双曲线的解析式为： ，
∵A、C两点的纵坐标相等，
∴ ，
∵ ，
∴点P的纵坐标和 时的纵坐标相等，当 时， ，
∴ ，
要使 取到最大值，则q取最大值3，
∴ 的最大值 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象与点坐标、找规律，会计算二次函数的顶点坐标和反比
例函数的比例系数k是解题的关键．
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，
边分别与坐标轴平行，反比例函数 的图像与大正方形的一边交于点 ，且经过小正方形的顶点
B．则图中阴影部分的面积是（ ）．
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式；利用反比例函数系数k的几何意义求出小
正方形的面积，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积，根据图中阴影部分的面积
=大正方形的面积−小正方形的面积即可求出结果．
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，∴设B点的坐标为 ，
∵反比例函数 的图象经过B点，
∴ ，
∴ ，
∴小正方形的面积为 ，
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且 ，
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为 ，
∴大正方形的面积为 ，
∴图中阴影部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性
质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．
8．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）请根据图象法判断方程 的情况是（ ）
A．有三个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根
【答案】C
【分析】分别作出 与 的函数图象，根据两函数图象交点个数求解．
【详解】解：由 得， ,
作出 与 的函数图象如下：∴两函数图象在第一象限有1个交点．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的性质，解题关键是掌握函数与方程的关系，通过数形结合求解．
9．（2023春·河南驻马店·九年级校考阶段练习）某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装
有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 （如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数
换算为人的质量 ，已知 随着 的变化而变化（如图2）， 与踏板上人的质量m的关系见图3．
则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内， 越大， 越小
B．当 时， 的阻值为
C．当 时，踏板上人的质量为
D．若电压表量程为 ，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是
【答案】D【分析】根据所给函数图像即可判断选项A、B，根据函数图象得当 时， 的阻值为 ，根据
与m之间的关系得， ，进行计算即可判断选项C，当 时， 的阻值为 ，此时m
有最大值，即 ，进行计算即可判断选项D，综上，即可得．
【详解】解：根据图2得，在一定范围内， 越大， 越小，当 时， 的阻值为 ，
故选项A、B说法正确，
当 时， 的阻值为 ，根据 与m之间的关系得，
，
，
即当 时，踏板上人的质量为 ，
故选项C说法正确，
当 时， 的阻值为 ，此时m有最大值，即
，
，
即电压表量程为 ，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 ，
故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．
10．（2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，P是双曲线 上的一点，
点P绕着原点O顺时针旋转 的对应点 落在直线 上则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点P作 轴于点Q，过点 作 轴于点 ，由题意可得出 ， ，．易证 ，即得出 ， ，即可求出 ，进
而得出 ，最后将所求式子通分变形为 ，再整体代入求值即可．
【详解】解：如图，过点P作 轴于点Q，过点 作 轴于点 ，
∵ ，且在直线 上，
∴ ， ， ，
∴ ．
由旋转的性质可知 ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．∵P是双曲线 上的一点，
∴ ，即 ．
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定和
性质，旋转的性质，坐标与图形，代数式求值．画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关
键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023秋·湖南岳阳·九年级校考阶段练习）若函数 反比例函数，则 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义，得到 且 ，即可解答．
【详解】解：由题意可得 且 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记反比例函数的解析式为 是解题的关键．
12．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知反比例函数 的图象经过点 ，则 关于 轴的对
称点 坐标为 ．
【答案】
【分析】根据反比例数的性质求得A的坐标，根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解．
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
解得： ，∴ ,
则A关于y轴的对称点 坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，关于y轴对称的点的坐标特征，得出点A的坐标是解题的关键．
13．（2020秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）若反比例函数 的图象不经过第一象限，则 的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】根据图象在坐标平面内的位置：不经过第一象限，则 ，解之即可求得 的取值范围，从
而求解．
【详解】解：反比例函数 的图象不经过第一象限，
则经过二四象限，
∴ ．
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）学校科技兴趣小组为探索如图所示的电路中电压 、电流 、
电阻 三者之间的关系，测得数据如下，根据数据猜想得到三者之间为： ．由此可得，当电阻
时，电流 A．【答案】
【分析】根据题意和表格中的数据，可以得到 的值是一个定值，然后将 代入函数解析式，求出
的值即可．
【详解】解：由题意可得，
，由表格可知：当 时， ，
，
解得 ，
，
当 时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出U的值．
15．（2023秋·湖南常德·九年级统考阶段练习）如图，点B是反比例函数 上一点，矩形
的周长是16，正方形 和正方形 的面积之和为56，则反比例函数的解析式是
．
【答案】【分析】首先设点 的坐标为 ，依题意得 ， ，可得 ， ，根据矩形 的周
长是16可得 ，根据正方形 和正方形 的面积之和为56可得 ，据此可求出
，进而可得反比例函数的解析式．
【详解】解：设点 的坐标为 ，
∵点B是反比例函数 上一点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵矩形 的周长是16，
∴ ，
即： ，
又∵正方形 和正方形 的面积之和为56，
∴ ，
由 ，得： ，
即： ，
将 代入上式，得： ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为： ．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解题意，设出点B的坐标，并用点B的坐标分别
表示出矩形 的周长以及正方形 和正方形 的面积之和是解答此题的关键．
16．（2022春·北京海淀·八年级人大附中校考阶段练习）如图，分别过反比例函数 图象上的点
， ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ， ，连接 ， ， ，再以
， 为一组邻边作平行四边形 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，以此类推，则的纵坐标为 ， 的纵坐标为 （用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点 、 的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等，求
得点 的纵坐标是 、 的纵坐标是 、 的纵坐标是 ，据此可以推知点 的纵坐标是：
．
【详解】解： 点 ， 在反比例函数 的图象上，
， ，
，
又 四边形 ，是平行四边形，
， ，
点 的纵坐标是： ；
同理求得，点 的纵坐标是： ；
点 的纵坐标是： ；
点 的纵坐标是： ．故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象的综合应用．
解答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等，求得点 的纵坐标为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023·吉林松原·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的直角顶点 的坐标
为 ，点 在 轴的正半轴上，将 沿 轴向下平移得到 ，点 的对应点 恰好在反比例函
数 的图象上．
(1)求 的值；
(2)求 平移的距离．
【答案】(1)2
(2)5
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出即可；
（2）根据平移的特点和反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】（1）解：过 点作 于 ，是等腰直角三角形， ，
，
，
（2）解：由平移可得 点横坐标和 点横坐标相同，设 ，
在反比例函数 的图象上，
，
，
，
平移的距离为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数的
解析式，坐标与图形变化-平移，求得点的坐标是解答本题的关键．
18．（2023秋·全国·九年级专题练习）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字 ， ， ， 的小
球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 ，放回盒子
摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为 ．
(1)用列表法或画树状图表示出 的所有可能出现的结果；
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点 落在反比例函数 的图像上的概率．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意用列表法表示出 的所有可能出现的结果；
（2）由小明、小华各取一次小球所确定的点 落在反比例函数 的图像上的有 ， ，
，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】（1）解：列表法表示出 的所有可能出现的结果，如下表：
则可能出现的结果共有16种情况；
（2）由（1）可知，可能出现的结果共有 种，它们出现的可能性相等．
满足点 落在反比例函数 的图像上（记为事件 ）的结果有 种，
即 ， ， ，所以 ．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，反比例函数求值，列表法或画树状图法可以不重复
不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为，概率 所求情况数与总情况数之比．
19．（2023秋·湖南永州·九年级统考阶段练习）如图，一次函数 与反比例函数 图像
交于点 ， ．
(1)求 的值；
(2)结合图像直接写出关于 的不等式 的解集．
【答案】(1)(2) 或
【分析】（1）先把 点坐标代入 中求出 得到反比例函数解析式，再将点B坐标代入求解即可；
（2）结合函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解： 反比例函数 的图象过点 ，
，
反比例函数的表达式为 ；
∵反比例函数 经过 ，代入得
∴ ，
则 ；
（2）由图可知： 即反比例函数图象在一次函数图象上方，
当 或 时， ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是将图象和对应不等式联系起来．
20．（2021秋·陕西延安·九年级校考阶段练习）已知反比例函数 ．
(1)如果这个函数的图象经过点 ，求该反比例函数的解析式；
(2)如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点 代入反比例函数解析式可得 的值；
（2）根据反比例函数的性质得出关于 的不等式，解得即可．
【详解】（1）解：把点 代入 ，得 ，解得： ，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2） 在这个函数图象所在的每个象限内， 的值随 的值增大而减小，
，
解得： ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的
关键．
21．（2023秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随
上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随和
时，图象是线段；当 时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点A对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题
的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】(1)20
(2)能，理由见解析
【分析】（1）设 ，则 ，由题意知， ， ，设反比例函数的解析式为
，将 代入得， ，解得， ，则 ，将代入 得， ，则 ，然后作答即可；
（2）设线段 的解析式为 ，待定系数法求得 ，将 代入
得， ，解得， ，将 代入 得， ，解得， ，由
，作答即可．
【详解】（1）解：设 ，则 ，
由题意知， ， ，
设反比例函数的解析式为 ，
将 代入得， ，解得， ，
∴ ，
将 代入 得， ，
∴ ，
∴点A对应的指标值为20；
（2）解：能，理由如下：
设线段 的解析式为 ，
将 ， 代入得， ，
解得， ，
∴ ，
将 代入 得， ，解得， ，将 代入 得， ，解得， ，
∵ ，
∴他能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
22．（2021秋·江西宜春·九年级校考阶段练习）如图， 、 是反比例函数 在第一象限图象上
的两点，点 的坐标为 ．若 与 均为等腰直角三角形，其中点 、 为直角顶点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求直线 的函数解析式
(3)根据图象直接写出在第一象限内当 满足什么条件时，经过点 的一次函数的函数值大于反比例函数
的函数值．
【答案】(1)反比例函数的解析式为
(2)
(3)当 时，一次函数的函数值大于反比例函数的值．
【分析】（1）先根据点 的坐标为 ，过点 作 轴，垂足为B，结合 为等腰直角三角形，
求得 的坐标，再代入反比例函数求解；
（2）先根据 为等腰直角三角形，设 ，则 ， 并代入反比例函数求得a的值，得到 的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
（3）根据 的横坐标和 的横坐标，判断一次函数的函数值大于反比例函数 的函数值时x的取
值范围．
【详解】（1）解：过点 作 轴，垂足为B，
∵点 的坐标为 ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
将 的坐标代入反比例函数 ，得 ，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）过点 作 轴，垂足为C，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， 设 ，
则 ，将 的坐标代入反比例函数的解析式为 ，得 ，
解得 ， （舍去），
∴ ；
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为 ．
（3）∵ 的坐标为 ， 的坐标为 ， 而 ，
由图可得，当 时，一次函数的函数值大于反比例函数的值．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是根据等腰直角三角形的性
质求得点 和 的坐标．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
23．（2023秋·广东广州·九年级广东实验中学校考阶段练习）如图1，直线 与 轴交于点B，与
轴交于点C，交双曲线y= （ ）于点N， ．
(1)求双曲线的解析式．
(2)已知点H是双曲线上一动点，若 ，求点H的坐标．(3)如图2，平移直线 交双曲线于点P，交直线 于点Q，连接 ，并延长 交于第一
象限内一点G，若 ，求平移后的直线 的解析式．
【答案】(1)
(2)点H的坐标为 或
(3)
【分析】（1）作 轴于H．根据解析式确定 ，由三角形面积可求 ， ，
代入反比例函数解析式求解；
（2）作 轴于M， 轴于E．设 ．由 ，可
得 ，于是 ，根据绝对值性质分情况求解，得H的坐标为 或
；
（3）可求证 ，于是 ，得证 垂直平分 ，于是P、Q关于直线 对称，点Q
在 上，可求 ，待定系数法确定 的解析式为 ．
【详解】（1）（1）如图1中，作 轴于H．
∵直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵反比例函数 经过点 ，
∴ ，
∴ ．
（2）如图2中，作 轴于M， 轴于E．设 ．
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，整理得 ，解得 或 （舍弃），
当 时，整理得 ，解得 或3（舍弃）．综上所述，满足条件的点H的坐标为 或 ；
（3）如图3中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴P、Q关于直线 对称，
∵点P在 上，
∴点Q也在 上，
又∵点Q在直线 上，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴∴ ．
∴直线 的解析式为 ．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数k系数的几何意义，函
数图象平移，垂直平分线的性质；理解反比例函数的性质是解题的关键．
