文档内容
专题 02 数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训
练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：累加法.........................................2
题型二：累乘法.........................................4
三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练..................6
一、必备秘籍
一、累加法（叠加法）
a −a =f(n)(n∈N¿ )
若数列 满足 ，则称数列 为“变差数列”，求变差数列
{a } n+1 n {a }
n n
{a }的通项时，利用恒等式
n
a =a +(a −a )+(a −a )+¿⋅¿+(a −a )=a +f(1)+f(2)+f(3)+¿⋅¿+f(n−1)(n≥2)
n 1 2 1 3 2 n n−1 1
求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得： =
学科网（北京）股份有限公司二、累乘法（叠乘法）
a
若数列 满足 n+1 =f(n)(n∈N¿)，则称数列 为“变比数列”，求变比数列 的
{a } a {a } {a }
n n n n
a a a a
通项时，利用a =a⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅¿⋅¿ n =a⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅¿⋅¿f(n−1)(n≥2)求通
n 1 a a a a 1
1 2 3 n−1
项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
二、典型题型
题型一：累加法
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司2．（2024·云南大理·模拟预测）在数列 中， ，且数列 是等
差数列.
(1)求 的通项公式；
3．（23-24高二下·广西桂林·阶段练习）在数列 中， .
(1)证明： 是等比数列.
(2)求 的通项公式.
4．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知公差不为零的等差数列 的前9项和
，且 ， ， 成等比数列．
(1)若数列 满足 ， ，求数列 ， 的通项公式；
5．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且 .在数
学科网（北京）股份有限公司列 中， ， .
(1)求 ， 的通项公式；
6．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列 满足 ，且对任意正整数 都有
， .
(1)求数列 的通项公式；
题型二：累乘法
1．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求 的通项公式；
2．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）设 为数列 的前 项和，已知
，且 为等差数列．
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)若数列 满足 ，且 ，求数列 的前 项和 ．
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列 中 ， （ ，
）.
(1)求数列 的通项公式．
4．（23-24高三上·贵州安顺·期末）记 为数列 的前n项和，已知 ，且
， .
(1)求 的通项公式；
5．（2023高二上·全国·专题练习）已知数列 满足
，求 的通项公式.
学科网（北京）股份有限公司6．（2023高二上·全国·专题练习）已知数列 满足 ，求数列
的通项公式.
三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练
1．（2024·湖北·模拟预测）数列 中， ， ，且 ，
(1)求数列 的通项公式；
2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列 满足： ．
(1)求数列 的通项公式；
3．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）（1）在数列 中，已知 ，且
，求
学科网（北京）股份有限公司4．（2024高三·全国·专题练习）在①当 时， ，②数列 与 均
为等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知正项数列 满足 ，______．
(1)求数列 的通项公式；
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
5．（23-24高二上·河北唐山·期末）数列 满足 ， ， .
(1)求 ， ；
(2)证明：数列 是等差数列；
6．（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司7．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
8．（2024高三·全国·专题练习）设 为数列 的前n项和，已知 ．求
的通项公式；
9．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列 的前 项和 ，对任意正整数 ，
有 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司10．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
11．（23-24高三下·山东德州·开学考试）已知数列 前 项和为 ，满足
.
(1)求数列 的通项公式；
12．（2024·广东深圳·一模）设 为数列 的前 项和，已知 ，且 为
等差数列．
学科网（北京）股份有限公司(1)求证：数列 为等差数列；
(2)若数列 满足 ，且 ，设 为数列 的前 项和，集合
，求 （用列举法表示）．
学科网（北京）股份有限公司
