文档内容
第13讲 圆锥曲线中的定点、定直线问题
（2 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
直线的点斜式方程及辨析
2023年新Ⅱ卷，第21题,12分 双曲线中的定直线问题
根据a、b、c求双曲线的标准方程
2023年全国乙卷（文科），
椭圆中的定点问题 根据离心率求椭圆的标准方程
第21题,12分
2022年全国乙卷（文科），
椭圆中的直线过定点问题 根据圆过的点求标准方程
第21题,12分
根据离心率求椭圆的标准方程
2021年新Ⅱ卷，第20题,12分 椭圆中的直线过定点问题 求椭圆中的弦长
根据弦长求参数
2023年全国甲卷（理科），
椭圆中的直线过定点问题 无
第20题,12分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的定点问题及其相关计算
2.理解、掌握圆锥曲线的定直线问题及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习考点一、 圆锥曲线中的定点问题
1．（2022·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
2．（2020·全国·高考真题）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，
，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
3．（2019·全国·高考真题）已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分
别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
4．（2019·北京·高考真题）已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线 与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直
线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
5．（山东·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ， 为 上异于原点的任意一点，过点
的直线 交 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有 .当点 的横坐标为 时， 为正三角形.
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）若直线 ，且 和 有且只有一个公共点 ，
（ⅰ）证明直线 过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
1．（2024·浙江温州·模拟预测）已知椭圆 ： ，左右顶点分别是 ，
，椭圆的离心率是 .点 是直线 上的点，直线 与 分别交椭圆 于另外两点 ，
.
(1)求椭圆的方程.
(2)若 ，求出 的值.
(3)试证明：直线 过定点.
2．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，
且椭圆过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过 的左焦点 作弦 ，这两条弦的中点分别为 ，若 ，证明：直线 过定点．
3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，
，焦距为2，点 为椭圆 上的点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设点A，B在椭圆 上，直线PA，PB均与圆 ： 相切，证明：直线AB过定
点.
4．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点 与 的上，下顶点
所围成的三角形面积为 ．
(1)求 的方程．
(2)不过点 的动直线 与 交于 ， 两点，直线 与 的斜率之积恒为 ．（i）证明：直线 过定点；
（ii）求 面积的最大值．
5．（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆 的焦距为2，不经过坐标原点 且斜率为
1的直线 与 交于P，Q两点， 为线段PQ的中点，直线 的斜率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 ，直线PB与 的另一个交点为 ，直线QB与 的另一个交点为 ，其中 ， 均不为椭
圆 的顶点，证明：直线MN过定点.
6．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 交椭圆 于 两点（异于点 ），过点 作 轴的垂线与直线 交于点 ，设
直线 的斜率分别为 .证明：
（i） 为定值；
（ii）直线 过线段 的中点.
考点二、 圆锥曲线中的定直线问题
1．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
2．（安徽·高考真题）设椭圆 过点 ，且左焦点为
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）当过点 的动直线 与椭圆 相交与两不同点 时，在线段 上取点 ，满足
，证明：点 总在某定直线上
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知椭圆C： 的右顶点为 ，离心率为 ，过
点 的直线l与C交于M，N两点．(1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为 ， ，求 的值；
(2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上．
4．（2024·北京·三模）已知椭圆 的短轴长为 ，左、右顶点分别为 ，过右
焦点 的直线 交椭圆 于 两点（不与 重合），直线 与直线 交于点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)求证：点 在定直线上.
5．（2024·山西临汾·二模）已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于P，Q两点，过点 作垂直于 轴的直线与直线AQ相交于点 ，证明：线段
PM的中点在定直线上．
1．（2024·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系 中，O为坐标原点， ，动点P满足
，设点P的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线l与曲线 在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，
满足 ．证明：点D在定直线上．
2．（2024高三下·河南·专题练习）动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是
2，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)过 的直线 与 交于 两点，且 ，若点 满足 ，证明：点 在一
条定直线上.
3．（2024·贵州遵义·一模）已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，直线
与 的左、右两支分别交于 ， 两点，四边形 为矩形，且面积为 ．
(1)求四边形 的外接圆方程；
(2)设 ， 为 的左、右顶点，直线 过点 与 交于 ， 两点（异于 ， ），直线 与 交
于点 ，证明：点 在定直线上．
4．（2024·湖南长沙·三模）已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于不同的两点 .当直线 的倾斜角为 时， .
(1)求 的方程；
(2)在线段 上取异于点 的点 ，且满足 ，试问是否存在一条定直线，使得点 恒在这条
定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.
5．（2024·河北保定·二模）已知抛物线 的焦点为 ，过 作互相垂直的直线 ，分别
与 交于 和 两点（A，D在第一象限），当直线 的倾斜角等于 时，四边形 的面积为 ．
(1)求C的方程；
(2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点 在定直线上．
1．（2024·江西九江·二模）已知双曲线 的离心率为 ，点 在 上．
(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，若直线 ， 的斜率互为倒数，证明：直线 过定点．
2．（2024·浙江杭州·二模）已知 是椭圆 的左，右顶点，点 与椭圆上的点
的距离的最小值为1.
(1)求点 的坐标.
(2)过点 作直线 交椭圆 于 两点（与 不重合），连接 ， 交于点 .
（ⅰ）证明：点 在定直线上；
（ⅱ）是否存在点 使得 ，若存在，求出直线 的斜率；若不存在，请说明理由.
3．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形 的顶点 分别在x轴和y轴上
滑动，且 ，记动点P的轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 的动直线l与曲线 交于不同的两点 时，在线段 上取点Q，满足
．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．4．（2024·江西·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，且
，离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知 ， 是 上两点（点 ， 不同于点 ），直线 ， 分别交直线 于 ， 两点，
若 ，证明：直线 过定点．
5．（2024·广西·二模）已知抛物线 ，过点 作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点
分别作抛物线C的切线交于点P．
(1)证明：P在定直线上；
(2)若F为抛物线C的焦点，证明： ．
6．（2024·湖南娄底·一模）若抛物线 的方程为 ，焦点为 ，设 是抛物线 上两个不同的动点.
(1)若 ，求直线 的斜率；
(2)设 中点为 ，若直线 斜率为 ，证明 在一条定直线上.
7．（2024·山东潍坊·三模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 为直线 上一点，动点 满足
， .
(1)求动点 的轨迹 的方程;
(2)若过点 作直线与 交于不同的两点 ，点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线
交于点 .证明： 为线段 的中点.
8．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C： （ ）的焦点为F，过点 且斜率为1的直线
经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点
M时，满足 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2024·山西·一模）已知双曲线 经过点 ，其右焦点为 ，且直线
是 的一条渐近线.
(1)求 的标准方程；
(2)设 是 上任意一点，直线 .证明： 与双曲线 相切于点 ；
(3)设直线 与 相切于点 ，且 ，证明：点 在定直线上.10．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线 的左､右顶点分别是 ，直线 与 交于
两点（不与 重合），设直线 的斜率分别为 ，且 .
(1)判断直线 是否过 轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
(2)若 分别在第一和第四象限内，证明：直线 与 的交点 在定直线上.
11．（2024·河南南阳·模拟预测）已知双曲线 的离心率为 ，点 是
上一点.
(1)求 的方程；
(2)设 是直线 上的动点， 分别是 的左､右顶点，且直线 分别与 的右支交于 两点
（均异于点 ），证明：直线 过定点.
12．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知双曲线 的焦距为 ，点 在C
上．
(1)求C的方程；
(2)直线 与C的右支交于 两点，点 与点 关于 轴对称， 点在 轴上的投影为 .
①求 的取值范围；
②求证：直线 过点 ．
13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 的上顶点和右顶点
分别为 ，点 的面积为2．
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率存在的直线 与 交于 两点，过点 且与直线 平行的直线 与直线 的交点
为 ，证明：直线 过定点．
14．（2024·河南郑州·三模）已知椭圆 的左右顶点分别为 和 ，离心率为 ，
且经过点 ，过点 作 垂直 轴于点 ．在 轴上存在一点 （异于 ），使得 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)判断直线 与椭圆 的位置关系，并证明你的结论；
(3)过点 作一条垂直于 轴的直线 ，在 上任取一点 ，直线 和直线 分别交椭圆 于 两点，
证明：直线 经过定点．15．（2024·河北邯郸·模拟预测）动点M到定点 的距离与它到直线 的距离之比为 ，记点M的
轨迹为曲线 .若 为 上的点，且 .
(1)求曲线 的轨迹方程；
(2)已知 ， ，直线 交曲线 于 两点，点 在 轴上方.
①求证： 为定值；
②若 ，直线 是否过定点，若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.
1．（陕西·高考真题）已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是 的角平分线,
证明直线l过定点.
2．（山东·高考真题）已知动圆过定点 ，且与直线 相切，其中 ．
(1)求动圆圆心 的轨迹的方程；
(2)设 、 是轨迹 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和 ，当 、 变化且
，证明直线 恒过定点，并求出该定点的坐标．
3．（广东·高考真题）已知椭圆 的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相
交于A，B两点，点C在右准线l上，且 轴，求证：直线 经过线段 的中点．
4．（山东·高考真题）平面直角坐标系 中，椭圆C： 的离心率是 ，抛物线E：
的焦点F是C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线 与C交与不同的两点A，B，线段AB的中
点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线 与y轴交于点G，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值及取得最大值时
点P的坐标．5．（山东·高考真题）已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在 轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为
3,最小值为1.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)若直线 与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求
证:直线 过定点,并求出该定点的坐标.
6．（山东·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ．如图所示，斜率为k（k＞0）且
不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=﹣3于点
D（﹣3，m）．
（1）求m2+k2的最小值；
（2）若|OG|2=|OD|·|OE|，
（i）求证：直线l过定点；
（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．
