§8.5 椭 圆
考试要求 1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中
的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹．
1 2 1 2
(2)焦点：两个定点F，F.
1 2
(3)焦距：两焦点间的距离|FF|；半焦距：焦距的一半．
1 2
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
范围 － a ≤ x ≤ a 且－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b 且－ a ≤ y ≤ a
A ( － a ,0) ， A ( a ,0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
1 2 1 2
顶点
B (0 ，－ b ) ， B (0 ， b ) B ( － b ,0) ， B ( b ,0)
1 2 1 2
轴长 短轴长为 2 b ，长轴长为 2 a
焦点 F ( － c ,0) ， F ( c ,0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 |FF|＝ 2 c
1 2
对称性 对称轴： x 轴和 y 轴 ，对称中心：原点
离心率 e＝(0<e<1)
a，b，c的关
a2＝b2＋c2
系
微思考
1．在椭圆的定义中，若2a＝|FF|或2a<|FF|，动点P的轨迹如何？
1 2 1 2
提示 当2a＝|FF|时，动点P的轨迹是线段FF；当2a<|FF|时动点P的轨迹是不存在的．
1 2 1 2 1 2
2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示 由e＝＝知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁平；e越小，b越大，椭圆越接
近于圆．
3．焦点弦的弦长最短是什么？
提示 焦点弦中通径(垂直于轴的焦点弦)最短，弦长为.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F，F 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
1 2
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ )
(3)椭圆上一点P与两焦点F ，F 构成△PFF 的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c
1 2 1 2
为椭圆的半焦距)．( √ )
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
题组二 教材改编
2．已知F(－3,0)，F(3,0)，若点P到F，F 的距离之和为10，则P点的轨迹方程是
1 2 1 2
____________．
答案 ＋＝1
解析 因为|PF|＋|PF|＝10>|FF|＝6，所以点P的轨迹是以F，F 为焦点的椭圆，其中a＝
1 2 1 2 1 2
5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.
3．若椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________.
答案 4或8
解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F，F 在x轴上，离心率为.过F
1 2 1
的直线l交C于A，B两点，且△ABF 的周长为16，那么椭圆C的方程为________．
2
答案 ＋＝1
解析 如图，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义可知，|AF|＋|AF|＝2a，|BF|＋|BF|＝2a，又△ABF 的周长为16，
1 2 1 2 2
所以|AF|＋|AF|＋|BF|＋|BF|＝16，
1 2 1 2
即4a＝16，a＝4，又e＝＝，
则c＝2，b＝＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.
5．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F ，F 为顶点的三角形的面
1 2
积等于1，则点P的坐标为__________________．
答案 或
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F(－1,0)，F(1,0)．
1 2
由题意可得点P到x轴的距离为1，
所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，
得x＝±，又x>0，所以x＝，
所以点P的坐标为或.
题组三 易错自纠
6．若方程＋＝1表示椭圆，则m满足的条件是____________________．
答案
解析 由方程＋＝1表示椭圆，
知解得m>且m≠1.
7．已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________．
答案 3或
解析 若a2＝5，b2＝m，则c＝，
由＝，即＝，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，
则c＝.
由＝，即＝，
解得m＝.
综上，m＝3或.
8．已知点A(－2,0)，B(0,1)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，则椭圆C的方程为________；若直
线y＝x交椭圆C于M，N两点，则|MN|＝________.
答案 ＋y2＝1
解析 由题意可知，椭圆C：＋＝1(a>b>0)中，
由点A(－2,0)，B(0,1)且焦点在x轴上，得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1；
设M，N(x>0)，则
1
解得x＝，y＝，x＝－，y＝－，
1 1 2 2
则|MN|＝＝.第 1 课时 椭圆及其性质
题型一 椭圆的定义及应用
例1 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的
垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案 A
解析 连接QA(图略)．
由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r
为长轴长的椭圆．
(2)设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F ，F 分别为C的左、右焦点，且∠FPF ＝60°，
1 2 1 2
则△PFF 的面积为________．
1 2
答案
解析 由题意知，c＝.又∠FPF＝60°，|FP|＋|PF|＝2a，|FF|＝2，
1 2 1 2 1 2
∴|FF|2＝(|FP|＋|PF|)2－2|FP||PF|－2|FP|·|PF|cos 60°＝4a2－3|FP|·|PF|＝4a2－16，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴|FP|·|PF|＝，
1 2
∴ ＝|FP|·|PF|sin 60°＝××＝.
1 2
若将本例(2)中“∠FPF＝60°”改成“PF⊥PF”，求△PFF 的面积．
1 2 1 2 1 2
解 ∵PF⊥PF，
1 2
∴|PF|2＋|PF|2＝|FF|2＝4(a2－4)＝4a2－16，
1 2 1 2
又|PF|＋|PF|＝2a，
1 2
∴|PF|·|PF|＝8，
1 2∴ ＝4.
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值
和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
跟踪训练1 (1)设P是椭圆＋＝1上一点，F ，F 分别是椭圆的左、右焦点，若|PF|·|PF|＝
1 2 1 2
12，则∠FPF 的大小为________．
1 2
答案 60°
解析 由椭圆＋＝1，
可得2a＝8，设＝m，＝n，
可得
化简可得cos∠FPF＝，∴∠FPF＝60°.
1 2 1 2
(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|
PF|的最大值为________，最小值为________．
答案 6＋ 6－
解析 椭圆方程化为＋＝1，
设F 是椭圆的右焦点，则F(2,0)，
1 1
∴|AF|＝，
1
∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF|＋6，
1
又－|AF|≤|PA|－|PF|≤|AF|(当P，A，F 共线时等号成立)，
1 1 1 1
∴|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－.
题型二 椭圆的标准方程
例2 (1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 由题意可知椭圆焦点在x轴上，
所以设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意可知c＝1，e＝＝，
可得a＝2，又a2＝b2＋c2，可得b2＝3，
所以椭圆方程为＋＝1.(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
答案 ＋＝1
解析 方法一 (待定系数法)设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)的坐标代入可得＋＝
1，解得k＝5(k＝21 舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 (定义法)椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
思维升华 (1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|FF|；利用待定系数法要先定形(焦点
1 2
位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(2)椭圆的标准方程的两个应用
①方程＋＝1与＋＝λ(λ>0)有相同的离心率．
②与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，
可使运算简便．
跟踪训练2 (1)(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准
方程可以为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 BD
解析 因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以解得a＝5，b2＝25－16＝9.
所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆方程为
＋＝1.
(2)(2020·泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为 F(－，0)，F(，0)，M 是椭圆上一点，若
1 2
MF ⊥MF ，|MF |·|MF |＝8，则该椭圆的方程是( )
1 2 1 2
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 C
解析 设|MF |＝m，|MF |＝n，
1 2
因为MF ⊥MF ，|MF |·|MF |＝8，|FF|＝2，
1 2 1 2 1 2
所以m2＋n2＝20，mn＝8，
所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.
因为c＝，所以b＝＝2.
所以椭圆的方程是＋＝1.
题型三 椭圆的简单几何性质命题点1 离心率
例3 (1)已知F ，F 是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A
1 2
且斜率为的直线上，△PFF 为等腰三角形，∠FFP＝120°，则C的离心率为( )
1 2 1 2
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设|FF|＝|PF|＝2，则c＝1，
1 2 2
由∠FFP＝120°，
1 2
可得|PB|＝，|BF|＝1，
2
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，所以e＝＝.
(2)过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦
点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据
题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤，
化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0<e<1，
所以0<e≤.故选A.
思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常
用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝ 求解．
(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关
系，从而求得e.命题点2 与椭圆有关的最值(或范围)问题
例4 设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m
的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
答案 A
解析 方法一 设焦点在x轴上，点M(x，y)．
过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．
故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝＝.
又tan∠AMB＝tan 120°＝－，
且由＋＝1，可得x2＝3－，
则＝＝－.
解得|y|＝.
又0<|y|≤，即0<≤，
结合0<m<3解得0<m≤1.
对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.
则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞).故选A.
方法二 当0<m<3时，焦点在x轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得0<m≤1.
当m>3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
故选A.
思维升华 利用椭圆的简单几何性质求值或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．
跟踪训练3 (1)(2020·济南质检)设椭圆E的两焦点分别为F ，F ，以F 为圆心，|FF|为半径
1 2 1 1 2
的圆与E交于P，Q两点．若△PFF 为直角三角形，则E的离心率为( )
1 2
A.－1 B. C. D.＋1
答案 A
解析 不妨设椭圆 E 的方程为＋＝1(a>b>0)，如图所示，∵△PFF 为直角三角形，
1 2
∴PF⊥FF ，又|PF|＝|FF|＝2c，∴|PF|＝2c，∴|PF|＋|PF|＝2c＋2c＝2a，∴椭圆E的离心
1 1 2 1 1 2 2 1 2率e＝＝－1.故选A.
(2)已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足AP＝2PB，则当m＝________时，点B
横坐标的绝对值最大．
答案 5
解析 设B(x，y)，A(x，y)，
0 0 1 1
∴AP＝(－x 1－y)，PB＝(x，y－1)．
1, 1 0 0
∵AP＝2PB，
∴解得
将A，B两点的坐标代入＋y2＝m，
得即
两式相减，得y＝m＋.
0
∴x＝4m－4y＝－m2＋m－，m>1，
∴当m＝－＝5时，x取得最大值，此时|x|最大．
0
课时精练
1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，b＝2，
a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1.
2．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 依题意可知，c＝b，又a＝＝c，
∴椭圆的离心率e＝＝.
3．已知两圆C ：(x－4)2＋y2＝169，C ：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C 内部且和圆C 相内切，
1 2 1 1
和圆C 相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
2
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 设圆M的半径为r，
则|MC |＋|MC |＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C C |，
1 2 1 2
所以M的轨迹是以C ，C 为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，
1 2
所以a＝8，c＝4，b＝＝4，
故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.
4．(2021·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F ，F 分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦
1 2
点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF 的中垂线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是(
1 2
)
A. B. C. D.
答案 D
解析 设P，F(－c,0)，F(c,0)，
1 2
由线段PF 的中垂线过点F 得|PF|＝|FF|，
1 2 2 1 2
即＝2c，
得m2＝4c2－2＝－＋2a2＋3c2≥0，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，
得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，
又0<e<1，故≤e<1.
5．(多选)(2021·湖南省衡阳八中月考)对于曲线C：＋＝1，下面四个说法正确的是( )
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件
D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件
答案 CD
解析 对于A，当1<k<4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；对于B，当k＝2.5时，
4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；对于C，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
解得2.5<k<4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件，所以
C正确；对于D，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1<k<2.5，所以D正确．6．(多选)(2020·海南模拟)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m与椭圆交于A，B两点，则
( )
A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
答案 ACD
解析 设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，
∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
因为|AF|＋|BF|为定值6，∴|AB|的取值范围是(0,6)，
∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；
将y＝与椭圆方程联立，可解得A，B，
又∵F(，0)，∴AF·BF＝＋2＝0，∴AF⊥BF，
∴△ABF为直角三角形，C正确；
将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，
∴S ＝×2×1＝，D正确．
△ABF
7．已知椭圆C：＋＝1，P为椭圆上任意一点．点A(3，m)，B(－3,0)，则|PA|＋|PB|的最小值
为________．
答案
解析 如图，点P为线段AB与椭圆的交点时|PA|＋|PB|最小，其最小值为|AB|＝＝.
8．已知椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标
是________________．
答案 (－3,0)或(3,0)
解析 记椭圆的两个焦点分别为F，F，
1 2
由题意知a＝5，b＝3，|PF|＋|PF|＝2a＝10.
1 2
则m＝|PF|·|PF|≤2＝25，当且仅当|PF|＝|PF|＝5时，等号成立，
1 2 1 2
即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
所以此时点P的坐标为(－3,0)或(3,0)．
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F为椭圆的右焦点，AB为过原点O的弦，则△ABF面积的最大
值为________．答案 b
解析 如图，设E为椭圆的左焦点，则S ＝S ＋S ＝S ＋S ＝S ≤b.
△ABF △AOF △BOF △AOF △AOE △AEF
10．(2019·全国Ⅲ)设F ，F 为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若
1 2
△MF F 为等腰三角形，则M的坐标为________．
1 2
答案 (3，)
解析 不妨令F，F 分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF F 为等腰
1 2 1 2
三角形，所以易知|FM|＝2c＝8，所以|FM|＝2a－8＝4.
1 2
设M(x，y)，则得
所以M的坐标为(3，)．
11.如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F ，F 分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，
1 2
直线AF 交椭圆于另一点B.
2
(1)若∠FAB＝90°，求椭圆的离心率；
1
(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程．
解 (1)若∠FAB＝90°，则△AOF 为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF|，即b＝c.
1 2 2
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题意知A(0，b)，F(1,0)，设B(x，y)，
2
由AF2＝2F2B，得
解得x＝，y＝－.
代入＋＝1，得＋＝1.
即＋＝1，解得a2＝3.
所以椭圆方程为＋＝1.
12．已知F，F 是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠FPF＝60°.
1 2 1 2
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△FPF 的面积只与椭圆的短轴长有关．
1 2
(1)解 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，|PF|＝m，|PF|＝n，则m＋n＝2a.
1 2在△PFF 中，由余弦定理可知，
1 2
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3·2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，∴≥，
即e≥.又0<e<1，∴e的取值范围是.
(2)证明 由(1)知mn＝b2，∴ ＝mnsin 60°＝b2，即△PFF 的面积只与椭圆的短轴长有
1 2
关．
13．已知F ，F 分别是椭圆的左、右焦点，现以F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且
1 2 2
交椭圆于点M，N，若过F 的直线MF 是圆F 的切线，则椭圆的离心率为( )
1 1 2
A.－1 B．2－ C. D.
答案 A
解析 ∵过F 的直线MF 是圆F 的切线，
1 1 2
∴∠FMF ＝90°，|MF |＝c，∵|FF|＝2c，
1 2 2 1 2
∴|MF |＝c，由椭圆定义可得|MF |＋|MF |＝c＋c＝2a，
1 1 2
∴椭圆的离心率e＝＝－1.
14．已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原
点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
答案
解析 如图，左焦点F(－2,0)，右焦点F′(2,0)．
线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，
因此|OM|＝2.
在△FF′P中，OM綊PF′，
所以|PF′|＝4.
根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝6，
所以|PF|＝2.
又因为|FF′|＝4，
所以在Rt△MFF′中，
tan∠PFF′＝＝＝，即直线PF的斜率是.
15．(多选)(2020·德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东
方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星
运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的
变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．
设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论正确的是( )
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星在左半椭圆弧上的运行时间大于其在右半椭圆弧上的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
答案 ABD
解析 根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是，A正确；
当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，运行时间
更长，B正确；
＝＝－1，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误．
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度
最小，D正确．
16．(2021·商洛模拟)如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F，F，过F 的直线交椭
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圆于P，Q两点，且PQ⊥PF.
1
(1)若|PF|＝2＋，|PF|＝2－，求椭圆的标准方程；
1 2
(2)若|PF|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
1
解 (1)由椭圆的定义，2a＝|PF|＋|PF|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
1 2
设椭圆的半焦距为c，由已知PF⊥PF，
1 2
因此2c＝|FF|＝＝＝2，
1 2
所以c＝，从而b＝＝1，
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)连接FQ，如图所示，
1
由椭圆的定义，|PF|＋|PF|＝2a，|QF|＋|QF|＝2a.
1 2 1 2
从而由|PF|＝|PQ|＝|PF|＋|QF|，
1 2 2
有|QF|＝4a－2|PF|.
1 1
设|PF|＝m，所以|QF|＝4a－2m，|QF|＝2m－2a，
1 1 2
|PF|＝2a－m，
2
又由PF⊥PQ，|PF|＝|PQ|，
1 1
所以
即
解得所以e＝＝＝－.
