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第二十六章 反比例函数（单元测试）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义（一般地，形如 （ 是常数， ）的函数叫做 是 的反比例函
数）逐项判断即可得．
【详解】解：A、 是正比例函数，则此项不符题意；
B、 叫做 是 的反比例函数，则此项不符题意；
C、 叫做 是 的反比例函数，则此项符合题意；
D、 是正比例函数，则此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数，熟记定义是解题关键．
2．某市煤气公司要在地下修建一个容积为 立方米的圆柱形煤气储存室，记储存室的底面半径为r米，高
为h米，底面积为S平方米，当h，r在一定范围内变化时，S随h，r的变化而变化，则S与h，S与r满足
的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】B
【分析】根据已知条件求出S随h，S随r变化的函数关系式即可得到解答．
【详解】解：由已知可得：S=πr2，Sh=104，
∴S= ，
∴S与h，S与r满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系，
故选B．
【点睛】本题考查函数类型的判别，根据实际问题列出函数解析式并根据解析式的特征判断函数的类型是解题关键．
3．点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，则 ， ， ， 中最小的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，当k>0时，在每一个向西安内，y随x的增大而减少，可直接进行求解．
【详解】解：由反比例函数解析式 可知： ，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．已知反比例函数 ，则下列描述不正确的是（ ）
A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D． 随 的增大而减小
【答案】D
【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可．
【详解】解：A、反比例函数 ， ，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意；
B、将点 代入 中，等式成立，故此选项正确，不符合题意；
C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意；
D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，熟知反比例函数的图像的性质是解题关键．5．在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分 或 ，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】解：当 时，一次函数 经过第一、二、三象限，反比例函数 位于第一、三象限；
当 时，一次函数 经过第一、二、四象限，反比例函数 位于第二、四象限；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握 ，图像经过第一、三象限，
，图像经过第二、四象限是解题的关键．
6．如图，反比例函数y＝ （x＜0）与一次函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1．
则关于x的不等式 ＜x＋4（x＜0）的解集为（ ）
A．x＜－3 B．－3＜x＜－1 C．－1＜x＜0 D．x＜－3或－1＜x＜0
【答案】B
【分析】关于x的不等式 ＜x＋4（x＜0）成立，则当x＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
再结合函数图象可得答案.
【详解】解：∵反比例函数y＝ （x＜0）与一次函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1
∴关于x的不等式 ＜x＋4（x＜0）成立，
则当x＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
观察图象可知，当﹣3＜x＜﹣1时，满足条件，
∴关于x的不等式 ＜x＋4（x＜0）的解集为：﹣3＜x＜﹣1．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生观察图象的能力，
用了数形结合思想．
7．如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若
△AOC的面积为4，则k＝（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】A
【分析】由C是OB的中点求△AOB的面积，设A（a，b）根据面积公式求ab，最后求k．
【详解】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为4，
∴△AOB的面积为8，
设A（a，b），
∵AB⊥x轴于点B，
∴ab＝16，
∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴k＝16．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握用面积法求k是解题的关键．
8．反比例函数 与一次函数 的图形有一个交点 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】把点B坐标代入一次函数解析式，求出m的值，可得出B点坐标，把 B点的坐标代入反比例函数
解析式即可求出k的值．
【详解】解：由题意，把B（ ，m）代入 ，得m=
∴B（ ， ）
∵点B为反比例函数 与一次函数 的交点，
∴k=x·y
∴k= × = ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟知一次函数反比例函数图像的交点坐标都适合两
个函数解析式是解题关键．
9．已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例函数关系，如图所示，则眼镜度数y与镜
片焦距x之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设 ，由于点 在此函数
解析式上，故可先求得k的值．【详解】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设 ，
由于点 在此函数解析式上，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关
系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
10．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温
（℃）与通电时间 成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通
电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．水温不低于30℃的时间为
【答案】D
【分析】因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为 ＝8min，
故A不合题意，利用点（8，100），可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y＝20，则x＝40，
求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了
10 min，令x＝10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达
到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个时间相减，
即为水温不低于30℃时的时间．【详解】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为： ＝8min，
故A选项不合题意；
由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为 ，
代入点（8，100）可得，k＝800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是 ，
故B选项不合题意；
令y＝20，则 ，
∴x＝40，
即饮水机每经过40 min，要重新从20℃开始加热一次，
从8点到9：30，所用时间为90 min，
而水温加热到100℃，仅需要8 min，
故当时间是9：30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10 min，
令x＝10，则 ℃＞40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为： min，
令y＝30，则 ，
∴ ，
∴水温不低于30℃的时间为 min，
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题
是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共20分）11．若函数 是反比例函数，则m的值是 ．
【答案】0或2/2或0
【分析】根据反比例函数的定义，即可求解．
【详解】解：∵函数 是反比例函数，
∴ 且 ，
解得： 或2．
故答案为：0或2
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握形如 或 的形式的函数
关系，称为反比例函数是解题的关键．
12．已知点 在反比例函数 的图像上，且 ，则 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征得到 ，然后 变形为 ，然后整体代入
即可得出答案．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图像上，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，代数式求值，运用了整体代入的思想方法．根据坐标特
征求得 以及根据完全平方式把 进行变形是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点在双曲线y＝ 和y＝ 上，对角线AC，BD均过点
O，AD∥y轴，若S ABCD＝12，则k＝ ．
四边形【答案】-4
【分析】通过平行四边形的性质得到△AOD的面积为3，再根据反比例函数系数k的几何意义得到 ．
【详解】解：由双曲线的对称性得OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴ ，
∵AD∥y轴，
∴ ，
∴ ，
解得k＝-4或k＝4（舍），
故答案为：-4．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是根据题干得到△AOD的面积．
14．平面直角坐标系 中，已知点 是函数 图象上的三点.若
，则k的值为 ．
【答案】 /0.75
【分析】由点A、B、C的坐标可知 ，m＝n，点B、C关于原点对称，求出直线BC的解析式，不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，根据 列式求出 ，进而可得k的值．
【详解】解：∵点 是函数 图象上的三点，
∴ ， ，
∴m＝n，
∴ ， ，
∴点B、C关于原点对称，
∴设直线BC的解析式为 ，
代入 得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，
把x＝m代入 得： ，
∴D（m， ），
∴AD＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而当m＜0时，同样可得 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，中心对称的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握反比例
函数的图象和性质，学会利用数形结合的数学思想解答是解题的关键．
15．在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8,6），M为BC中点，反比例函数
（k是常数，k≠0） 的图象经过点M，交AC于点N，则MN的长度是 .
【答案】5
【分析】根据矩形的性质，可得M点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对
应关系，可得N点坐标，根据勾股定理，可得答案．
【详解】由四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，得
M（8，3），N点的纵坐标是6．
将M点坐标代入函数解析式，得
k=8×3=24，
反比例函数的解析是为y= ，
当y=6时， =6，解得x=4，N（4，6），
NC=8-4=4，CM=6-3=3，MN= .
故答案是：5.
【点睛】考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出M点坐标是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析
式，自变量与函数值的对应关系求出N点坐标，勾股定理求MN的长．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．已知： ， 与 成正比例， 与 成反比例．当 时， ；当 时， ．求
与 的函数解析式．
【答案】y＝ （x+1）+
【分析】根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算
即可得解
【详解】解：（1）设y＝k（x+1）（k≠0），y＝ （k≠0），
1 1 1 2 2
∴y＝k（x+1）+ ．
1
∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4，
∴ ，
∴ ，
∴y关于x的函数解析式是：y＝ （x+1）+ ；
【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，熟练准确
计算．
17．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，求m的值．
【答案】-3
【分析】由反比例函数的图象及其性质将A、B点代入反比例函数 即可求得m的值为-3．【详解】∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ．
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
解得： ．
故m的轴为-3．
【点睛】本题考查了反比例函数值的求法，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键．
18．写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数．
（1）底边为 的三角形的面积 随底边上的高 的变化而变化；
（2）一艘轮船从相距 的甲地驶往乙地，轮船的速度 与航行时间 的关系；
（3）在检修 长的管道时，每天能完成 ，剩下的未检修的管道长 随检修天数 的变化
而变化．
【答案】（1） ，不是反比例函数；（2） ，是反比例函数；（3） ，不是反比例
函数．
【分析】根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义 （k≠0）判断变量间是否
为反比例函数关系．
【详解】（1） 根据三角形的面积公式可得 ，
所以不是反比例函数．
（2） 因为 ，
所以两个变量之间的函数表达式为 ，是反比例函数．
（3） 因为 ，
所以两个变量之间的函数表达式为 ，不是反比例函数．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，关键是掌握反比例函数解析式的一般式形式．
19．如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为 ，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym．
(1)直接写出y与x的函数关系式为______；
(2)现有两种方案 或 ，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．
【答案】(1)
(2)22m
【分析】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5和x = 6时的y值，结合墙长11m即可得出应选x
= 6的设计方案，再将其代入2x + y中即可求出此栅栏的总长．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
∴y与x的函数关系式为： ，
故答案为： ；
（2）解：当x= 5时， ，
∵ ，
∴不符合题意，舍去；
当x=6时， ，
∵ ，
∴符合题意，此栅栏总长为：
；
答：应选择x = 6的设计方案，此栅栏总长为22m．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数
关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5和x=6时的y值．
20．函数y=（m﹣1） 是反比例函数
（1）求m的值（2）判断点（ ，2）是否在这个函数的图象上．
【答案】(1) m=0；（2）点（ ，2）不在这个函数图象上．
【详解】试题分析： 根据反比例函数的定义得到 即可求出 得值.
把 代入反比例函数 求得 的值，即可判断.
试题解析： 由题意得：
解得
（2）∵反比例函数
当
∴点 不在这个函数图象上．
21．在平面直角坐标系 中，对于点 ，给出如下定义：当点 ，满足 时，
称点N是点M的负等积点已知点 ．
(1)在 ， ， ， 中，点M的负等积点是 ．
(2)如果点M的负等积点N在双曲线 上，求点N的坐标．
【答案】(1) ， ；
(2) 或 ；
【分析】（1）根据负等积点定义直接求值判断即可得到答案；
（2）设点 ，根据负等积点定义代入列式求值即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意可得，，故 不是点M的负等积点，
，故 是点M的负等积点，
，故 不是点M的负等积点，
，故 是点M的负等积点，
故答案为： ， ；
（2）解：设 ，
∵点N是点M的负等积点，
∴ ，
解得： ，
∴点N的坐标为： 或 ；
【点睛】本题考查新定义下运算及反比例函数图像上点，解题的关键是读懂新定义，根据新定义列方程求解．
22．如图，一块余料 ， ， ， ， ， ，且
和 之间的距离为4．以 所在直线为x轴， 长为1个单位长度，建立适当的平面直角坐标系，图
中曲线 恰好是该平面直角坐标系中反比例函数 图象的一部分．
(1)补全该平面直角坐标系，并写出点B，C，D，E的坐标；
(2)李师傅想利用该余料截取一块矩形材料 ，其中边 在 上（点P在点Q的右侧），其余两个顶点M与N分别在线段 与曲线段 上，求所截取的矩形材料 面积的最大值．
【答案】(1) ， ， ， ；
(2)13
【分析】（1）根据已知条件，依次求出点E，F，A，B，D，C坐标，从而建立坐标系；
（2）求出直线 的表达式，设 ，根据纵坐标求出点N坐标，从而得到 ，
，根据矩形面积公式列出面积关于a的表达式，根据二次函数的最值和a的范围求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴点B，点E的纵坐标为1，
∵点E在反比例函数 图象上，
令 ，则 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 和 之间的距离为4， ，
∴点D的纵坐标为4，代入 中，
得 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
故建立坐标系如下：
其中 ， ， ， ；（2）设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入，
得： ，解得： ，
∴直线 的表达式为 ，
设 ，将 代入 中，
得 ，即 ，
∴ ， ，
∴
，
开口向下，且对称轴为直线 .
，
当 时， 最大，最大值为13，
所截取的矩形材料 面积的最大值为13．【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了反比例函数和一次函数的知识，要能根据已知条件建立正确的
坐标系，并能根据点在函数上得到坐标，从而表示出边长．
23．如图，在矩形 中， ， ，分别以 ， 所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐
标系．反比例函数 的图象交 于点E，交 于点F， ．
(1)求k的值与点F的坐标；
(2)在x轴上找一点M，使 的周长最小，请求出点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点
P，Q，使得以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)点P的坐标为 或 或 或
【分析】（1）在矩形 中， ， ，则 ， ，再把E坐标代入 ，即可求出点F的坐标；
（2） 的周长最小，即线段最短，所以作点F关于x轴的对称点 ，则 ，建立 的
函数关系式为 ，求出 ，即可求出点M的坐标；
（3）根据菱形的四边相等性质，即进行分类讨论 、 和 即可．
【详解】（1）解：因为在矩形 中， ，
∴
∵
∴
因为 的图象交 于点E
∴ ，
因为F的横坐标等于B的横坐标，即F的横坐标为6
则F的纵坐标为
∴
（2）解：作点F关于x轴的对称点 ，则
连接 与x轴交于点M，连接 ，此时 的周长最小
设 的函数关系式为把 ， 代入 中，
得 ，解得
∴
当 时，
∴
（3）解：点P的坐标为 或 或 或 ，理由如下
设 ，由（2）知 ，
那么 ，
，
因为以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形
当 ，即 ，则 ， ， （舍去）
此时
当 ，即 ，则 ，
此时
当 ，即 ，则 ， ，
此时 P的坐标 或者
综上所述：点P的坐标为 或 或 或
【点睛】本题主要考查的是反比例内容、一次函数以及菱形性质等知识内容，掌握菱形性质进行正确分类讨论是解题的关键．
