文档内容
§8.6 双曲线
课标要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对
称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．
知识梳理
1．双曲线的定义
一般地，如果F ，F 是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|FF|，则平面上满足||
1 2 1 2
PF|－|PF||＝ 2 a 的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F ，F 称为双曲线的焦点，
1 2 1 2
两个焦点的距离|FF|称为双曲线的焦距．
1 2
注意：(1)若将“<|FF|”改为“＝|FF|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F ，F 为
1 2 1 2 1 2
端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“>|FF|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．
1 2
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支．
(3)若a＝0，则此时动点的轨迹是线段FF 的垂直平分线．
1 2
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
焦点 F ( － c ,0) ， F ( c ,0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 | F F | ＝ 2 c
1 2
范围 x ≤ － a 或 x ≥ a ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性质 顶点 A ( － a ,0) ， A ( a ,0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
1 2 1 2
实轴：线段AA，长： 2 a ；虚轴：线段BB，长： 2 b ，半实轴
1 2 1 2
轴
长：a，半虚轴长：b
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝∈ (1 ，＋ ∞ )
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 2 (c>a>0，c>b>0)
常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF| ＝a＋c，|PF|
1 2 1min 2
＝c－a.
min3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为－＝t(t≠0)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F(0,4)，F(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ×
1 2
)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
2．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取
值范围是( )
A．－15
C．k<－1 D．k≠－1或5
答案 C
解析 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
则解得k<－1.
3．双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是________．
答案 y＝±x
解析 依题意知，双曲线－＝1的焦点在y轴上，半实轴长a＝4，半虚轴长b＝3，
所以双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是y＝±x.
4．设P是双曲线－＝1上一点，F，F 分别是双曲线的左、右焦点，若|PF|＝9，则|PF|＝
1 2 1 2
________.
答案 17
解析 根据双曲线的定义得||PF|－|PF||＝8，
1 2
因为|PF|＝9，所以|PF|＝1或17.
1 2
又|PF|≥c－a＝2，故|PF|＝17.
2 2
题型一 双曲线的定义
例1 (1)(多选)(2024·邵阳模拟)已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点
O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是( )
A．一个点 B．直线
C．椭圆 D．双曲线
答案 ACD
解析 分以下几种情况讨论：设定圆O的半径为R，①当点A在圆O上，连接OA(图略)，则|OA|＝|OP|，所以点O在线段AP的垂直平分线上，
由垂直平分线的性质可知|AQ|＝|PQ|.
又因为点Q是线段AP的垂直平分线与OP的公共点，此时点Q与点O重合，
此时，点Q的轨迹为圆心O，故A正确；
②当点A在圆O内，且点A不与圆心O重合，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得|
QA|＝|QP|，所以|QA|＋|QO|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝R>|OA|，
此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为R的椭圆，故C正确；
③当点A在圆O外，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得|QA|＝|QP|，
所以||QA|－|QO||＝||QP|－|QO||＝|OP|＝R<|OA|，
此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且实轴长为R的双曲线，故D正确．
(2)已知F ，F 为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠FPF ＝60°，则
1 2 1 2
△FPF 的面积为______．
1 2
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF|－|PF|＝2a＝2，
1 2
在△FPF 中，由余弦定理，得
1 2
cos∠FPF＝＝，
1 2
∴|PF|·|PF|＝8，
1 2
∴ ＝|PF|·|PF|·sin 60°＝2.
1 2
圆锥曲线的第二定义
平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：
(1)当01时，轨迹为双曲线．
①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线．
②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±.
典例 (1)椭圆＋＝1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2,0)的距离与到直线
x＝的距离之比为，则椭圆方程为___________________．
答案 ＋＝1
解析 依题意，右焦点F(2,0)，右准线x＝，
2
由椭圆第二定义知＝，
∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，
∴椭圆方程为＋＝1.(2)已知双曲线－＝1的右焦点为F ，M是双曲线右支上一点，定点A(9,2)，则|MA|＋|MF |
2 2
的最小值为________．
答案
解析 设M到直线x＝＝的距离为d，由双曲线第二定义知，
＝e＝，∴d＝|MF |，
2
∴|MA|＋|MF |＝|MA|＋d，
2
如图，可知(|MA|＋d) ＝x －＝9－＝.
min A
思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF|－|PF||＝2a，运
1 2
用平方的方法，建立与|PF|·|PF|的联系，利用三角形的面积公式求解．对于选择题或填空
1 2
题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可．
跟踪训练1 (1)已知圆C ：(x＋3)2＋y2＝1，C ：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C 和圆C
1 2 1 2
相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1)
D．x2－＝1(x≥1)
答案 C
解析 设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C 和圆C 相外切，
1 2
得|MC |＝1＋r，|MC |＝3＋r，
1 2
|MC |－|MC |＝2<6，
2 1
所以动圆圆心M的轨迹是以点C (－3,0)和C (3,0)为焦点的双曲线的左支，
1 2
且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，
则b2＝c2－a2＝8，
所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)已知F ，F 为双曲线C：－＝1的左、右焦点，P是C的右支上一点，则的最小值为(
1 2
)
A．16 B．18
C．8＋4 D．9＋
答案 A
解析 因为F，F 为双曲线C：－＝1的左、右焦点，P是C的右支上的一点，
1 2
所以|PF|＝|PF|＋4，
1 2所以＝＝
＝|PF|＋＋8≥2＋8＝16，
2
当且仅当|PF|＝，即|PF|＝4时，等号成立．
2 2
因为c＝＝，
所以c－a＝－2<4，
所以|PF|＝4成立，的最小值为16.
2
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1
C.－＝1 D.－x2＝1
答案 C
解析 椭圆C的焦点坐标为(0，±2)，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由双曲线的定义可得2a＝|－|
＝(＋)－(－)＝2，
∴a＝，∵c＝2，∴b＝＝，
因此双曲线的方程为－＝1.
(2)(2023·安阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，|FF|＝
1 2 1 2
2，P为C上一点，PF 的中点为Q，△PFQ为等边三角形，则双曲线C的方程为( )
1 2
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．3x2－＝1
答案 A
解析 由题可知双曲线的焦距为2c＝2，即c＝.
因为PF 的中点为Q，△PFQ为等边三角形，
1 2
所以|FQ|＝|FQ|＝|FP|＝|PQ|，
1 2 2
所以∠PFQ＝60°，∠FFQ＝30°，
2 1 2
故PF⊥FF，
2 1 2
所以|PF|＝＝，|PF|＝2|PF|＝，
2 1 2
所以|PF|－|PF|＝－＝＝2a，
1 2
所以＝，所以a＝1，b＝.
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
思维升华 求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝
λ(λ≠0)，与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－a2<λ0，b>0)，
则解得
故该双曲线的标准方程是－＝1.
(2)(2023·内江模拟)设F，F 分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，
1 2
过左焦点F 作直线FP与圆x2＋y2＝a2切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足OE＝(OP
1 1
＋OF1)，|OE|＝，则双曲线的方程为________．
答案 －＝1
解析 依题意作图，如图所示，
由条件OE＝(OP＋OF1)知，E是PF 的中点，并且OE⊥PF，
1 1
∴△OPF 是等腰三角形，|OP|＝|OF|＝c，
1 1
又|OF|＝c，∴△FPF 的外接圆是以O为圆心，|OF|＝c为半径的圆，
2 1 2 1
∴FP⊥PF，
1 2
由|OE|＝知a＝，a2＝2，
在Rt△OEF 中，|EF|＝＝，
1 1|PF|＝2|EF|＝2，|PF|＝2|OE|＝2，
1 1 2
根据双曲线的定义有|PF|－|PF|＝2a，
1 2
∴|PF|＝4，即2＝4，c2＝10，
1
∴b2＝c2－a2＝8，
∴双曲线的方程为－＝1.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例3 (1)(2023·连云港模拟)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方
程是________．
答案 4x2－y2＝1
解析 方法一 由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－
＝1且＝2，联立解得a＝，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；
②若双曲线的焦点在y轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－＝1，且＝2，此时无解．
综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.
方法二 由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线经过点(1，)，
∴λ＝4×12－()2＝1，
∴双曲线方程为4x2－y2＝1.
(2)(2023·渭南统考)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F(－c,0)，F(c,0)，过
1 2
F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，若△AFF 的面积为bc，则双曲线C的渐
2 1 2
近线方程为________．
答案 y＝±x
解析 由题意知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
如图，由双曲线的对称性，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，
则|FA|＝＝b，
2
所以|OA|＝＝＝a，
所以 ＝ab，
因为△AFF 的面积为bc， ＝ ，
1 2
所以bc＝2×ab，即c＝2a，
所以a2＋b2＝4a2，即＝3，故＝，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两
渐近线方程±＝0.
(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离
心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
命题点2 离心率
例4 (1)(2023·郑州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为，则此双曲线
的离心率e为( )
A．2或 B.
C. D.或2
答案 A
解析 由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，
而两条渐近线的夹角为，
故y＝x的倾斜角为或，故＝或，
e＝＝或2.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，O为坐标原点，过F 作C
1 2 1
的一条渐近线的垂线，垂足为D，且|DF|＝2|OD|，则C的离心率为( )
2
A. B．2 C. D．3
答案 C
解析 如图所示，双曲线C的左焦点F(－c,0)，|DF|＝b，
1 1
由勾股定理得|OD|＝a，
在Rt△DOF 中，∠ODF ＝，
1 1
∴cos∠DOF ＝＝，
1
在△DOF 中，|OD|＝a，|DF|＝2a，|OF|＝c，
2 2 2
cos∠DOF ＝cos(π－∠DOF )＝－cos∠DOF ＝－，
2 1 1
由余弦定理的推论得cos∠DOF ＝＝＝－，
2
化简得c2＝5a2，即c＝a，
因此双曲线C的离心率e＝＝.
思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，
b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
跟踪训练3 (1)(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近
线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题知e＝，
则＝＝1＋＝5，
解得＝2，
所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x，
即2x－y＝0，
则圆心(2,3)到渐近线的距离d＝＝，
所以弦长|AB|＝2＝2＝.
(2)(2024·海口模拟)设双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，直线l过点(0，b)和双曲线
E的一个焦点，若直线l与圆x2＋y2＝a2相切，则e2＝________.
答案
解析 因为直线l过点(0，b)和双曲线E的右焦点F(c,0)，
设直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0，
由直线l与圆x2＋y2＝a2相切，可得＝a，
整理得b2c2＝a2(b2＋c2)，
又b2＝c2－a2，所以(c2－a2)c2＝a2(2c2－a2)，
即c4－3a2c2＋a4＝0，
所以4－32＋1＝0，即e4－3e2＋1＝0，
解得e2＝或e2＝，
又e>1，所以e2>1，所以e2＝.
课时精练
一、单项选择题
1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1答案 D
解析 设双曲线方程为－＝1(m≠0)，
∵2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±3x
C．y＝±x D．y＝±x
答案 A
解析 由题意，该双曲线的离心率e＝＝，则＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，
即y＝±2x.
3．若双曲线－y2＝1的左、右焦点分别为F ，F ，点P为圆x2＋y2＝4与此双曲线的一个公
1 2
共点，则△PFF 的面积为( )
1 2
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 D
解析 由题意得a＝，b＝1，c＝＝2，
所以线段FF 是圆x2＋y2＝4的直径，
1 2
因此PF⊥PF，
1 2
所以
所以|PF||PF|＝2， ＝|PF||PF|＝1.
1 2 1 2
4．(2024·安阳模拟)以双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐
近线相切于点Q，则C的焦距为( )
A．4 B．2 C．6 D．8
答案 C
解析 由题意设F(c,0)，不妨设双曲线的渐近线方程为y＝x，则＝.
又k ×＝×＝－1，
FQ
联立解得c＝3，即2c＝6.
5．(2023·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆
圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为( )
A.－＝1(x>2)
B.－＝1(x>3)
C.＋＝1(02)．
6．(2023·广州大学附属中学模拟)设点F ，F 分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右
1 2
焦点，过点F 作直线交双曲线C的两条渐近线于点A，B，连接FB，满足F1A＝AB，
1 2
F1B·F2B＝0，则双曲线的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 C
解析 设点B位于第一象限，如图所示，
因为F1A＝AB，则A为线段FB的中点，
1
又因为O为FF 的中点，则OA∥FB，
1 2 2
因为F1B·F2B＝0，则FB⊥FB，
1 2
所以OA⊥BF，所以|OB|＝|OF|，
1 1
则∠AOF ＝∠AOB，
1
又因为∠AOF ＝∠BOF ，
1 2
所以∠AOF ＋∠AOB＋∠BOF ＝3∠BOF ＝π，
1 2 2
可得∠BOF ＝，
2
易知直线OB的方程为y＝x，则＝tan ＝，
因此该双曲线的离心率为e＝＝＝＝2.
二、多项选择题7．(2023·江门模拟)已知曲线C：x2sin α＋y2cos α＝1(0≤α<π)，则下列说法正确的是( )
A．若曲线C表示两条平行线，则α＝0
B．若曲线C表示双曲线，则<α<π
C．若0<α<，则曲线C表示椭圆
D．若0<α<，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆
答案 BD
解析 若曲线C表示两条平行线，则有sin α＝0或cos α＝0，且0≤α<π.
若sin α＝0，则α＝0，此时曲线C的方程为y2＝1，可得y＝－1或y＝1，符合题意，
若cos α＝0，则α＝，
此时曲线C的方程为x2＝1，可得x＝－1或x＝1，符合题意，故A错；
若曲线C表示双曲线，则sin αcos α<0，
由于0≤α<π且sin α≠0，则sin α>0，
可得cos α<0，则<α<π，故B对；
若曲线C表示椭圆，则
解得0<α<且α≠，故C错；
若0<α<，则0>0，
曲线C的方程可化为＋＝1，
此时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故D对．
8．(2023·重庆模拟)已知双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过点F 作x轴的
1 2 2
垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF 为直角三角形，则( )
1
A．b＝2＋2
B．双曲线的离心率为＋1
C．双曲线的焦距为2
D．△ABF 的面积为12＋8
1
答案 BD
解析 如图所示，
若△ABF 为直角三角形，由双曲线的对称性可知，
1
AF⊥BF，
1 1
且|AF|＝|BF|.
1 1设|AF|＝m，则由双曲线的定义得
2
|AF|＝|BF|＝|AF|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m.
1 1 2
所以在Rt△ABF 中，
1
由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2.
解得m＝2＋2，
所以|AF|＝|BF|＝4＋2，
1 1
所以△ABF 的面积为|AF|·|BF|＝×(4＋2)2＝12＋8，故D正确；
1 1 1
|AF|·|BF|＝|AB|·|FF|，
1 1 1 2
所以|FF|＝2＋2，故C不正确；
1 2
由x2－＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋，
所以b2＝(1＋)2－1＝2＋2，故A不正确；
e＝＝1＋，故B正确．
三、填空题
9．(2023·唐山模拟)已知直线l：x－y－2＝0过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且
与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为________．
答案 2
解析 直线x－y－2＝0与x轴交点为(2,0)，斜率为，由题意解得所以双曲线的实轴长为2a
＝2.
10．双曲线的一条渐近线方程为 x＋2y＝0，且焦距为 10，则该双曲线的标准方程为
________________．
答案 －＝1或－＝1
解析 依题意，2c＝10，∴c＝5，
若双曲线的焦点在x轴上，则
解得b2＝5，a2＝20，
双曲线的标准方程为－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，则
解得b2＝20，a2＝5，
双曲线的标准方程为－＝1.
综上，该双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
11．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外
轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与
圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD＝2，设AD所在直线为x轴，则双曲线
的标准方程为________．答案 x2－＝1
解析 设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图，因为AB＝BC＝CD＝2，
易知a＝1，
又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以在双曲线上，
得到－＝1，整理得b2＝，
故所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
12．(2023·上饶模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，点B(0，
1 2
b)，直线FB与双曲线的渐近线在第一象限交于点A，若|FA|＝|FF|，则双曲线的离心率
1 2 1 2
为________．
答案 ＋1
解析 因为F(－c,0)，F(c,0)，B(0，b)，
1 2
所以直线FB的方程为y＝x＋b，
1
又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
由解得所以A，
又因为|FA|＝|FF|，
2 1 2
所以2＋2＝4c2，
整理得2c2－4ac＋a2＝0，
即2e2－4e＋1＝0，
解得e＝＋1或e＝1－(舍去)．
四、解答题
13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1有相同的渐近线，且经过点M(，－)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离．
解 (1)在双曲线－＝1中，a′＝2，b′＝，
则渐近线方程为y＝±x＝±x，
∵双曲线C：－＝1与双曲线－＝1有相同的渐近线，∴＝，∴方程可化为－＝1，
又双曲线C经过点M(，－)，代入方程得
－＝1，解得a＝1，故b＝，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由(1)知双曲线C的方程为x2－＝1，
∵a＝1，b＝，c＝，
∴实轴长2a＝2，离心率为e＝＝，
设双曲线C的一个焦点为(－，0)，一条渐近线方程为y＝x，
∴焦点到渐近线的距离d＝＝.
14．已知点F，F 分别为双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点，过F 作垂直于x轴的直线，
1 2 2
在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF F＝30°.
1 2
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 P ，P ，求
1 2
PP1·PP2的值．
解 (1)在Rt△MF F 中，
1 2
因为∠MF F＝30°，
1 2
所以tan∠MF F＝＝＝，
1 2
又a＝1，a2＋b2＝c2，联立解得c＝，b＝，
所以双曲线C的方程是x2－＝1.
(2)设P(x，y)是双曲线C上任意一点，故有2x－y＝2，
0 0
两条渐近线方程为l：x－y＝0，l：x＋y＝0，设l：x－y＝0的倾斜角为α，
1 2 1
故tan α＝，
设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ，
所以cos θ＝cos 2α＝＝－，
于是有cos〈PP1，PP2〉＝－cos θ＝.
因为P到双曲线两条渐近线的距离为|PP|＝，|PP|＝，
1 2
所以PP1·PP2＝··cos〈PP1，PP2〉＝·＝.
15．(2023·咸阳模拟)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 作FF
1 2 2 1 2
的垂线，交双曲线于A，B两点，D是双曲线的右顶点，连接AD，BD并延长，分别交y轴
于点M，N.若点P(－3a,0)在以MN为直径的圆上，则双曲线C的离心率为_______．
答案 2
解析 由－＝1得y2＝b2＝，即y＝±，
不妨设A，而D(a,0)，
所以直线AD的方程为y－0＝(x－a)，
y＝(x－a)，
令x＝0得y＝，则M，
同理可求得N，
所以以MN为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，
将P(－3a,0)代入上式得9a2＝2＝＝
＝＝(c＋a)2，
即c2＋2ac－8a2＝0，即(c－2a)(c＋4a)＝0，
则c＝2a，即离心率为＝2.
16．(2023·安庆模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F ，F ，过x轴上方的
1 2
焦点F 的直线与双曲线上支交于M，N两点，以NF 为直径的圆经过点M，若|MF |，|
1 2 2
MN|，|NF |成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为________．
2
答案 y＝±x
解析 如图所示，
由双曲线的定义知|MF |＝2a＋|MF |，|NF |＝2a＋|NF |，
2 1 2 1
所以|MF |＋|NF |＝4a＋|MF |＋|NF |＝4a＋|MN|.
2 2 1 1
因为|MF |，|MN|，|NF |成等差数列，
2 2
所以|MF |＋|NF |＝2|MN|，即4a＋|MN|＝2|MN|，|MN|＝4a.
2 2
令|MF |＝x，在△MNF 中，MF ⊥MN，
1 2 2
所以|MF |2＋|MN|2＝|NF |2，
2 2
即(2a＋x)2＋(4a)2＝(6a－x)2，
解得x＝a，即|MF |＝a，|MF |＝3a，
1 2
又在Rt△FMF 中，a2＋(3a)2＝(2c)2，2c2＝5a2，
1 2
又c2＝a2＋b2，所以2b2＝3a2，即＝，故该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
