文档内容
专题 9-1 圆锥曲线（选填）
目录
专题9-1圆锥曲线（选填）....................................................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：椭圆、双曲线、抛物线定义问题............................................................................................1
题型二：椭圆、双曲线离心率问题........................................................................................................6
题型三：椭圆、双曲线中焦点三角形面积问题..................................................................................12
题型四：椭圆、双曲线中焦点三角形的其它问题..............................................................................16
题型五：抛物线上点与定点距离最值..................................................................................................20
题型六：直线与椭圆，双曲线，抛物线位置关系..............................................................................25
题型七：中点弦问题..............................................................................................................................29
题型八：弦长和面积问题......................................................................................................................34
................................................................40
一、单选题..............................................................................................................................................40
二、多选题..............................................................................................................................................46
三、填空题..............................................................................................................................................49
四、双空题..............................................................................................................................................51
题型一：椭圆、双曲线、抛物线定义问题
【典例分析】
例题1．（2022·浙江·金华市江南中学高二期末）已知 为圆 的一个
动点，定点 ，线段 的垂直平分线交线段 于 点，则 点的轨迹方程为
（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，作图如下：
易知 ，则 ，即 ，
故点 的轨迹是以 为焦点且长轴长为6的椭圆，
设其方程为 ，则 ，则 ，
故 ，则椭圆方程为： .
故选：C.
例题2．（2022·福建·厦门外国语学校石狮分校高二期中）已知点 是抛物线 上的
动点，焦点为 ，点 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】∵ ，则 ，
∴焦点 ，准线l方程 ，点 在抛物线上方，
设过A作l的垂线，垂足为E，∴由抛物线的定义知， ，
如图所示，∴ ，当且仅当B、A、E三点共线时取等号，
当B、A、E三点共线时， ，故 的最小值为 ，
故选：C.
例题3．（2022·黑龙江实验中学高二期中）已知直线 ： ，抛物线
上一动点 到直线 的距离为 ，则 的最小值是______．
【答案】1
【详解】 抛物线 ，
抛物线的准线为 ，焦点 ，
过点 作直线 的垂线交于点 ，如图所示：
由抛物线的定义可知， ，
则 ，当 ， ， 三点共线时， 取得最小值，即 取得最小值，
．
故答案为：
【提分秘籍】
(| PF |+| PF |=2a>|F F |)
①平面内一个动点 到两个定点F 、F 的距离之和等于常
P 1 2 1 2
1 2
这个动点P的轨迹叫椭圆. 这两个定点（ , ）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（
）
叫作椭圆的焦距.
②一般地,我们把平面内与两个定点 , 的距离的差的绝对值等于非零常数(
)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
③抛物线的定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （其中定点 不在定直线 上）的
距
离相等的点( )的轨迹叫做抛物线，定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做
抛物线的准线．
【变式演练】
1．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知双曲线 上一点P到焦点
的距离为9，则它到另一个焦点 的距离为（ ）
A．15 B．5 C．3或5 D．3或15
【答案】D
【详解】由双曲线的定义可知 ，而 ，所以 ，或 ，由 ，
双曲线上的点到焦点的距离最小值为 ，
显然 和 都符合题意，
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 的圆心为A，过点B 的直线l
交圆A于C、D两点，过点B作AC的平行线，交直线AD于点E，则点E的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【详解】圆 的圆心为A ，半径为r＝1，
因为BE∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，又|AC|＝|AD|＝1，所以∠ACD＝∠ADC，
则∠EBD＝∠ADC，即|EB|＝|ED|，所以||EB|﹣|EA||＝||ED|﹣|EA||＝|AD|＝1＜2＝|AB|，
所以点E的轨迹是双曲线．
故选： .
3．（2022·吉林·长春市文理高中有限责任公司高二期中）点M在椭圆 上， 是
椭圆的左焦点，O为坐标原点，N是 中点，且ON长度是4，则 的长度是
__________．
【答案】
【详解】设椭圆右焦点为 ，连接由已知得 ，则
因为N是 中点， 为 的中点，
，
再根据椭圆定义得
故答案为： .
4．（2022·上海市朱家角中学高一期末）已知双曲线 的左右两个焦点分别是
，双曲线上一点 满足 ，则 _____．
【答案】
【详解】在双曲线 中， ， ， ，因为 ，
所以点 只能在左支上，则 ，得 ，
故答案为：18
题型二：椭圆、双曲线离心率问题
【典例分析】
例题1．（2022·福建·福州四中高三阶段练习）设椭圆 的左、右
焦点分别为 ， ，点 ， 在 上（ 位于第一象限），且点 ， 关于原点
对称，若 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】依题意作图，由于 ，并且线段MN， 互相平分，
∴四边形 是矩形，其中 ， ，
设 ，则 ，
根据勾股定理， ， ，
整理得 ，
由于点M在第一象限， ，
由 ，得 ，即 ，
整理得 ，即 ，解得 ．
故选：C．
例题2．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知双曲线 的左右焦
点分别为 ， 是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线 与 轴的正半轴交于
点，三角形 的内切圆在边 上的切点为 ，双曲线的左焦点 到双曲线的一条渐
近线的距离为 ， ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】假设直线 ， 与圆的切点分别为 ， ，
由对称性可知 ，容易得 ， ， ，
因为点 在双曲线的右支，由双曲线的定义得
，
所以 ，
又因为双曲线的左焦点 到双曲线的一条渐近线的距离为 ，
设一条准线为： ，则焦点到准线距离 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ，
故选：A ．
例题3．（2022·陕西·长安一中高三期中（文））设椭圆 ： 的右
焦点为 ，椭圆 上的两点 ， 关于原点对称，且满足 ，
，则椭圆 的离心率的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】如图所示：设椭圆的左焦点 ，由椭圆的对称性可知，
四边形 为平行四边形，又 ，即 ，
所以平行四边形 为矩形，所以 ，
设 ， ， 在直角 中， ， ，
得 ，所以 ，
令 ，得 ，又由 ，得 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以离心率最大值为 .
故选：D
【提分秘籍】
①直接法：若已知条件可直接利用 求解.
②构造齐次式：根据已知条件，可以通过几何法或者代数法，建立齐次方程（不等式），
再同除以 （或 ），构造关于 的方程（不等式）进行求解。
【变式演练】
1．（2022·贵州·遵义一中高二阶段练习）已知椭圆C： 的左、右焦点
分别为 (-c，0)， (c，0)，若椭圆C上存在一点M使得 的内切圆半径为 ，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 的面积为 .
因为 的内切圆半径为 ，所以 的面积可表示为 .
所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
两边平方得： ，
而 ，所以 ，整理得： ,
因为离心率 ，所以 ，解得： .
故选：A.
2．（2022·重庆八中模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦点为 ，点
，若双曲线的左支上存在一点 ，使得 ，则双曲线 的离心率的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
设双曲线左焦点为 ，因为点 在双曲线左支上，所以有 ，
即 .
由已知得，存在点 ，使得 ，即 ，显然 ，所以
.
又 ，即当点 位于图中 位置时，等号成立，
所以 ，又 ，
所以 ，整理可得， ，解得 或 （舍去），
所以 ，则 ，则 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
3．（2022·贵州·高三阶段练习（文））双曲线C： （ ， ）的左、右焦
点分别为 ， ，点P在双曲线C的右支上，若 ，
，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2或3 B．3 C．3或 D．2或
【答案】A
【详解】设 ，则 ，因为点P在双曲线C的右支上，所以 ，所以 ，则 ，由
，
由正弦定理和余弦定理，可得：
或 ，
故选：A
题型三：椭圆、双曲线中焦点三角形面积问题
【典例分析】
例题1．（2022春·宁夏·高二六盘山高级中学校考阶段练习）已知 、 是椭圆
的左右焦点，点 是椭圆上的一点，若 ，则 ____．
【答案】
【详解】解：由题知 ，所以 ，
因为点 是椭圆上的一点，若 ，
所以 ，
因为 ，
所以 中，
所以 ，
所以
故答案为：
例题2．（2022春·河南郑州·高二新密市第一高级中学校考阶段练习）已知焦点为 ，
的双曲线 的离心率为 ，点 为 上一点，且满足 ，若 的面积为 ，则双曲线 的实轴长为________
【答案】
【详解】由题意，
由双曲线定义可知，
又
又
又
故双曲线 的实轴长为
故答案为： .
【提分秘籍】
椭圆，双曲线焦点三角形面积公式常涉及到的公式有：
①椭圆，双曲线定义
②
③余弦定理：
④基本不等式：
【变式演练】
1．（2022春·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考期中）若P是 上的一点， 是其焦点，若 ，则 的面积为________．
【答案】 ##
【详解】根据椭圆的定义有 ①， ，
根据余弦定理得 ，②
结合①②解得 ，所以 的面积
，
故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为椭圆 的左右焦
点， 为坐标原点，椭圆上存在一点 ，使得 ，设 的面积为 ，若
，则该椭圆的离心率为___________.
【答案】
【详解】由题意 ，故 为直角三角形
又 ，
又 为直角三角形，故
即故答案为：
3．（2022秋·河南·高二临颍县第一高级中学校联考阶段练习）已知 ， 分别为双曲线
的左、右焦点，P是双曲线C上一点，若 的周长为 ，则
的面积为______．
【答案】60
【详解】由题可知 ，则 ．
根据对称性，不妨设P在双曲线C的右支上，
则 ，解得 ， ．
在 中，由余弦定理知， ，
因为
所以 ，
则 的面积为 ．
故答案为：60
4．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知 是双曲线 的
两个焦点，P为双曲线C上的一点.若 为直角三角形，则 的面积等于
______________.
【答案】 或9##9或
【详解】由 ，得 ，则 ，所以 ，
由双曲线的对称性，不妨设点 在双曲线的右支上，
若 时，当 时， ，得 ，所以 ，
所以 的面积为 ，
当 时，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的面积为 ，
综上所述， 的面积为 或9，
故答案为： 或9，
题型四：椭圆、双曲线中焦点三角形的其它问题
【典例分析】
例题1．（2022江苏常州·高二统考期中）已知椭圆 ： 的上顶点为 ，两个
焦点为 ， .过 且垂直于 的直线与 交于 两点，则 的周长
为.________.
【答案】
【详解】由 ，得 ， ， ，
解得 ， ，因为椭圆 的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，所以 ，
所以 ，即 为等边三角形，
因为过 且垂直于 的直线与 交于 两点，
所以
由椭圆的定义可知， ， ,
所以 的周长为 .
故答案为：
例题2．（2022春·福建莆田·高二莆田二中校考阶段练习）已知双曲线
的离心率为2， 的左右焦点分别为 ， ，点 在 的右支
上， 的中点 在圆 上，其中 为半焦距，则 ______．
【答案】 ##
【详解】解：如图所示：
连接 ，
则 是 的中位线，
又因为 ，
所以 ，
由双曲线的定义可得 ，又因为双曲线的离心率为2，
所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得： .
故答案为：
【提分秘籍】
椭圆，双曲线焦点三角形面积公式常涉及到的公式有：
①椭圆，双曲线定义
②
③余弦定理：
④基本不等式：
【变式演练】
1．（2022天津和平·高二天津市汇文中学校考期中）已知椭圆 的左右焦点为
，过点 的直线交椭圆 于 两点，则 的周长为______．
【答案】
【详解】解：根据椭圆的定义， ，
∴ 的周长为 ，
∵ ，∴ 的周长为 .
故答案为： .
2．（2022湖北·高二校联考期中）如图， ， 分别是椭圆的左、右焦点，点P是以
为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 与椭圆交于点Q，若 ，
则直线 的斜率为_______．【答案】
【详解】如图，连接 .
设 （ ），则 .
因为 ， ，所以 ， .
在 中， ，所以 ，即
，整理得 ，所以 ，所以直线 的斜率为
．
故答案为：-2.
3．（2022福建泉州·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知 为双曲线
的左、右焦点， 为C的左、右顶点，P为C左支上一点，若PO平分
，直线 与 的斜率分别为 ，且 ，则C的离心率等于
_______．
【答案】2
【详解】如图所示： ， ，易知： ，
而 ，
又 ，所以有 ，
过点 作 轴，垂足为 ，
因为 ，所以 和 关于 对称，
即有 ， ，
又因为 ，解得： ，
， ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ， ，
所以在Rt 中， ，即 ，
化简得： ，即离心率 .
故答案为：2
题型五：抛物线上点与定点距离最值
【典例分析】
例题1．（2022湖北襄阳·高二校考阶段练习）设定点 ，抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，若 的最小值为 ，则实数 的值为__________
【答案】 或
【详解】①若 在抛物线内部，如下图，
过 作 垂直准线，由抛物线的定义有， ，
所以当 ， ， 三点共线时， 最小，
因为准线方程为 ，
所以 ，解得 ；
若 在抛物线的外部，则当 ， ， 共线，且 在 ， 之间时， 最
小， ，则 的最小值为 ，
解得 或 ，
由于 时， 在抛物线的内部，所以舍去，
综上， 或 ．
故答案为： 或 ．
例题2．（2022春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期中）已知抛物线 的焦
点是 ，点 ，若抛物线上存在一点 使得 最小，则 点的横坐标为
______.
【答案】 ##0.5
【详解】抛物线 的焦点 ，准线 ，显然点 在抛物线内，过点A
作 于点N，交抛物线于M，连MF，如图，
在抛物线上取点 ，过 作 于 ，连接 ，有
，
则有 ，当且仅当点
与M重合时取等号，
因此 ，此时点M的纵坐标为2，则其横坐标 ，
所以M点的横坐标为 .故答案为：
【提分秘籍】
抛物线的选填问题，主要涉及到抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离 抛物线上点
到准线距离；注意解题时相互转化；
【变式演练】
1．（2022秋·河南平顶山·高二统考期末）已知抛物线 ， 为该抛物线上一
点，B为圆 上的一个动点，则 的最小值为___________.
【答案】3
【详解】由题意得： ,抛物线 焦点为 ，准线为 ，
则
,当A,F,C三点共线时取等号，
而 ，故 的最小值为 ，
故答案为：3
2．（2022·四川达州·统考一模）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线
的焦点为 ， 点 是抛物线上的一动点， 则 的最小值是__________.
【答案】 ##【详解】
抛物线的准线方程为 ，
过点 作 垂直准线于点 ，
显然，当 平行于 轴时，
取得最小值，此时 ，
此时
故答案为: .
3．（2022春·四川眉山·高二眉山中学校考期中）已知 为抛物线 上任意一点，抛物
线的焦点为 ，点 是平面内一点，则 的最小值为_____________．
【答案】6
【详解】由抛物线 得 ，则 ，准线方程为 ，作 准线 ，
为垂足，如图，
由抛物线的定义可得 ，
显然当 三点共线时， 取得最小值为 ，所以 的最小值是6．
故答案为：6．
题型六：直线与椭圆，双曲线，抛物线位置关系
【典例分析】
例题1．（2022春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）若直线
和圆 没有公共点，则过点 的直线与椭圆 的交点个
数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【答案】C
【详解】因为直线 和圆 没有交点，
所以圆心 到直线 的距离 ，
可得： ，
即点 在圆 内，
又因为圆 内切于椭圆 ，
所以点 在椭圆 内，
即过点 的直线与椭圆 有两个交点.故选：C.
例题2．（2022春·江西赣州·高二赣州市第三中学校考期中）已知直线 与双
曲线 有且仅有一个公共点，则实数 的取值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【详解】因为双曲线 的方程为 ，所以渐近线方程为 ；
由 ，消去 整理得 ．
①当 即 时，此时直线 与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一
点，符合题意；
②当 即 时，由 ，解得 ，
此时直线 双曲线相切于一个公共点，符合题意，
综上所述：符合题意的 的所有取值为 或 ，
故选：D
例题3．（2022春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，
点 到点 的距离比它到 轴的距离多 ，记点 的轨迹为 ．直线
与轨迹恰好有两个公共点，则 的取值范围是__________．
【答案】
【详解】设点 ，则 ，即 ，
整理可得： ， ；记 ， ，
当 时， 与 有且仅有一个交点，与 无交点， 与 有且仅有一个交点，不
合题意；
当 时： ，
由 得： ；
由 得： ，即 ，则 ；
①当 ，即 或 时， 与 有一个交点，
与 有且仅有一个交点， ，解得： 或 ；
②当 ，即 时， 与 无交点，
与 有两个不同交点， ，解得： ， ；
综上所述： 的取值范围为 .
故答案为： .
【提分秘籍】
直线圆锥曲线的位置关系，主要使用代数法，即联立直线方程与圆锥曲线方程，通过消
元，利用 进行判断.
【变式演练】
1．（2022·高二课时练习）已知 ，则直线 与椭圆 的位置
关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能
【答案】A
【详解】解：因为 ，所以直线 可化为 ，
所以，直线 过定点 ，
因为点 在椭圆 内部，
所以，直线 与椭圆 的位置关系是相交.
故选：A
2．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线 上的点到
焦点的最小距离为 ，且 与直线 无交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设双曲线 上一点 ，设点双曲线 的右焦点为 ，
若 取最小值，则点 在双曲线 的右支上，则 ，
则
，
当且仅当 时，等号成立，
联立 可得 ，
因为 与直线 无交点，则 ，即 ，因为 ，解得 .
故选：B.
3．（2022秋·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）过抛物线 上的点
且与抛物线只有一个公共点的直线的方程为_________.
【答案】 或
【详解】由题，当直线斜率存在时，设直线为 ，联立 ，
可得 ，
因为直线与抛物线只有一个公共点，所以 ，所以 ，
则直线为 ，即 ；
当直线斜率不存在时，直线 与抛物线也只有一个公共点，
故答案为： 或
题型七：中点弦问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高二假期作业）已知双曲线 ，过点 的直线 与该
双曲线相交于 两点，若 是线段 的中点，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．该直线不存在
【答案】D
【详解】解：设 ，且 ，代入双曲线方程得 ，两式相减
得：若 是线段 的中点，则 ，所以 ，即直线 的斜率为
，
所以直线 方程为： ，即 ；
但联立 ，得 ，则 ，方程无解，所以直
线 不存在.
故选：D.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 在抛物线 上，且线段 的中
点为 ，则 ＝（ ）
A．4 B．5
C． D．
【答案】C
【详解】由题意，设
线段AB的中点为M(1，1)
故
且
两式相减得：
故
故直线AB的方程为： ，即
将直线与抛物线联立：即
则
故选：C
例题3．（2022春·河南·高二校联考期中）已知椭圆 的离心率
为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 与直线 的交点恰好为线段 的
中点，则直线 的斜率为______．
【答案】 ##0.5
【详解】由题意可得 ，整理可得 ．
设 ， ，则 ， ，两式相减可得
．
因为直线 与直线l的交点恰好为线段AB的中点，所以 ，
则直线l的斜率 ．
故答案为： .
【提分秘籍】
点差法（注意要回代检验）
x y
2 2
设直线和曲线的两个交点 ， ，代入椭圆方程，得 1 + 1 =1；
A(x
1
,y
1
) B(x
2
,y
2
) a2 b2x y
2 2
2 + 2 =1；
a2 b2
x
2
−x
2
y
2
−y
2 (x +x )(x −x ) (y +y )(y −y )
将两式相减，可得 1 2 + 1 2 =0； 1 2 1 2 =− 1 2 1 2 ；
a2 b2 a2 b2
a2 (y +y )(y −y ) a2 y
最后整理得：1=− 1 2 1 2 1=−k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0
a2 (y +y )(y −y ) a2 y
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1= 1 2 1 2 1=k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0
设直线和曲线的两个交点A(x 1 ,y 1 )，B(x 2 ,y 2 )，代入抛物线方程，得 y 1 2 =2px 1；
y =2px
2 2；
2
y −y 2p
1 2
将两式相减，可得 ；整理得： =
(y −y )(y +y )=2p(x −x ) x −x y +y
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
【变式演练】
1．（2022·高二课时练习）已知直线 交椭圆 于 两点，定点 ，若
的重心为椭圆的右焦点，则直线 的方程为______．
【答案】
【详解】解：由题知，椭圆的右焦点为 ，设 ，
因为 的重心为 ，所以 ，
所以 ，即 的中点为 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以， ，所以，直线 的方程为 ，即 .
故答案为：
2．（2022春·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知双曲线 和斜率为 的直线l交于
A，B两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标 满足的方程是________.
【答案】
【详解】设 ， ，
则 两式相减，
得 .
因为 ， 的坐标为 ，
所以 ，
又直线 的斜率为 ，所以 ，即 .
故答案为：
3．（2022春·北京东城·高三北京二中校考阶段练习）已知A，B是抛物线 上的
两点，线段AB的中点为 ，则直线AB的方程为__________．
【答案】
【详解】依题意，设 ，
若 ，则直线 ，由抛物线的对称性可知，线段AB的中点为 ，显然不符
合题意，故 ，
因为A，B是抛物线 上的两点，所以 ，两式相减得， ，整理得 ，
因为线段AB的中点为 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以直线AB的方程为 ，即 .
故答案为： .
题型八：弦长和面积问题
【典例分析】
例题1．（2022春·四川乐山·高三期末）斜率为1的直线 与椭圆 相交于 ，
两点，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】设A，B两点的坐标分别为 ，直线l的方程为y＝x＋t，
由 消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，
则x＋x＝ ，xx＝ ，
1 2 1 2
∴|AB|＝ |x－x|＝
1 2
＝ ＝ · ，
当t＝0时，|AB| ＝ ．
max故选：C.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，过原点
的直线与双曲线 交于 ， 两点，且 ，则 的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，
依题可知，四边形 为平行四边形.
由 可得 ， .
在 中，由余弦定理可得： ，
即 ，①
又因为点 在双曲线上，则 ，
所以 ，②
两式相减得 ，即 ，
所以 ，
也即为 的面积，故选：C.
例题3．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过抛物线
上一点 作抛物线 的切线 ，若 与 轴交于点 ， 与抛物线 的一个交点为
（异于点 ），则 的面积为（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】B
【详解】解：把 代入 ，可得 ，则抛物线方程为 ，所以
由题可知切线 的斜率存在，设切线 的方程为 ，代入 ，可得
，
由 ，解得 ，故切线 的方程为 ，所以
又 ，所以直线AF的方程为 ，
由 可得 或 ，故 ，
所以 ，又点 到直线AC的距离 ，
故 的面积 .
故选：B.【提分秘籍】
①弦长公式：|AB|= √ (x −x ) 2 +( y −y ) 2 = √ (x −x ) 2 +(kx−kx ) 2
1 2 1 2 1 2 1 2
= √1+k2 |x −x |= √1+k2√ (x +x ) 2 −4x x
1 2 1 2 1 2
或：
②面积公式： （其中底可以选择弦长，利用弦长公式求解，高可以利用点
到
直线的距离公式求解）
③面积也可以通过分割求解.
【变式演练】
1．（2022春·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期中）已知从椭圆 ：
的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线交C的另一个焦点
，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，E，F分别为椭圆的左右焦
点，动点P满足 ，若 的面积的最大值为 ，则 面积的最小值为
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】设 ，不妨令 ， ，
故 ，整理得： ，
点轨迹为圆，圆心为 ，半径为 ，
由题意得： ，则 点到 轴的距离最大值为 ，
所以 ，解得： ，
故 ，
则 ，
则 点到 轴的距离最小值为 ，
故 面积的最小值为 .
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C： －y2＝1相交于
A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【详解】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的
方程为y＝k(x－4)＋2.由 消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋
32k－10＝0.设A(x，y)，B(x，y)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x＋x＝－
1 1 2 2 1 2
＝8，解得k＝1.
所以xx＝ ＝10.
1 2
所以|AB|＝ · ＝4 .
故选:D.解法二：设A(x，y)，B(x，y)，则 ， ①
1 1 2 2
. ②
①－②得 (x－x)(x＋x)－(y－y)(y＋y)＝0.
1 2 1 2 1 2 1 2
因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x＋x＝8，y＋y＝4.
1 2 1 2
所以4(x－x)－4(y－y)＝0，即x－x＝y－y，所以直线AB的斜率k＝ ＝1.则直线
1 2 1 2 1 2 1 2
AB的方程为y＝x－2.
由 消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x＋x＝8，xx＝10.所以|AB|＝ · ＝4 .
1 2 1 2
故选：D
3．（2022秋·江西九江·高二九江一中校考阶段练习）已知抛物线C： 的焦点为
F，若直线l过点F，且与抛物线C交于A、B两点，过点A作直线 的垂线，垂足为
点M，点N在y轴上，线段AF、MN互相垂直平分，则 （ ）
A． B． C．16 D．32
【答案】B
【详解】抛物线C： 的焦点为F，准线为 ，根据对称性可设A在第二象限
如图所示，因为AF，MN互相垂直平分，所以四边形AMFN为菱形，
又由抛物线定义可知 ，故△AMF为正三角形，从而 ，
所以直线 的倾斜角为 ，则 的方程为：
设 ，由 可得
所以 ，所以
故选：B
一、单选题
1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B【详解】把双曲线的方程 化为标准方程为 ，
由此可知，实半轴 ，虚半轴 ， ，
所以双曲线的离心率为 .
故选：B.
2．（2022·四川达州·统考一模）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大
教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形
弧线的一段近似看成双曲线 下支的一部分，且此双曲线的下焦点
到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设双曲线的一个焦点为 ，一条渐近线方程为 ，
则焦点到渐近线的距离 ，
所以 ，即双曲线方程为： .故选：B
3．（2022·四川南充·统考一模）已知直线 与椭圆 恒有公共点，则
实数m的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】直线 过定点 ，
所以 ，解得 ①.
由于方程 表示椭圆，所以 且 ②.
由①②得 的取值范围是 .
故选：C
4．（2022·上海虹口·统考一模）已知 是椭圆 与抛物线
的一个共同焦点， 与 相交于A，B两点，则线段AB的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】椭圆 的右焦点坐标为 ，
则抛物线 的焦点坐标为 ，
则 ，则 ，抛物线由 ，解得 或
则
故选：B
5．（2022·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中， 分别是双曲线
的左､右焦点，过 作渐近线的垂线，垂足为 ，与双曲线的右
支交于点 ，且 ， ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设 ，其中 ，
则焦点 到渐近线 的距离
又因为 ，所以 ，又 ，得 .
则在 中，有 ， ， .
则由余弦定理得
则渐近线方程 .故选：C
6．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知抛物线 的焦点是 ，点 是
其准线 上一点，线段 交抛物线 于点 ，当 时， 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】抛物线 的焦点是 ，设点 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
代入抛物线方程 得 ，
所以 ，即 ，
的面积为 .
故选：A.
7．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为
， ，点M在双曲线C的右支上， ，若 与C的一条渐近线l垂直，垂足为
N，且 ，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为 ， ，且 为 中点，所以 ，且
，
因为 ，所以 ，解得 ，
直线l的方程为 ，所以 ，则 ，在直角三角形
中利用勾股定理得 ，解得 ，所以双曲线的标准方程为 .
故选：C.
8．（2022·江苏南京·模拟预测）已知 为坐标原点，抛物线 ： .过点 （
）的直线 与 交于 ， 两点，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，则 ，
因为 所以 ，即 ，
解得： ，因为 ，所以 ；
当直线 的斜率 存在时，则 ，设直线 的方程为 ， ，由
消去 ，得 ，所以 ，因为 ，所以 ，
即 ，
解得： ，又因为 ，所以 ，
综上可知：实数 的取值范围为 ，
故选： .
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线 的准线 与 轴相交于点
，过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线 相交于 两点，且 两点在准线上的投影
点分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最小值为4
C． 为定值 D．
【答案】ABD
【详解】对于A，因为抛物线 的准线 ，
所以 ，则 ，故A正确；
对于 ，抛物线 ，过焦点的直线为 ，则 ，
整理可得 ，设 ，
可得 ， ，
，
所以 ，当 时取等号，最小值为4，所以 正确；
对于C， ，
所以
所以 ，所以C不正确；
对于D， ， ， ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
10．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别是 ，左、右顶点分别是 ，点 是椭圆 上异于的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点 满足
C．直线 与直线 的斜率之积为
D．若 的面积为 ，则点 的横坐标为
【答案】ACD
【详解】依题意 ，
所以 ，A选项正确.
，“ ” 中的等号成立的条件是 ，
所以不存在 满足 ，B选项错误.
设 ，
，
，C选项正确.
， ，
，D选项正确.故选：ACD
三、填空题
11．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线
的左顶点为 ， 右焦点 ， 若直线 与该双曲线交于
两点， 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________
【答案】2
【详解】联立 ， 可得 ， 则 ，
因为点 关于 轴对称， 且 为线段 的中点， 则 .
又因为 为等腰直角三角形， 所以， ， 即 ，
即 ， 所以， ， 可得 ，
因此， 该双曲线的离心率为 ．
故答案为：212．（2022·上海长宁·统考一模）已知 ， 为椭圆 ： 的左右焦点，A
为 的上顶点，直线l经过点 且与 交于B，C两点；若l垂直平分线段 ，则 ABC
的周长是___________. △
【答案】 ## .
【详解】如图，连接 ，
因为l垂直平分线段 ，
所以 ，
所以 ABC的周长为 ，
△
由题意得 ，则
的中点为 ， ，
所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
因为直线 过 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ABC的周长为 ，
△
故答案为： .四、双空题
13．（2022·河南新乡·统考一模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为
， ，P为椭圆C上异于左、右顶点的任意一点， ， 的中点分别为M，N，O为
坐标原点，四边形OMPN的周长为4b，则椭圆C的离心率为______；若椭圆C过点
，过点 作直线l与椭圆C交于A，B两点，则 的最大值与最小值的
和为______．
【答案】 ## ； ## .
【详解】因为M，O分别为 ， 的中点，
所以 ， ，则四边形OMPN是平行四边形，
所以 ，所以 ，
所以 ．
因为椭圆C过点 ，所以 ．因为 ，所以 ， ， ，
所以椭圆C的方程为 ．
设直线l的方程为 ，联立方程组 ，
得 ．
设 ， ，则 ， ．
因为
，
所以 ．
令 ，则 ．
因为 ，所以 ．
设 的最大值与最小值分别为 ， ，
则 ， 是方程 的两根，
所以 ．
故答案为： ； .
14．（2022·北京海淀·首都师范大学附属中学校考三模）已知双曲线 的焦点为
，实轴长为2，则双曲线 的离心率是___________；若点 是双曲线
的渐近线上一点，且 ，则 的面积为___________.
【答案】 2【详解】因为双曲线 的焦点为 ，实轴长为2，所以 ，所以离
心率 .
因为 ，所以 ，
所以直线l： ，即 为双曲线的一条渐近线.不妨设点 是l上一点，
且 ，则 .
因为 ，O为 的中点，所以 ，所以 为等边三角形，
所以 ，由勾股定理解得： .
所以 的面积为 .
如图示:
故答案为：2； .
