文档内容
§8.6 双曲线
课标要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对
称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．
知识梳理
1．双曲线的定义
一般地，如果F ，F 是平面内的两个定点，a是一个 ，且2a |FF|，则平面上满
1 2 1 2
足||PF|－|PF||＝ 的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F ，F 称为双曲
1 2 1 2
线的 ，两个焦点的距离|FF|称为双曲线的 ．
1 2
注意：(1)若将“<|FF|”改为“＝|FF|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F ，F 为
1 2 1 2 1 2
端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“>|FF|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．
1 2
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支．
(3)若a＝0，则此时动点的轨迹是线段FF 的垂直平分线．
1 2
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
－＝1 －＝1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图形
焦点
焦距
________或 y≤－a或
范围
________，y∈R y≥a，x∈R
性 对称性 对称轴：________；对称中心：________
质 顶点
实轴：线段________，长：________；虚轴：线段BB，长：
1 2
轴
________，半实轴长：________，半虚轴长：________
渐近线
离心率 e＝∈____________
a，b，c c2＝____________(c>a>0，
的关系 c>b>0)常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF| ＝a＋c，|PF|
1 2 1min 2min
＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为－＝t(t≠0)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F(0,4)，F(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
1 2
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )
2．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值
范围是( )
A．－15
C．k<－1 D．k≠－1或5
3．双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是_______________．
4．设P是双曲线－＝1上一点，F ，F 分别是双曲线的左、右焦点，若|PF|＝9，则|PF|＝
1 2 1 2
________.
题型一 双曲线的定义
例1 (1)(多选)(2024·邵阳模拟)已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点
O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是( )
A．一个点 B．直线
C．椭圆 D．双曲线
(2)已知F ，F 为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点 P在C上，∠FPF ＝60°，则
1 2 1 2
△FPF 的面积为______________．
1 2
圆锥曲线的第二定义
平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：
(1)当01时，轨迹为双曲线．
①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线．
②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±.典例 (1)椭圆＋＝1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2,0)的距离与到直线
x＝的距离之比为，则椭圆方程为_______________________．
(2)已知双曲线－＝1的右焦点为F ，M是双曲线右支上一点，定点A(9,2)，则|MA|＋|MF |的
2 2
最小值为________．
跟踪训练1 (1)已知圆C ：(x＋3)2＋y2＝1，C ：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C 和圆C
1 2 1 2
相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1)
D．x2－＝1(x≥1)
(2)已知F ，F 为双曲线C：－＝1的左、右焦点，P是C的右支上一点，则的最小值为(
1 2
)
A．16 B．18
C．8＋4 D．9＋
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1
C.－＝1 D.－x2＝1
(2)(2023·安阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F，F，|FF|＝2，
1 2 1 2
P为C上一点，PF 的中点为Q，△PFQ为等边三角形，则双曲线C的方程为( )
1 2
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．3x2－＝1
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝
λ(λ≠0)，与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－a2<λ0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，
1 2
过左焦点F 作直线FP与圆x2＋y2＝a2切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足OE＝(OP
1 1
＋OF1)，|OE|＝，则双曲线的方程为________________________．
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例3 (1)(2023·连云港模拟)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程
是________________．
(2)(2023·渭南统考)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F(－c,0)，F(c,0)，过
1 2
F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，若△AFF 的面积为bc，则双曲线C的渐近
2 1 2
线方程为_____________________________________________________________．
命题点2 离心率
例4 (1)(2023·郑州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的
离心率e为( )
A．2或 B.
C. D.或2
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，O为坐标原点，过F 作C
1 2 1
的一条渐近线的垂线，垂足为D，且|DF|＝2|OD|，则C的离心率为( )
2
A. B．2 C. D．3
跟踪训练3 (1)(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近
线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|等于( )
A. B. C. D.
(2)(2024·海口模拟)设双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，直线l过点(0，b)和双曲线
E的一个焦点，若直线l与圆x2＋y2＝a2相切，则e2＝________.
