文档内容
押新高考 19 题 A
圆 锥 曲 线 综 合（解答题）
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅰ卷第22题
2023年新高考Ⅱ卷第21题
2022年新高考Ⅰ卷第21题
圆锥曲线大题难度较难，纵观近几年的新高考试题，主要以
圆锥曲线 2022年新高考Ⅱ卷第21题 双曲线、椭圆和抛物线为背景考查斜率及面积问题、轨迹问
题、方程求解及劣构性问题、定值问题、范围问题等知识
综合 2021年新高考Ⅰ卷第21题 点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024
年新高考命题方向将继续以难度性的综合问题展开命题．
2021年新高考Ⅱ卷第20题
2020年新高考Ⅰ卷第22题
2020年新高考Ⅱ卷第21题
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第22题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的
距离，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率
为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与 交于点P．证明:点 在定直线上.
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第21题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于
P，Q两点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第21题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方
程为 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第21题）在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，
求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第20题）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的
充要条件是 ．
1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解
2.若直线 与圆雉曲线相交于 ， 两点，
由直线与圆锥曲线联立，消元得到 （ ）
则：
则：弦长
或
圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理）
设直线方程为: y=kx+b (特殊情况要对 k 进行讨论),圆锥曲线的方程为: f (x,y)=0, 把直线方程代入曲线方程,
可化为 ,
ax2+bx+c=0(a≠0)或(a y2+by+c=0),(a≠0)
设直线和曲线的两交点为 , 求根公式为
A(x ,y ),B(x ,y )
1 1 2 2
−b±√b2−4ac
x=
2a
(1) 若消去 y, 得ax2+bx+c=0(a≠0)
则弦长公式为:
|AB|=√(x −x ) 2+(y −y ) 2=√1+k2 ⋅|x −x |
1 2 1 2 1 2
|−b+√b2−4ac −b−√b2−4ac|
¿=√1+k2 ⋅ −
2a 2a
√Δ
¿=√1+k2
|a|
(2) 若消去 x,得a y2+by+c=0(a≠0)
则弦长公式为:
√ 1
|AB|=√(x −x ) 2+(y −y ) 2= 1+ ⋅|y −y |
1 2 1 2 k2 1 2
√ 1 |−b+√b2−4ac −b−√b2−4ac|
¿= 1+ ⋅ −
k2 2a 2a
√ 1 √Δ
¿= 1+
k2 |a|
3. 处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为 ），
（2）利用条件找到 与过定点的曲线 的联系，得到有关 与 的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 ，使得无论 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于
与 的等式进行变形，直至找到 ，
①若等式的形式为整式，则考虑将含 的式子归为一组，变形为“ ”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去 变为
常数.
4. 处理定值问题的思路：
联立方程，用韦达定理得到 、 （或 、 ）的形式，代入方程和原式化简即可.
1．（2024·浙江·二模）已知椭圆 的左顶点 和下顶点B，焦距为 ，直线l
交椭圆L于C，D（不同于椭圆的顶点）两点，直线AD交y轴于M，直线BC交x轴于N，且直线MN交l
于P.
(1)求椭圆L的标准方程；
(2)若直线AD，BC的斜率相等，证明：点P在一条定直线上运动.
2．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上，且
垂直于 轴．
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 斜率存在，交椭圆 于 两点， 三点不共线，且直线 和直线 关于 对称．
（ⅰ）证明：直线 过定点；
（ⅱ）求 面积的最大值．
3．（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系 中，已知点 ，过椭圆 的上顶点
作两条动直线 分别与 交于另外两点 .当 时，
.
(1)求 的值；(2)若 ，求 和 的值.
4．（2024·河北沧州·一模）已知椭圆 的上顶点为 ，直线 与椭圆
交于 两点，且直线 与 的斜率之积为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 ，直线 与椭圆 交于 两点，且直线 与 的斜率之和为1，求 与 之间距离的取
值范围．
5．（2024·湖南长沙·一模）已知双曲线 与直线 ： （ ）有唯一的公共点 ，直
线 与双曲线的两条渐近线分别交于 ， 两点，其中点 ， 在第一象限.
(1)探求参数 ， 满足的关系式；
(2)若 为坐标原点， 为双曲线的左焦点，证明： .
6．（2024·河北·模拟预测）过双曲线 的右焦点 作斜率相反的两条直线 、 ， 与 的右
支交与 、 两点， 与 的右支交 、 两点，若 、 相交于点 ．
(1)求证：点 为定点；
(2)设 的中点为 的中点为 ，当四边形 的面积等于 时，求四边形 的周长．
7．（2024·重庆·一模）已知点 为圆 上任意一点， ，线段 的垂直平分线交
直线 于点 ．
(1)求 点的轨迹方程；
(2)设过点 的直线 与 点的轨迹交于点 ，且点 在第一象限内．已知 ，请问是否存在常数 ，
使得 恒成立？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由．
8．（2024·辽宁·一模）已知平面上一动点 到定点 的距离比到定直线 的距离小 ，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)点 为 上的两个动点，若 恰好为平行四边形 的其中三个顶点，且该平行四
边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形 的面积为 ，求证： .
9．（2024·广东·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线
与双曲线 交于 两点， 是双曲线 上一点（ 与 不重合），直线
的斜率分别为 ，且 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)已知直线 ，且与双曲线 交于 两点， 为 的中点， 为坐标原点，且
，若直线 与圆 相切，求直线 的方程．
10．（2024·湖南·一模）已知双曲线 的渐近线方程为 ， 的半焦距为 ，
且 ．
(1)求 的标准方程．
(2)若 为 上的一点，且 为圆 外一点，过 作圆 的两条切线 （斜率都存在），
与 交于另一点 与 交于另一点 ，证明：
（ⅰ） 的斜率之积为定值；
（ⅱ）存在定点 ，使得 关于点 对称．
11．（2024·湖北·一模）已知双曲线 经过椭圆 的左、右焦点 ，设 的离心率分别为 ，且 ．
(1)求 的方程；
(2)设 为 上一点，且在第一象限内，若直线 与 交于 两点，直线 与 交于 两点，设
的中点分别为 ，记直线 的斜率为 ，当 取最小值时，求点 的坐标．
12．（2024·湖北·二模）如图， 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，过 的直线交抛物线于 两
点，直线 交抛物线的准线于点 ，设抛物线在 点处的切线为 ．
(1)若直线 与 轴的交点为 ，求证： ；
(2)过点 作 的垂线与直线 交于点 ，求证： ．
13．（2024·山东淄博·一模）在平面直角坐标系xOy中，点. 点 是平面内的动点.若以PF
为直径的圆与圆 相切，记点 P 的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)设点 ，直线 AM ，AN 分别与曲线C交于点S，T (S，T 异于 A)，过点A
作 ，垂足为 H，求 的最大值.
14．（2024·山东济南·一模）已知双曲线C： 的左右顶点分别为 ， ，过点 的直线 与
双曲线C的右支交于M，N两点.
(1)若直线 的斜率k存在，求k的取值范围；(2)记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)设G为直线 与直线 的交点， ， 的面积分别为 ， ，求 的最小值.
15．（2024·山东青岛·一模）已知O为坐标原点，点W为 ： 和 的公共点， ，
与直线 相切，记动点M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)若 ，直线 与C交于点A，B，直线 与C交于点 ， ，点A， 在
第一象限，记直线 与 的交点为G，直线 与 的交点为H，线段AB的中点为E．
①证明：G，E，H三点共线；
②若 ，过点H作 的平行线，分别交线段 ， 于点 ， ，求四边形 面积的最
大值．
16．（2024·山东临沂·一模）动圆 与圆 和圆 都内切，记动圆圆心
的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为 ，则曲线上一点
处的切线方程为： ，试运用该性质解决以
下问题：点 为直线 上一点（ 不在 轴上），过点 作 的两条切线 ，切点分别为 .
（i）证明：直线 过定点；
（ii）点 关于 轴的对称点为 ，连接 交 轴于点 ，设 的面积分别为 ，求
的最大值.
17．（2024·福建厦门·二模）已知 ， ， 为平面上的一个动点.设直线 的斜率分别为， ，且满足 .记 的轨迹为曲线 .
(1)求 的轨迹方程；
(2)直线 ， 分别交动直线 于点 ，过点 作 的垂线交 轴于点 . 是否存在最大值？
若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
18．（2024·福建莆田·二模）已知椭圆 的离心率为 ，且 上的点到右焦点的距
离的最大值为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 为坐标原点，对于 内任一点 ，直线 交 于 两点，点 在 上，且满足 ，
求四边形 面积的最大值．
19．（2024·福建漳州·一模）已知过点 的直线 与圆 ： 相交于 ， 两点，
的中点为 ，过 的中点 且平行于 的直线交 于点 ，记点 的轨迹为 ．
(1)求轨迹 的方程．
(2)若 为轨迹 上的两个动点且均不在 轴上，点 满足 （ ， ），其中 为
坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①点 在轨迹 上；②直线 与 的斜率之积为 ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
20．（2024·福建泉州·模拟预测）已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦
点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6．
(1)求E的方程；
(2)若面积为3的 的三个顶点均在E上，边 过F，边 过原点，求直线 的方程：
(3)已知 ，过点 的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且 ？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．
21．（2024·浙江·一模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 为椭圆 上异于顶
点的一动点， 的角平分线分别交 轴、 轴于点 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求证： 为定值；
(3)当 面积取到最大值时，求点 的横坐标 ．
22．（2024·河北廊坊·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知点 是抛物线 上
的一点，直线 交 于 两点．
(1)若直线 过 的焦点，求 的值；
(2)若直线 分别与 轴相交于 两点，且 ，试判断直线 是否过定点？若是，求出该
定点的坐标；若不是，请说明理由．
23．（2024·江苏·一模）已知椭圆C： 的右焦点为 ，右顶点为A，直线l：
与x轴交于点M，且 ，
(1)求C的方程；
(2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q，
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得， ？若存在，求 ；若不存在，请说明理由.
24．（2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： 的离心率为 ，直线l与Γ相切，与圆O： 相交于A，B两点.当l垂直于x轴时， .
(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，
则记此最大值为 .
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当 的面积最大时，求 ；
（ⅱ）若 ， 均存在，记两者中的较大者为 .已知 ， ， 均
存在，证明： .
25．（2024·辽宁丹东·一模）我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性
质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射
后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中 是反射镜面也是过点 处的切线）．
已知双曲线 （ ， ）的左右焦点分别为 ， ，从 处出发的光线照射到双曲线右
支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点 ．
(1)请根据双曲线的光学性质，解决下列问题：
当 ， ，且直线 的倾斜角为 时，求反射光线 所在的直线方程；
(2)从 处出发的光线照射到双曲线右支上的点 处，且 三点共线，经双曲线反射后过点 ，
， ，延长 ， 分别交两条渐近线于 ，点 是 的中点，求证： 为定值．
(3)在（2）的条件下，延长 交y轴于点 ，当四边形 的面积为8时，求 的方程．
26．（2024·广东佛山·二模）已知以下事实：反比例函数 （ ）的图象是双曲线，两条坐标轴是
其两条渐近线．
(1)（ⅰ）直接写出函数 的图象 的实轴长；
（ⅱ）将曲线 绕原点顺时针转 ，得到曲线 ，直接写出曲线 的方程．
(2)已知点 是曲线 的左顶点．圆 ： （ ）与直线 ： 交于 、 两点，直
线 、 分别与双曲线 交于 、 两点．试问：点A到直线 的距离是否存在最大值？若存在，
求出此最大值以及此时 的值；若不存在，说明理由．
27．（2024·广东广州·一模）已知 为坐标原点，双曲线 的焦距为 ，且经过点
.
(1)求 的方程：
(2)若直线 与 交于 ， 两点，且 ，求 的取值范围：
(3)已知点 是 上的动点，是否存在定圆 ，使得当过点 能作圆 的两条切线 ，
时（其中 ， 分别是两切线与 的另一交点），总满足 ？若存在，求出圆 的半径 ：
若不存在，请说明理由.
28．（2024·河北·模拟预测）已知平面内定点 是以 为直径的圆 上一动点（ 为坐标原点）．
直线 与点 处 的切线交于点 ，过点 作 轴的垂线 ，垂足为 ，过点 作 轴的垂线 ，垂
足为 ，过点 作 的垂线 ，垂足为 ．
(1)求点 的轨迹方程 ；(2)求矩形 面积的最大值；
(3)设 的轨迹 ，直线 与 轴围成面积为 ，甲同学认为随 的增大， 也会达到无
穷大，乙同学认为随 的增大 不会超过4，你同意哪个观点，说明理由．
29．（2024·湖北·一模）已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为椭圆的左顶点和上
顶点， 为左焦点，且 的面积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程：
(2)设椭圆 的右顶点为 、 是椭圆 上不与顶点重合的动点．
（i）若点 ，点 在椭圆 上且位于 轴下方，直线 交 轴于点 ，设 和 的面积分
别为 ， 若 ，求点 的坐标：
（ii）若直线 与直线 交于点 ，直线 交 轴于点 ，求证： 为定值，并求出此定值
（其中 、 分别为直线 和直线 的斜率）．
30．（2024·山东·模拟预测）设异面直线 与 所成的角为 ，公垂线段为 ，且 ， 、
分别直线m、n上的动点，且 ， 为线段 中点，建立适当的平面直角坐标系可确定点 的
轨迹方程 ．
(1)请根据自己建立的平面直角坐标系求出 ．(2) 为 的任意内接三角形，点 为 的外心，若直线 的斜率存在，分别为 ，
， ， ，证明： 为定值．
