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必刷小题 13 立体几何
一、单项选择题
1．(2024·洛阳模拟)如图，△O′A′B′是△OAB的直观图，则△OAB是( )
A．正三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
答案 C
解析 因为∠x′O′y′＝45°，则线段A′B′与y′轴必相交，令交点为C′，如图(1)所示，
在平面直角坐标系Oxy中，点A在x轴上，可得OA＝O′A′，点C在y轴上，可得OC＝
2O′C′，
如图(2)所示，因此点B必在线段AC的延长线上，
所以∠BOA>∠COA＝90°，
所以△OAB是钝角三角形．
2．下列四个命题中，正确的是( )
A．各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱
B．对角面是全等矩形的六面体一定是长方体
C．有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
D．长方体一定是直四棱柱
答案 D
解析 对于A，底面是菱形的直平行六面体，满足条件但不是正棱柱；对于B，底面是等腰
梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；C显然错误；长方体一定是直四棱柱，D正确．3．从平面外一点P引与平面相交的直线，使P点与交点的距离等于1，则满足条件的直线
可能有( )
A．0条或1条 B．0条或无数条
C．1条或2条 D．0条或1条或无数条
答案 D
解析 当点P到平面的距离大于1时，没有满足条件的直线；当点P到平面的距离等于1时，
满足条件的直线只有1条；当点P到平面的距离小于1时，满足条件的直线有无数条．
4．(2023·徐州模拟)圆柱形玻璃杯中盛有高度为10 cm的水，若放入一个玻璃球(球的半径与
圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为( )
A. cm B．15 cm
C．10 cm D．20 cm
答案 B
解析 根据题意，玻璃球的体积等于放入玻璃球后水的体积减去原来水的体积．设玻璃球的
半径为r，即圆柱形玻璃杯内壁的底面半径为r，
则玻璃球的体积为πr3，圆柱的底面面积为πr2，
若放入一个玻璃球后，水恰好淹没玻璃球，
则此时水面的高度为2r，所以πr3＝πr2(2r－10)，解得r＝15(cm)．
5．(2024·泉州模拟)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则α⊥β的充分条件是( )
A．m∥α，n∥β，m⊥n
B．m⊥α，n∥β，m⊥n
C．m⊥α，n⊥β，m⊥n
D．m⊂α，n⊂β，m⊥n
答案 C
解析 对于A，如图(1)，α∩β＝l，m⊥l，n∥l，则满足m∥α，n∥β，m⊥n，平面α与β不
一定垂直，故A错误；
对于B，如图(2)，α∩β＝l，n∥l，m⊥α，则满足n∥β，m⊥n，平面α与β不一定垂直，故
B错误；
对于C，如图(3)，m⊥α，n⊥β，m⊥n，在直线m，n上取两个向量BA，DC，则BA，DC分
别为平面α，β的法向量，且BA⊥DC，则α⊥β，故C正确；
对于D，如图(4)，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m⊥l，n∥l，则m⊥n，平面α与β不一定垂直，
故D错误．6.某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫
做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示)．若该同学所画的椭圆的
离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设椭圆与圆柱的轴截面如图所示，作DE⊥BC交BC于点E，
则∠CDE为“切面”所在平面与底面所成的角，设为θ.
设底面圆的直径为2r，则CD为椭圆的长轴2a，短轴为2b＝DE＝2r，
则椭圆的长轴长2a＝CD＝，
即a＝，所以椭圆的离心率为
e＝＝＝＝＝sin θ，
所以θ＝.
7．(2023·朝阳模拟)如图，圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和底面均相切．已知圆台的
下底面圆心为O ，半径为r ，圆台的上底面圆心为O ，半径为r(r>r)，球的球心为O，半
1 1 2 2 1 2
径为R，记圆台的表面积为S，球的表面积为S，则的可能取值为( )
1 2
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图，作出圆台的轴截面，作DF⊥BC，垂足为F，由题意知圆O与梯形ABCD相切，
则DC＝DE＋CE＝OD＋OC＝r＋r，
2 1 2 1
又DC＝＝，
故＝r＋r，
1 2
化简可得R2＝rr，
1 2
则＝
＝＝＋
>＋＝(r>r，故取不到等号)，
1 2
由于，，都不大于，
故的可能取值为.
8．(2023·北京模拟)在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，
VA＝VB＝VC＝1(单位：dm)，小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截
面平行于直线VB和AC，则该截面面积(单位：dm2)的最大值是( )
A. dm2 B. dm2
C. dm2 D. dm2
答案 B
解析 根据题意，在平面VAC内，过点P作EF∥AC分别交VA，VC于点F，E，
在平面VBC内，过点E作EQ∥VB交BC于点Q，
在平面VAB内，过点F作FD∥VB交AB于点D，连接DQ，如图所示，
因为EF∥AC，
所以△VEF∽△VCA，设其相似比为k，
则＝＝＝k,0
