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§8.5 椭 圆
考试要求 1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中
的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹．
1 2 1 2
(2)焦点：两个定点F，F.
1 2
(3)焦距：两焦点间的距离|FF|；半焦距：焦距的一半．
1 2
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
范围 － a ≤ x ≤ a 且－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b 且－ a ≤ y ≤ a
A ( － a ,0) ， A ( a ,0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
1 2 1 2
顶点
B (0 ，－ b ) ， B (0 ， b ) B ( － b ,0) ， B ( b ,0)
1 2 1 2
轴长 短轴长为 2 b ，长轴长为 2 a
焦点 F ( － c ,0) ， F ( c ,0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 |FF|＝ 2 c
1 2
对称性 对称轴： x 轴和 y 轴 ，对称中心：原点
离心率 e＝(0b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
题组二 教材改编
2．已知F(－3,0)，F(3,0)，若点P到F，F 的距离之和为10，则P点的轨迹方程是
1 2 1 2
____________．
答案 ＋＝1
解析 因为|PF|＋|PF|＝10>|FF|＝6，所以点P的轨迹是以F，F 为焦点的椭圆，其中a＝
1 2 1 2 1 2
5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.
3．若椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________.
答案 4或8
解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F，F 在x轴上，离心率为.过F
1 2 1
的直线l交C于A，B两点，且△ABF 的周长为16，那么椭圆C的方程为________．
2
答案 ＋＝1
解析 如图，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义可知，|AF|＋|AF|＝2a，|BF|＋|BF|＝2a，又△ABF 的周长为16，
1 2 1 2 2
所以|AF|＋|AF|＋|BF|＋|BF|＝16，
1 2 1 2
即4a＝16，a＝4，又e＝＝，
则c＝2，b＝＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.
5．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F ，F 为顶点的三角形的面
1 2
积等于1，则点P的坐标为__________________．
答案 或
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F(－1,0)，F(1,0)．
1 2
由题意可得点P到x轴的距离为1，
所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，
得x＝±，又x>0，所以x＝，
所以点P的坐标为或.
题组三 易错自纠
6．若方程＋＝1表示椭圆，则m满足的条件是____________________．
答案
解析 由方程＋＝1表示椭圆，
知解得m>且m≠1.
7．已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________．
答案 3或
解析 若a2＝5，b2＝m，则c＝，
由＝，即＝，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，
则c＝.
由＝，即＝，
解得m＝.
综上，m＝3或.
8．已知点A(－2,0)，B(0,1)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，则椭圆C的方程为________；若直
线y＝x交椭圆C于M，N两点，则|MN|＝________.
答案 ＋y2＝1
解析 由题意可知，椭圆C：＋＝1(a>b>0)中，
由点A(－2,0)，B(0,1)且焦点在x轴上，得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1；
设M，N(x>0)，则
1
解得x＝，y＝，x＝－，y＝－，
1 1 2 2
则|MN|＝＝.第 1 课时 椭圆及其性质
题型一 椭圆的定义及应用
例1 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的
垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案 A
解析 连接QA(图略)．
由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r
为长轴长的椭圆．
(2)设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F ，F 分别为C的左、右焦点，且∠FPF ＝60°，
1 2 1 2
则△PFF 的面积为________．
1 2
答案
解析 由题意知，c＝.又∠FPF＝60°，|FP|＋|PF|＝2a，|FF|＝2，
1 2 1 2 1 2
∴|FF|2＝(|FP|＋|PF|)2－2|FP||PF|－2|FP|·|PF|cos 60°＝4a2－3|FP|·|PF|＝4a2－16，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴|FP|·|PF|＝，
1 2
∴ ＝|FP|·|PF|sin 60°＝××＝.
1 2
若将本例(2)中“∠FPF＝60°”改成“PF⊥PF”，求△PFF 的面积．
1 2 1 2 1 2
解 ∵PF⊥PF，
1 2
∴|PF|2＋|PF|2＝|FF|2＝4(a2－4)＝4a2－16，
1 2 1 2
又|PF|＋|PF|＝2a，
1 2
∴|PF|·|PF|＝8，
1 2∴ ＝4.
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值
和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
跟踪训练1 (1)设P是椭圆＋＝1上一点，F ，F 分别是椭圆的左、右焦点，若|PF|·|PF|＝
1 2 1 2
12，则∠FPF 的大小为________．
1 2
答案 60°
解析 由椭圆＋＝1，
可得2a＝8，设＝m，＝n，
可得
化简可得cos∠FPF＝，∴∠FPF＝60°.
1 2 1 2
(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|
PF|的最大值为________，最小值为________．
答案 6＋ 6－
解析 椭圆方程化为＋＝1，
设F 是椭圆的右焦点，则F(2,0)，
1 1
∴|AF|＝，
1
∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF|＋6，
1
又－|AF|≤|PA|－|PF|≤|AF|(当P，A，F 共线时等号成立)，
1 1 1 1
∴|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－.
题型二 椭圆的标准方程
例2 (1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 由题意可知椭圆焦点在x轴上，
所以设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意可知c＝1，e＝＝，
可得a＝2，又a2＝b2＋c2，可得b2＝3，
所以椭圆方程为＋＝1.(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
答案 ＋＝1
解析 方法一 (待定系数法)设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)的坐标代入可得＋＝
1，解得k＝5(k＝21 舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 (定义法)椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
思维升华 (1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|FF|；利用待定系数法要先定形(焦点
1 2
位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(2)椭圆的标准方程的两个应用
①方程＋＝1与＋＝λ(λ>0)有相同的离心率．
②与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，
可使运算简便．
跟踪训练2 (1)(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准
方程可以为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 BD
解析 因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以解得a＝5，b2＝25－16＝9.
所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆方程为
＋＝1.
(2)(2020·泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为 F(－，0)，F(，0)，M 是椭圆上一点，若
1 2
MF ⊥MF ，|MF |·|MF |＝8，则该椭圆的方程是( )
1 2 1 2
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 C
解析 设|MF |＝m，|MF |＝n，
1 2
因为MF ⊥MF ，|MF |·|MF |＝8，|FF|＝2，
1 2 1 2 1 2
所以m2＋n2＝20，mn＝8，
所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.
因为c＝，所以b＝＝2.
所以椭圆的方程是＋＝1.
题型三 椭圆的简单几何性质命题点1 离心率
例3 (1)已知F ，F 是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A
1 2
且斜率为的直线上，△PFF 为等腰三角形，∠FFP＝120°，则C的离心率为( )
1 2 1 2
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设|FF|＝|PF|＝2，则c＝1，
1 2 2
由∠FFP＝120°，
1 2
可得|PB|＝，|BF|＝1，
2
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，所以e＝＝.
(2)过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦
点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据
题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤，
化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又03时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
故选A.
思维升华 利用椭圆的简单几何性质求值或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．
跟踪训练3 (1)(2020·济南质检)设椭圆E的两焦点分别为F ，F ，以F 为圆心，|FF|为半径
1 2 1 1 2
的圆与E交于P，Q两点．若△PFF 为直角三角形，则E的离心率为( )
1 2
A.－1 B. C. D.＋1
答案 A
解析 不妨设椭圆 E 的方程为＋＝1(a>b>0)，如图所示，∵△PFF 为直角三角形，
1 2
∴PF⊥FF ，又|PF|＝|FF|＝2c，∴|PF|＝2c，∴|PF|＋|PF|＝2c＋2c＝2a，∴椭圆E的离心
1 1 2 1 1 2 2 1 2率e＝＝－1.故选A.
(2)已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足AP＝2PB，则当m＝________时，点B
横坐标的绝对值最大．
答案 5
解析 设B(x，y)，A(x，y)，
0 0 1 1
∴AP＝(－x 1－y)，PB＝(x，y－1)．
1, 1 0 0
∵AP＝2PB，
∴解得
将A，B两点的坐标代入＋y2＝m，
得即
两式相减，得y＝m＋.
0
∴x＝4m－4y＝－m2＋m－，m>1，
∴当m＝－＝5时，x取得最大值，此时|x|最大．
0
课时精练
1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，b＝2，
a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1.
2．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 依题意可知，c＝b，又a＝＝c，
∴椭圆的离心率e＝＝.
3．已知两圆C ：(x－4)2＋y2＝169，C ：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C 内部且和圆C 相内切，
1 2 1 1
和圆C 相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
2
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 设圆M的半径为r，
则|MC |＋|MC |＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C C |，
1 2 1 2
所以M的轨迹是以C ，C 为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，
1 2
所以a＝8，c＝4，b＝＝4，
故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.
4．(2021·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F ，F 分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦
1 2
点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF 的中垂线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是(
1 2
)
A. B. C. D.
答案 D
解析 设P，F(－c,0)，F(c,0)，
1 2
由线段PF 的中垂线过点F 得|PF|＝|FF|，
1 2 2 1 2
即＝2c，
得m2＝4c2－2＝－＋2a2＋3c2≥0，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，
得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，
又0b>0)，F为椭圆的右焦点，AB为过原点O的弦，则△ABF面积的最大
值为________．答案 b
解析 如图，设E为椭圆的左焦点，则S ＝S ＋S ＝S ＋S ＝S ≤b.
△ABF △AOF △BOF △AOF △AOE △AEF
10．(2019·全国Ⅲ)设F ，F 为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若
1 2
△MF F 为等腰三角形，则M的坐标为________．
1 2
答案 (3，)
解析 不妨令F，F 分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF F 为等腰
1 2 1 2
三角形，所以易知|FM|＝2c＝8，所以|FM|＝2a－8＝4.
1 2
设M(x，y)，则得
所以M的坐标为(3，)．
11.如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F ，F 分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，
1 2
直线AF 交椭圆于另一点B.
2
(1)若∠FAB＝90°，求椭圆的离心率；
1
(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程．
解 (1)若∠FAB＝90°，则△AOF 为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF|，即b＝c.
1 2 2
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题意知A(0，b)，F(1,0)，设B(x，y)，
2
由AF2＝2F2B，得
解得x＝，y＝－.
代入＋＝1，得＋＝1.
即＋＝1，解得a2＝3.
所以椭圆方程为＋＝1.
12．已知F，F 是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠FPF＝60°.
1 2 1 2
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△FPF 的面积只与椭圆的短轴长有关．
1 2
(1)解 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，|PF|＝m，|PF|＝n，则m＋n＝2a.
1 2在△PFF 中，由余弦定理可知，
1 2
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3·2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，∴≥，
即e≥.又0b>0)的左、右焦点分别为F，F，过F 的直线交椭
1 2 2
圆于P，Q两点，且PQ⊥PF.
1
(1)若|PF|＝2＋，|PF|＝2－，求椭圆的标准方程；
1 2
(2)若|PF|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
1
解 (1)由椭圆的定义，2a＝|PF|＋|PF|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
1 2
设椭圆的半焦距为c，由已知PF⊥PF，
1 2
因此2c＝|FF|＝＝＝2，
1 2
所以c＝，从而b＝＝1，
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)连接FQ，如图所示，
1
由椭圆的定义，|PF|＋|PF|＝2a，|QF|＋|QF|＝2a.
1 2 1 2
从而由|PF|＝|PQ|＝|PF|＋|QF|，
1 2 2
有|QF|＝4a－2|PF|.
1 1
设|PF|＝m，所以|QF|＝4a－2m，|QF|＝2m－2a，
1 1 2
|PF|＝2a－m，
2
又由PF⊥PQ，|PF|＝|PQ|，
1 1
所以
即
解得所以e＝＝＝－.
