文档内容
第 09 讲 圆锥曲线中的焦点三角形与焦点弦三角形
（9 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第12题,5分 双曲线中集点三角形问题 求双曲线的离心率
利用定义解决双曲线中集点三角形问题
2023年新I卷，第16题,5分 无
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
2022年全国甲卷（理科）， 椭圆定义及辨析
无
第12题,5分 椭圆中焦点三角形的面积问题
2022年全国甲卷（文科），
椭圆中焦点三角形的面积问题 无
第7题,5分
2022年新I卷，第16题,5分 椭圆中焦点三角形的周长问题 求椭圆的标准方程
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算
2.理解、掌握圆锥曲线的焦点弦三角形及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习知识讲解
1. 椭圆焦点三角形主要结论
在ΔPF F 中,记 ∠F PF =θ,
1 2 1 2
椭圆定义可知:
(1). |PF |+|PF |=2a,|F F |=2c.
1 2 1 2
(2) . 焦点三角形的周长为 L=2a+2c.2b2
(3) |PF ∥PF |= .
1 2 1+cosθ
1 θ
(4). 焦点三角形的而积为: S= |PF ∥PF |sinθ=b2tan .
2 1 2 2
2. 双曲线焦点三角形主要结论
如图, F 、F 是双曲线的焦点, 设 P为双曲线上任意一点,
1 2
b2
S=
记 ∠F PF =θ, 则 △PF F 的面积 θ
1 2 1 2 tan
2
3. 椭圆、双曲线焦点三角形离心率
记∠PF F =α,∠PF F =β,∠F PF =θ
1 2 2 1 1 2
则椭圆的离心率为:
2c |F F | sinθ
e= = 1 2 =
2a |PF |+|PF | sinα+sinβ
1 2
.
双曲线的离心率为:
2c |F F | sinθ
e= = 1 2 =
2a |PF |+|PF | |sinα−sinβ|
1 2
4. 椭圆焦点弦三角形周长
x2 y2
(1) F ,F 为椭圆 C: + =1(a>b>0) 的左、右焦点，过 F 的直线交椭圆于 A,B 两点，则
1 2 a2 b2 1
△ABF 的周长为 4a.
2
x2 y2
(2) F ,F 为椭圆 C: + =1(a>b>0) 的左、右焦点，过 F 的直线交椭圆于 A,B 两点，则
1 2 a2 b2 2
△ABF 的周长为 4a.
15. 双曲线焦点弦三角形周长
x2 y2
如图1， F ,F 为双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 的左、右焦点，过 F 的直线交双曲线同支于
1 2 a2 b2 1
A,B 两点，且 |AB|=m ，则 △ABF 的周长为 4a+2m.
2
6. 椭圆焦点弦三角形面积公式
x2 y2
（1） F 、F 为椭圆 C: + =1(a>b>0) 的左、右焦点，过 F 倾斜角为 θ 的直线 l 与椭圆 C
1 2 a2 b2 2
交于 A、B 两点，则焦点弦三角形 △F AB 的面积:
1
2cpsinθ b2
S = ，其中，p=
△P 1 AB 1−e2cos2θ a
（2） F 、F 为椭圆的左、右焦点，过 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 |AB|=m ，
1 2 2
则焦点弦三角形 △F AB 的面积:
1
S =b√(2a−m)m
△F AB
1
7. 双曲线焦点弦三角形面积公式
x2 y2
（1）设直线 l 过焦点 F 且交双曲线 − =1(a>0,b>0) 于 A、B 两点，直线 l 倾斜角为 θ ，
2 a2 b2
b2
双曲线的半通径为 p= ，则双曲线同支焦点弦三角形的面积
a
2cpsinθ
S =
△P 1 AB 1−e2cos2θ
x2 y2
（2） F 、F 为双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 的左、右焦点，过 F 的直线 l 与双曲线 C 右支
1 2 a2 b2 2
交于 A、B 两点，且 |AB|=m ，则焦点弦三角形 △F AB 的面积:
1
S =b√(2a+m)m
△F AB
1
x2 y2
（3） F 、F 为双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 的左、右焦点，过 F 的直线 l 与双曲线 C 右
1 2 a2 b2 2
支、左支分别交于 A、B 两点，且 |AB|=m ，则焦点弦三角形 △F AB 的面积:
1
S =b√(m−2a)m
△F AB
1
8. 抛物线焦点弦三角形面积公式设直线 l 过焦点 F 且与抛物线 y2=2px(p>0) 交于 A、B 两点，直线 l 倾斜角为 θ ，则焦点弦三
角形 △OAB 的面积为
p2
S =
△OAB 2sinθ
考点一、 椭圆的焦点三角形周长问题
1．（23-24高三·阶段练习）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，若点 是椭圆 上的一个动点，
则 的周长是（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】A
【解析】根据椭圆的定义可求.
【详解】由椭圆 ： 知，
， ， ，
所以 ，
由椭圆的定义知， ，
则 的周长为： .
故选：A.
2．（2023·广西南宁·模拟预测）已知椭圆 （ ）的左，右焦点分别为 ， ，过点 的动直
线l交椭圆于A，B两点.若 的周长为8，则 （ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由椭圆的定义得 即得解.
【详解】根据椭圆的定义， 的周长为
故选：C
【点睛】本题主要考查椭圆的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
3．（2022·河北秦皇岛·二模）椭圆 的左､右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点，若的周长为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆方程可得 ，再结合三角形周长，得 ，进而可得离心率.
【详解】因为 ，所以 .
因为 的周长为 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的离心率为 ，
故选：B.
4．（2023·陕西西安·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，M为C上一点，
若 的中点为 ，且 的周长为 ，则C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据 的周长可得 ，由 的中点坐标求得M坐标，代入椭圆方程可得
关系式，解方程可得 的值，即可求得答案
【详解】因为 的周长为 ，所以 ，则 ，
又 , 的中点为 ，所以M的坐标为 ，
故 ，则 ，
结合 ， ，解得 ，
所以椭圆C的标准方程为 ，
故选：A
1．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知 分别为椭圆 的两个焦点，且 的离心率为 为椭圆 上的一点，则 的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【分析】根据离心率求解 ，即可由焦点三角形求解周长.
【详解】因为 的离心率为 ，且 ，所以 ，解得 ，则 ，所以
的周长为 .
故选：C
2．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知 是椭圆 上一点， 分别是椭圆的左､右
焦点､若 的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义和性质列式求 ，进而可得离心率.
【详解】由题意可知： ，解得 ，
所以椭圆的离心率 .
故选：A.
3．（2024·上海·三模）已知椭圆C的焦点 、 都在x轴上，P为椭圆C上一点， 的周长为6，且
， ， 成等差数列，则椭圆C的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出 即可得解.
【详解】令椭圆长半轴长为 ，半焦距为 ，依题意， ，即 ，解得 ，则椭圆短半轴长 ，
所以椭圆C的标准方程为 .
故答案为：
考点二、 椭圆的焦点三角形面积问题
1．（2023·全国·高考真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出 的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为 ，所以 ，
从而 ，所以 ．
故选：B.
方法二：
因为 ，所以 ，由椭圆方程可知， ，
所以 ，又 ，平方得：
，所以 ．
故选：B.
2．（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆 （ ）的两焦点分别为 、 ．若椭圆上有一点
P，使 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点 在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得 的值，再运用三角形面积公式
即得.【详解】
如图，不妨设 ，由点 在椭圆上可得： ①，
由余弦定理可得： ，化简得： ②，
由①式两边平方再减去②式，得： ，
于是 的面积为 .
故选：D.
3．（2023·广东梅州·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线 与椭圆
的一个交点为 ，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出 ，再求出等腰三角形 的面积作答.
【详解】椭圆 中， ，由 及椭圆定义得 ，
因此 为等腰三角形，底边上的高 ，
所以 的面积为 .
故选：D
4．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点 P在C上，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出 的面积，即可得到点 的坐标，从而得出|OP|的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，再结合中线的向量公式以及数量积即
可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设 ，所以 ，
由 ，解得： ，
由椭圆方程可知， ，
所以， ，解得： ，
即 ，因此 ．
故选：B．
方法二：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，
解得： ，
而 ，所以 ，
即 ．
故选：B．
方法三：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，解得： ，
由中线定理可知， ，易知 ，解得： ．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难
度不是很大．
1．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设椭圆 的左右焦点为 ，椭圆上点 满足
，则 的面积为 .
【答案】
【分析】结合椭圆定理、勾股定理的逆定理与三角形面积公式计算即可得.
【详解】由椭圆定义可得 ，
则有 ，即 ， ，
又 ，
由 ，故 ，
故 .
故答案为： .
2．（23-24高三上·云南·阶段练习）已知点 为椭圆 上的一个动点，点 分别为椭圆 的
左、右焦点，当 的面积为1时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合椭圆的定义根据余弦定理得 ，代入三角形面积公式并化简得
，根据同角三角函数基本关系求解角即可.
【详解】由已知 ，所以 ，
由余弦定理可得： ，
所以 ，整理得 ，即 ，
又 的面积为1，所以 ，所以 ，所以 ，即
，
所以 ，又 ，所以 ，所以 .
故选：D.
3．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）设 ， 是椭圆C： 的两个焦点，点P是C上的一点，
且 ，则 的面积为（ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】B
【分析】由题设可得 ，应用余弦定理、椭圆定义求得 ，最后应用三角形面积
公式求面积.
【详解】由题设， ，可得 ，
，
由 ， ，则 ，即 ，
所以 的面积 .
故选：B
考点三、 双曲线的焦点三角形面积问题
1．（2024·湖北·模拟预测）设 为双曲线 的两个焦点，点 是双曲线上的一点，且，则 的面积为 .
【答案】3
【分析】设 ，利用双曲线定义，可得 又由勾股定理得 ，联
立求得 ，即得三角形的面积.
【详解】
如图，由 可知，
设 ，由定义
，
的面积为 .
故答案为：3
2．（22-23高二下·四川德阳·阶段练习）已知焦点在x轴上的双曲线 的左右焦点别为 和 ，
其右支上存在一点P满足 ，且 的面积为3，则该双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】根据双曲线焦点三角形面积公式即可求出 ，即可求出离心率.
【详解】解：由双曲线中焦点三角形面积 ，
所以 ， ，
则 ，
故答案为： .3．（2023·四川凉山·一模）已知点 在椭圆 上， ， 是椭圆的左、右焦点，若
，且 的面积为2，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】画出图形，结合解三角形知识、数量积的定义、椭圆的定义以及平方关系即可求解.
【详解】
如图所示：
设 ，由题意 ， ，
两式相比得 ，
又 ，且 ，
所以 ，
而由余弦定理有 ，即
，
且由椭圆定义有 ，
所以 ，解得 .
故选：C.
1．（22-23高二上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系 中，设 是双曲线 的两个焦点，
点 在 上，且 ，则 的面积为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】利用双曲线的几何性质求解即可.【详解】因为点 在 上， 是双曲线的两个焦点,
由双曲线的对称性不妨设 ，
则 ①， ，
因为 ，所以 ，
由勾股定理得 ②，
①②联立可得 ， ，
所以 ，
故选：B
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·期中）设双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 在 的右支
上，且 ，则 的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线定义和余弦定理求出 ，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由题意得 ，
由双曲线定义可得， ， ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
又 ，解得 ，
故 .故选：C
3．（2022·四川成都·三模）设 ， 是双曲线 的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当
时， 面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的定义可得 ，又 ，进而即得.
【详解】∵双曲线 ，
∴ ，又点P在双曲线C的右支上， ，
所以 ， ，即 ，
又 ，
∴ 面积为 .
故选：B.
考点 四 、 椭圆、双曲线的焦点三角形离心率问题
1．（全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，
则 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：设 ，则根据平面几何知识可求 ，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在 中，
设 ，则 ，
又由椭圆定义可知
则离心率 ，
故选D.
点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义
求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知
识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.
2．（安徽·高考真题）已知 为椭圆 的焦点，M为椭圆上一点， 垂直于x轴，
且 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在直角 中，由 得到 的等量关系，结合 计算即可得到离心率.
【详解】由已知 ，得 ，则 ,
又在椭圆中通径的长度为 ， ，
故 ,
即 ,
解得
故选：C
3．（2021·全国·统考高考真题）已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ，即 .
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 间的等量关系是求解的关键.
1．（全国·高考真题）已知F，F 是双曲线E： 的左，右焦点，点M在E上，M F 与 轴垂直，
1 2 1
sin ,则E的离心率为
A． B．
C． D．2
【答案】A
【详解】试题分析：由已知可得 ，故选A.
考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.
【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，
考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得
，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，
可以降低计算量，提高解题速度.
2．（福建·高考真题）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F ，F ，若曲线r上存在点P满足|PF |：|F F |：|
1 2 1 1 2
PF |=4：3：2，则曲线r的离心率等于
2
A． B． 或2 C． 2 D．
【答案】A
【详解】试题分析：根据题意可设出|PF |，|F F |和|PF |，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利
1 1 2 2
用定义表示出a和c，则离心率可得．
解：依题意设|PF |=4t，|F F |=3t，|PF |=2t，
1 1 2 2若曲线为椭圆则2a=|PF |+|PF |=6t，c= t
1 2
则e= = ，
若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c= t
∴e= =
故选A
点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．
3．（福建·高考真题）设圆锥曲线 的两个焦点分别为 ，若曲线 上存在点 满足
，则曲线 的离心率等于
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】设 ，讨论两种情况，分别利用椭圆与双曲线的定义求出 的值，再
利用离心率公式可得结果.
【详解】因为 ，
所以可设 ，
若曲线为椭圆则 ，则 ；
若曲线为双曲线则， ，∴ ，故选 .
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率以及双曲线的定义及离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆
锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构
造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求
解．
4．（湖北·高考真题）已知 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是他们的一个公共点，且 ,则
椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【详解】试题分析：设椭圆的长半轴为 ，双曲线的实半轴为 ，半焦距为 ，
由椭圆和双曲线的定义可知，设 ，椭圆和双曲线的离心率分别为
由余弦定理可得 ，①
在椭圆中，①化简为即 即
在双曲线中，①化简为即 即 ③
联立②③得，
由柯西不等式得 即（
即 ，当且仅当 时取等号，故选A
考点：椭圆，双曲线的简单性质，余弦定理
考点 五 、 椭圆的焦点弦三角形周长问题
1．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 分别为椭圆 的左、右焦点，直线 与
椭圆交于P，Q两点，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】首先得到椭圆的焦点坐标，即可判断直线过左焦点 ，再根据椭圆的定义计算可得；
【详解】解：椭圆 ，所以 ，即 、 ，
直线 过左焦点 ，所以 ， ， ，
所以 ；
故答案为：
2．（2024·河北·二模）过椭圆 的中心作直线 交椭圆于 两点， 是 的一个焦点，则
周长的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义和对称性，转化 的周长，即可求解.【详解】设 的另一个焦点为 ，根据椭圆的对称性知 ，
所以 的周长为 ，
当线段 为椭圆短轴时，|PQ|有最小值6，所以 的周长的最小值为14.
故选：B
3．（22-23高二上·山东德州·期中）已知椭圆C： ，椭圆C的一顶点为A，两个焦点
为 ， ， 的面积为 ，焦距为2，过 ，且垂直于 的直线与椭圆C交于D，E两点，则
的周长是（ ）
A． B．8 C． D．16
【答案】B
【分析】先根据 的面积为 ，焦距为2，求得椭圆方程为 ，然后根据已知条件及等边三
角形的性质，再利用等腰三角形的三线合一定理及椭圆的定义，结合三角形的周长公式即可求解.
【详解】因为 的面积为 ，焦距为2，所以 ，
所以 ，故椭圆方程为 ，
假设 为椭圆C的上顶点，因为两个焦点为 ， ，
所以 ， ，故 ,
所以 为等边三角形，又因为过 ，且垂直于 的直线与椭圆C交于D，E两点，
所以 ， ,
由椭圆的定义可知： ，
，
所以 的周长为
，
故选： .1．（2024·河北衡水·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，焦距为6，点
，直线 与 交于A，B两点，且 为AB中点，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】设A，B两点坐标分别为 ，利用点差法可得 ，结合 ，即可求
得a的值，再结合 的周长为4a，即得答案.
【详解】由题意知 ，
设A，B两点坐标分别为 ，
两式相减得 ，
由题意 为AB中点，
则 ，代入整理得 ．
即由题意知 ，
因此 ，所以 ，由焦距为6，解得 ．
由椭圆定义知 的周长为 ．
故答案为：
2．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知椭圆 ， 的上顶点为 ，两个焦点为 ，
，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点， ，则 的周长是 .
【答案】4
【分析】由离心率可得 ，联立直线与椭圆方程，由根与系数的关系及弦长公式可得 ，据此求出 ，再由椭
圆定义即可得出三角形周长.
【详解】
如图，
椭圆 的离心率为 ，
不妨可设椭圆 ， ，
的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，
为等边三角形，
过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点，
，
由等腰三角形的性质可得， ， ，
设直线 方程为 ， ， ， ， ，
将其与椭圆 联立化简可得， ，
由韦达定理可得， ， ，
，
解得 ，
的周长等价于 .
故答案为：4
考点 六 、 椭圆的焦点弦三角形面积问题1．（2023·云南昆明·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与椭圆C
交于A，B两点，若 ，则 的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【答案】C
【分析】四边形 是矩形，设 ， ，由椭圆的定义及勾股定理可求得 ，则
的面积是 ，又 的面积与 的面积相等，即可得出答案.
【详解】据题意，四边形 是矩形，设 ， ，
则有 ， ，由此可得 ，
所以 的面积是 ，
又 的面积与 的面积相等，所以 的面积等于9.
故选：C．
2．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，过坐标原点 的直线 与椭圆
交于 ， 两点．在 中， ，且满足 ，则椭圆 的离心率为 ．
【答案】
【分析】设椭圆 的左焦点为 ，连接 ， ，根据对称性可知四边形 为平行四边形，即可得
到 ，再由余弦定理及椭圆的定义求出 ，即可求出 ，最后由
得到关于 的方程，解得即可.
【详解】设椭圆 的左焦点为 ，连接 ， ，根据对称性可知四边形 为平行四边形，
又 ，所以 ，
又 ，
又 ， ，
即 ，
，所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，解得 或 ．
又因为 ，所以 ．
故答案为：
1．（2023·全国·高三专题练习）设P为椭圆C： 上一点，F ，F 分别是椭圆C的左、右焦点，且
1 2
△PF F 的重心为点G，若|PF |∶|PF |＝3∶4，那么△GPF 的面积为（ ）
1 2 1 2 1
A．24 B．12 C．8 D．6
【答案】C
【分析】根据条件计算出 ，可以判断△PF F 是直角三角形，即可计算出△PF F 的面积，由
1 2 1 2
△PF F 的重心为点G可知△PF F 的面积是△GPF 的面积的3倍，即可求解.
1 2 1 2 1
【详解】∵P为椭圆C： 上一点， ， ，
，
又 ，
∴易知△PF F 是直角三角形， ，
1 2
∵△PF F 的重心为点G，∴ ，
1 2
∴△GPF 的面积为8.
1【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的面积问题，属于基础题.
2．（2023·全国·高三专题练习）（多选）设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过 垂直于
轴的直线与椭圆 交于M，N两点，则（ ）
A．椭圆的离心率 B． 的周长为12
C． 的面积为 D． 为等边三角形
【答案】ABD
【分析】根据椭圆方程，求得a，b，c，再逐项求解判断.
【详解】因为椭圆 ： ，
所以 ，
则 ，故A正确；
的周长为 ，故B正确；
的面积为 ，故C错误；
，所以 为等边三角形，故D正确；
故选ABD
考点 七 、 双曲线的焦点弦三角形周长问题
1．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线 的左焦点 作一条直线 交双曲线左支于 ， 两点，
若 ， 是双曲线的右焦点，则 的周长是 .
【答案】24
【分析】利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可.
【详解】由双曲线定义知： ，
所以 ， ，而 ，
故 ，故 的周长为 .
故答案为：242．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为 ，过 的直线交双曲线左支于 两点，
且 ，若双曲线的实轴长为8，那么 的周长是（ ）
A．5 B．16 C．21 D．26
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义分析求解.
【详解】由题意可知： ，即 ，
所以 的周长 .
故选：D.
3．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线交双曲
线C的右支于A，B两点，若 的周长为20，则线段AB的长为 ．
【答案】6
【分析】利用双曲线的定义，即可求解.
【详解】 , ， ,
易得双曲线的实轴长 焦距 .
因为 都在右支上，则 ，
的周长 ,
.
故答案为：6
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为F、F，在左支上过F 的弦AB的长为
1 2 1
5，若2a＝8，那么△ABF 的周长是（ ）
2
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据双曲线的定义求|AF|＋|BF|，由此可求△ABF 的周长.
2 2 2
【详解】解析：|AF|－|AF|＝2a＝8，|BF|－|BF|＝2a＝8，
2 1 2 1
∴ |AF|＋|BF|－(|AF|＋|BF|)＝16，∴ |AF|＋|BF|＝16＋5＝21，∴ △ABF 的周长为|AF|＋|BF|
2 2 1 1 2 2 2 2 2
＋|AB|＝21＋5＝26.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）如果 分别是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线左支上过
点 的弦，且 ，则 的周长是
【答案】28
【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知
①， ②，两式相加再结合已知 即可求解.
【详解】解：由题意知： ，故 .
由双曲线的定义知 ①， ②，
①＋②得： ，所以 ，
所以 的周长是 .
故答案为：28.
【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，一般用定义处
理.
3．（2024·江西南昌·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .过 作直线
与双曲线 的右支交于 ， 两点，若 的周长为 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义可得 的周长为 ，求得|AB|，再由过焦点的弦长的最小值，
结合双曲线的性质，即可求解.
【详解】由双曲线的定义可得 ，
两式相加可得 ，
则 的周长为 ，即 ，
再由 ，可得 ，解得 ，由 .
故选：A
考点 八 、 双曲线的焦点弦三角形面积问题
1．（2023·安徽六安·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，直线 与双曲
线 交于 ， 两点，若 ，则 的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【答案】C
【分析】由已知可得四边形 为矩形，从而可得 ， ，由双曲线的性质可求得 ，
从而可得 ，利用勾股定理及双曲线的定义可求得 ，由三角形面积公式即可得解．
【详解】直线 与双曲线 交于 ， 两点，若 ，
则四边形 为矩形，所以 ， ，
由双曲线 可得 ， ，则 ，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
故选：C．
2．（2024·宁夏银川·一模）已知双曲线 ，过原点的直线与双曲线交于 ， 两点，
以线段 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点 ，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，由题意可得 ，设 ， ，根据
对称性可得 ， ，根据双曲线的定义可得 ， ， ，
整理可得关于 ， 的齐次方程，再由离心率公式即可求解.
【详解】设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，
因为以 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F(c,0)，
所以 ，圆心为O(0,0)，半径为 ，
根据双曲线的对称性可得四边形 是矩形，设 ， ，
可知： ， ，
则 ，由 可得 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故选：C.
1．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 分别是双曲线 的左右焦点，过 作 轴的垂线与C
交于A，B两点，若 为正三角形，则C的离心率为 ， 的面积为
【答案】
【分析】设 ，根据双曲线的定义及条件可得 ， ，进而即得.
【详解】∵ 为正三角形，设 ，则 ， ，又双曲线 ，
∴ ， ，离心率 ，
∴ ，
故 的面积为 .
故答案为： ； .
2．（2023·山西吕梁·统考二模）已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，
直线 与 交于 ， 两点， ，且 的面积为 ，则 的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】由题意 ，结合图形的对称性可得四边形 为矩形，再根据双曲线的定义利用勾股
定理求解即可.
【详解】如图，若 在第一象限，因为 ，所以 ，
由图形的对称性知四边形 为矩形，因为 的面积为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
在 中， ，解得 ．
故选：B
考点 九 、 抛物线的焦点弦三角形面积问题
1．（全国·高考真题）设F为抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐
标原点，则△OAB的面积为A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知：直线AB的方程为 ，代入抛物线的方程可得： ，设
A 、B ，则所求三角形的面积为 = ，故选D.
考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题
与解决问题的能力.
2．（2022·山西·高三校联考期末）设F为抛物线 的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，
且 ，O为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出直线 的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理及由 得到的 ，求出
直线 的斜率，即可求解三角形的面积.
【详解】由已知得焦点坐标为 ，
由题意可知直线 的斜率存在且不为0，
因此设直线 的方程为 ， ，
与抛物线的方程 联立，化简得 ，
设 ，则
因为 ，故 ，
则 ，解得 ，
因此 .
故选：D.
1．（2023·黑龙江校考期末）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，
O为坐标原点，则 的面积为（ ）A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】先求得过F的直线方程为： ，与抛物线联立，利用韦达定理，求得 ， 的值，
代入面积公式，即可求得答案.
【详解】因为抛物线C：y2＝4x，所以焦点 ，所以过F的直线方程为： ，
设 ，联立方程 得： ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
【点睛】在处理抛物线问题时，常设直线 的形式，与抛物线联立时，可大大简化计算，提高正确
率，属基础题.
2．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知过抛物线 的焦点 的直线 交 于 ， 两点，
为坐标原点，若 的面积为4，则下列说法正确的是（ ）
A．弦 的中点坐标为
B．直线 的倾斜角为30°或150°
C．
D．
【答案】BCD
【分析】设直线 的方程为 ，联立 ，消去 并整理得 ,利用中点坐标公
式判断A；利用面积公式以及斜率与倾斜角的关系判断B；利用焦半径公式判断C；转化为
求解
【详解】斜率为零时不合题意，所以可设直线 的方程为 ，联立 ，消去 并整理得 ，则 ， ，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的倾斜角为30°或150°， 正确；
，C正确
弦 的中点坐标为 ，即 ，A错误；
，D正确
故选:BCD
一、单选题
1．（2024·山东泰安·二模）设抛物线 的焦点为 ，过抛物线上点 作准线的垂线，设垂足为 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得 ，结合正切定义以及 可得 ，进一步即可求解.
【详解】如图所示：
设 为准线与 轴的交点，
因为 ，且 ，所以 ，
因为 ，所以 ，而在 中， ，
所以 .
故选：A.
2．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线 的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若
，则 的面积为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】确定抛物线的焦点和准线，根据 得到 ，计算面积得到答案.
【详解】
因为抛物线 的焦点为F(1,0)，准线方程为 ，
所以 ，故 ，
不妨设 在第一象限，故 ，
所以 .
故选：C.
3．（23-24高二下·安徽亳州·期末）设 分别是离心率为 的椭圆 的左、右焦
点，过点 的直线交椭圆 于 两点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到 ，从而得到结果.
【详解】因为 ，所以 ．设 ，则 ．在 中， ．
在 中， ，
所以 ，整理得， ．
于是 ．
故选：D．
4．（2024·福建三明·三模）已知抛物线 的焦点为F，第一象限的两点A，B在抛物线上，且
满足 .若线段 中点的横坐标为3，则p的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】设A(x ,y ),B(x ,y )，由 可得 ，结合弦长以及已知求出 ，利用
1 1 2 2
，即可求得答案.
【详解】设A(x ,y ),B(x ,y )，由 得 ，
1 1 2 2
即得 ；
又 ，解得 ，
由于A，B在第一象限内，故 ，
则 ，
而线段 中点的横坐标为3，则 ，
故 ，故选：B
5．（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ， 上一点 到焦点 的
距离为 ，过焦点 的直线 与抛物线交于 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义求得 ，进而求得抛物线方程.设出直线 的方程，并与抛物线方程联立，化简
写出根与系数关系，结合基本不等式求得 的最小值.
【详解】由点 到焦点 的距离为 ，即 到准线的距离为 ，
故 ， ，抛物线 ，
设 ，不妨设 ，设直线 的方程为 ，
联立 化为 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时等号成立．
故选：B
6．（2024·新疆·三模）已知抛物线C： 的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦
与弦 的交点恰好为F，且 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，应用抛物线焦点弦性质 ， ，
， ，结合三角的恒等变换的化简可得 ，即可求解.
【详解】由抛物线 得 ，则 ， ，
不妨设PQ的倾斜角为 ，
则由 ， 得 ， ，所以 ， ，
得 ， ，
所以 .
故选：B.
7．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，曲线
上存在一点 ，使得 为等腰直角三角形，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出图形，用双曲线定义和勾股定理构造方程求解即可.
【详解】如图所示， 为等腰直角三角形，且 ，
运用勾股定理，知道根据 ．由双曲线定义，知道 ，
即 ，解得 ，故离心率为： .
故选：C.
8．（24-25高三上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线 的左､右焦点分别为 为双曲线右支上一点，连接 交 轴于点 ，若 ，且 ，则双曲线的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，可得 ， ，根据直角三角形三角比可得 ，再
利用勾股定理列式求解.
【详解】设 ，则 ， ，
因为 ，则 ，
即 ，整理可得 ，则 ，
又因为 ，即 ，
整理可得 ，解得 或 （舍去），
所以双曲线的离心率为 .
故选：B.
9．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知点 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，点 在椭圆上，设线段 的中点为 ，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义及三角形中位线的性质求出|PF |、 ，再由余弦定理求出 ，即可
1
求出 ，最后由面积公式计算可得.
【详解】由题意可得 ．如图，因为 分别是 和 的中点，所以 ，
根据椭圆定义，可得 ，又因为 ，
所以 ，
所以 ，
故 的面积为 ．
故选：A．
10．（2024·新疆·二模）设 分别是椭圆 的左，右焦点，过 的直线 交椭圆于 两点，则
的最大值为( )
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】根据椭圆定义可知 周长为定值4a，从而可得当|AB|最小时， 最大，再根据椭
圆焦点弦最小为通径即可求解．
【详解】由椭圆的定义知
∴ 的周长为 ，
∴当|AB|最小时， 最大．
当 轴，即AB为通径时，|AB|最小，此时 ，
∴ 的最大值为 ．
故选：B．11．（2024·全国·模拟预测）椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与
交于 两点，四边形 的周长为 ，若 的面积是 的面积的2倍（ 为坐标原点），
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据四边形 的周长结合椭圆的定义求出 ，联立方程，根据直线与椭圆相交求出 的范
围，根据点到直线的距离公式分别求出点 到直线 的距离 ，点 到直线 的距离 ，再根据
即可得解.
【详解】因为四边形 的周长为 ，所以 ，所以 ，
联立 消去 整理得 ， ，解得 ，
又 ，所以 ，
设点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，
易知 ， ，
则 ， ，
所以 ，解得 或 （舍）.故选：C．
12．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）设椭圆 的左､右焦点分别为 ，直线
交椭圆 于点 ， ，若 的周长的最大值为16，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义求出 的周长的最大值可得 的值，根据椭圆方程即可求离心率.
【详解】依题意， 的周长等于
，而 ，当且仅当 三点共线时取等号，
则 ，
因此当直线 过点 时， 的周长取得最大值 ，即 ，解得 ，
所以 的离心率 ，
故选：C
【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法：①直接利用公式 ；②利用变形公式 ；
③根据条件列出关于 的齐次式，两边同时除以 ，化为关于离心率的方程即可求解.
13．（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 和
上顶点A的直线 交 于另外一点 ，若 ，且 的面积为 ，则实数 的值为（ ）A．3 B． C．3或7 D． 或7
【答案】D
【分析】设 ，利用余弦定理分析可得 ，再结合面积关系可得 或 ，
分别代入分析即可.
【详解】由题意可知： ，
因为 ，则 ， ， ，
设 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，则 ，
解得 ，可得 或 ，
若 ，则 ，解得 ，符合题意；
若 ，则 ，解得 ，符合题意；
综上所述：实数 的值为 或7.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾
股定理结合起来．
14．（2024高三·全国·专题练习）已知 为坐标原点，抛物线 上一点 到其准线
的距离为3，过 的焦点 的直线交 于 两点．当 时， 的值为（ ）
A． B． C． D．8【答案】D
【分析】根据抛物线定义，结合已知条件，求得抛物线方程；再设出直线AB斜率和方程，联立抛物线方
程，结合三角形 面积，从而求得直线方程，进而由韦达定理求得结果.
【详解】因为抛物线 上一点 到其准线 的距离为3，
所以 ，解得 ，所以抛物线 的标准方程为 ．
由抛物线 的方程可知，焦点 ，根据题意可知直线 的斜率存在且不为0，
设直线 ， ， ．
由 消去 整理得 ， ，
所以 ， ．又 ，
所以 ，解得 ，
则 ， ，
则 ．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据三角形面积，结合韦达定理求得直线斜率，同时要注意
熟练掌握抛物线焦半径公式，属综合中档题.
15．（2024·四川·模拟预测）已知 ， 分别是椭圆C： 的左、右焦点，O为坐标原点，M，N
为C上两个动点，且 ， 面积的最大值为 ，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】依题意当 在椭圆短轴的顶点时 面积取得最大值，即可求出椭圆方程，当直线 的斜
率存在时，设其方程为 ，M(x ,y )，N(x ,y )，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，
1 1 2 2
由 ，可得 ，及 ，从而得到 ，从而得到 ，在根
据数量积的坐标表示计算可得.
【详解】依题意当 在椭圆短轴的顶点时 面积取得最大值，又 ，所以 ，解得 ，所以 ，则椭圆方程为 ，
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
由 ，消去 整理得 ，
在 的条件下，可知 ， ，
又 ，所以 ，即 ，
即 ，即 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
当直线 的斜率不存在时，则 为 与 轴的交点，
又 ，根据对称性可知 ，
设 ，则 （或 ），
所以 ，则 ，所以 ，
又F (−1,0)，F (1,0)，所以 ， ，
1 2
所以 .
故选：D
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为(x ,y )、(x ,y )；
1 1 2 2
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入韦达定理求解.二、多选题
16．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点为 ， ，过 的
直线与 交于 ， 两点.若 ， .则（ ）
A． 的周长为 B．
C． 的斜率为 D．椭圆 的离心率为
【答案】ABD
【分析】利用椭圆的定义可得 的周长，可判断A选项；设 ，由 得 ，而
可得 ，设 ，得 ，进而由椭圆的定义可得 ,
，从而可判断B选项；在 中用正弦定理可得 ，进而求 可得直线
的斜率，可判断C选项；计算离心率可判断D选项.
【详解】对于A：过 的直线与 交于 ， 两点且 ， ，
连接 ， 的平分线交 于点 ，如图所示：
则 的周长等于
故A正确；
对于B：设 ， ，
则 ，
而 .设 ，则 ，
于是 ，即 .
由 ，得 ,
又 ，得 ，
所以 ，故B正确；
对于C：在 ，由余弦定理可得： ，
则 ，即 .
在 中， ，又 是 中点，
所以 ，则 ，
于是 ，
所以 的斜率为点 在 轴上方时 ，在 轴下方时 ，故C错误；
对于D： ，故D正确.
故选：ABD.
17．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知直线 经过椭圆 的一个焦点和一
个顶点 ，且与 在第四象限交于点 的左、右焦点分别为 ，则（ ）
A． 离心率为 B． 的周长为
C．以 为直径的圆过点 D．
【答案】BC
【分析】根据题设可求基本量，从而可判断A的正误，结合椭圆的定义可判断B的正误，结合焦点三角形
的特征可判断C的正误，求出 的坐标后利用弦长公式可求判断D的正误.
【详解】不妨设 为上顶点，如图，对于A，直线 经过 的右焦点 和上顶点 ，所以 ，
则 ，所以 离心率为 ，故A错误；
对于B，由椭圆的定义知可知， 的周长为 ，B正确；
对于C，由A中分析可得 ，所以 ，
所以 ，则以 为直径的圆过点 ，C正确；
对于D，由A中分析可知 的方程为 ，
由 解得 或 ，则 ，
所以 ，D错误．
故选：BC.
18．（23-24高三上·河南·期中）已知F，F 分别是椭圆 的左、右焦点，且 ，
1 2
直线 与椭圆的另一个交点为B，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长是短轴长的 倍 B．线段 的长度为
C．椭圆的离心率为 D． 的周长为
【答案】BC
【分析】由向量共线定理求得B的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，可判断A；由 的坐标可判断
B；由椭圆的离心率公式可判断C；由椭圆的定义可判断D．
【详解】由 ，可设 ，又 ，
可得 ，解得 ，即 ，
将 的坐标代入椭圆方程，可得 ，
化为 ，即 ，故A错误；
，故B正确;
椭圆的离心率 ，故C正确;
的周长为 ，故D错误.
故选：BC.
19．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）已知斜率为 的直线交抛物线 于 、
两点，下列说法正确的是（ ）
A． 为定值 B．线段 的中点在一条定直线上
C． 为定值 D． 为定值（ 为抛物线的焦点）
【答案】BC
【分析】分析可知， ，设直线 的方程为 ，将直线 的方程与抛物线的方程联立，利用
韦达定理可判断A选项；求出线段 中点的纵坐标，可判断B选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C
选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项.
【详解】若 ，则直线 与抛物线y2=2px(p>0)只有一个交点，
不合乎题意，则 ，设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
，
对于A选项， 不一定是定值，A错；
对于B选项，设线段 的中点为P(x ,y )，则 ，
0 0
为定值，故线段 的中点在定直线 上，B对；
对于C选项， 为定值，C对；
对于D选项， 不一定为定值，D错.
故选：BC.
20．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 、 ，过点 且倾
斜角为 的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A在第一象限），则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的虚轴长为 B．
C． 的周长的最小值为16 D．当 时， 的内切圆面积为
【答案】BCD
【分析】根据双曲线的虚轴定义及b判断A,根据渐近线斜率及倾斜角判断 进而判断B,联立方
程组得出弦长最小值为通径，结合定义得出周长最小值判断C, 根据 的周长及面积计算 的
内切圆半径为r判断D.
【详解】对于A:因为 ，所以虚轴长为 ，A错误；
对于B:因为 双曲线渐近线方程为 ，倾斜角为 ，
过点 且倾斜角为 的直线l与双曲线的右支交于A、B两点,得出 B正确；
对于C: 的周长为 ,
结合双曲线的定义 ，
设双曲线 的右焦点为 ， ，
当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为 ，则
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为
联立 ，消去 ，得 ，
又 ，故 或 ,
而
，
所以当直线AB与x轴垂直时， 的长最小，即最小值为 ， 的周长最小值为 ，故C正确；
对于D: 当 时, 设直线AB的方程为联立 ，消去 ，得 ，
，当 时,A点坐标 ，
，
的周长 ，
设 的内切圆半径为r，则 ，解得 ，
因此 的内切圆面积为 ，D正确.
故选：BCD.
21．（2024·黑龙江·二模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，上顶点为 ，若过 且倾斜
角为 的直线 交椭圆 于 两点，则（ ）
A． 的离心率为 B．
C．点 到直线 的距离为 D． 的周长为8
【答案】ABD
【分析】对A：由椭圆方程判断；对B：由 为等边三角形计算；对C：利用点到直线的距离判断；对
D：利用点 关于直线 对称求解.
【详解】对A： 由题知， ，所以离心率 ，A正确；
对B： ，所以 为等边三角形， ，B正确；
对C：因为直线 的方程为 ，
所以点 到直线 的距离 ， 错误；
对D：由题知直线 为 的角平分线，则点 关于直线 对称，
所以 的周长 8，即 的周长为 正确.故选：ABD
22．（2024·江西宜春·三模）设椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，坐标原点为O．若椭圆C
上存在一点P，使得|OP|=√7，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． 的面积为2 D． 的内切圆半径为
【答案】ACD
【分析】根据已知求出P点坐标，根据两点间距离公式分布求出 ，在 中利用余弦定理可
判定A，利用向量数量积公式可判定B，三角形面积公式可判定C，根据等面积法可判定D.
【详解】法1：由题意得 ，|F F |=2c=2√8−4=4，则 ， ．
1 2
由对称性可设 （ ， ）， ， ， ，
{
x2 y2
0+ 0=1 {x =√6
由 8 4 ，解得 0 ，又 ， ，
y =1
√x2+ y2=√7 0
0 0
所以m=√ (√6+2) 2+12=√11+4√6，n=√ (√6−2) 2+12=√11−4√6，
所以mn=√11+4√6⋅√11−4√6=√112−(4√6) 2=5．
由椭圆的定义得m+n=2a=4√2，
在 中，由余弦定理，得|F F |2=m2+n2−2mncosθ，
1 2
即42=(m+n) 2−2mn−2mncosθ=(4√2) 2 −2×5−2×5cosθ，
解得 ，故A正确；
3
⃗PF ⋅⃗PF =mncosθ=5× =3，故B错误；
1 2 5
1 1 √ 3 2
的面积为S = mnsinθ= ×5× 1−( ) =2，故C正确；
△F 1 PF 2 2 2 5
1
设 的内切圆半径为r，由 的面积相等，得S = (m+n+|F F |)r，
△F 1 PF 2 2 1 21
即2= (4√2+4)r，解得 ，故D正确．
2
故选：ACD．
法2：设 ， ， ．易知 ， ，
由极化恒等式，得⃗PF ⋅⃗PF =|OP|2−|OF |2=7−4=3，故B错误；
1 2 1
由中线长定理得m2+n2=2(|OP|2+|OF |2 )=22，由椭圆定义得m+n=2a=4√2，
1
所以(m+n) 2=m2+n2+2mn=22+2mn=32，所以 ，
⃗PF ⋅⃗PF
3
所以cosθ= 1 2= ，故A正确；
mn 5
4 1 1 4
由 ，得sinθ=√1−cos2θ= ，所以S = mnsinθ= ×5× =2，故C正确；
5 △F 1 PF 2 2 2 5
1
设 的内切圆半径为r，由 的面积相等，得S = (m+n+|F F |)r，
△F 1 PF 2 2 1 2
1
即2= (4√2+4)r，解得 ，故D正确．
2
故选：ACD．
三、填空题
23．（2024·上海长宁·二模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，
，则点 的横坐标为 ．
【答案】
【分析】过点 作 于点 ，由抛物线定义以及三角函数可用含 的横坐标 的式子表示
，注意到 ，由此即可列方程求解.
【详解】如图所示：
过点 作 于点 ，
显然抛物线 的焦点为F(1,0)，准线为 ，
由抛物线定义有 ，结合 得 ，而 ，
所以 .
故答案为： .
24．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）设抛物线 的焦点为F，过点 的直线l与抛物线交于
A，B两点，与y轴的负半轴交于C点，已知 ，则 ．
【答案】 /
【分析】根据面积之比求得 ，设出直线 方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求得 ，进而
求得 ，再根据焦半径公式即可求得结果.
【详解】由 ，可得 ，所以 ①，且 ，
又可设直线AB的方程为： ，与抛物线 联立得： ， ，
， ，
故 ，从而 ②，
结合①②可得 ，从而 ．
故答案为： .
25．（24-25高三上·河北·开学考试）设抛物线 的焦点为 ，过点 作直线交抛物线于 ，
两点，若 ， ，则 ．
【答案】 /
【分析】设A(x ,y )，B(x ,y )，根据抛物的定义表示出 ， ，再根据三角形相似得到 ，即
1 1 2 2
可求出 .
【详解】设A(x ,y )，B(x ,y )，抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
1 1 2 2因为 ， ，根据抛物线的定义可得 ， ，
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
则 ，所以 ，
所以 ，即 ，解得 ．
故答案为： ．
26．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）设 是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点
P在C上且 ，则 面积为 .
【答案】3
【分析】利用双曲线定理结合勾股定理求出 的长，再利用三角形面积公式即可.
【详解】由题意得双曲线中 ， ，则其焦点坐标 ，
根据双曲线对称性，不妨假设点 在第一象限，
设 ，其中 ，
因为 ，则 ，
根据勾股定理知 ，
即 ，解得 （负舍），
则 ，则 面积为 .
故答案为：3.
27．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知 ， 是双曲线 的两个焦点，点M在E上，
如果 ，则 的面积为 ．
【答案】16【分析】根据题意求出a,b,c,由 及双曲线的定义求出 ，再利用三角形面积公式求解即
可.
【详解】由题意得 ,所以 ,
不妨设 ,
根据双曲线定义可得 ①，
又 ,
所以 ②，
联立①②解得 ,
所以 的面积 .
故答案为：16.
28．（2024·广东珠海·一模）已知点P在双曲线 上， ， 分别是双曲线C的左、右焦点，
若 的面积为45，则 ．
【答案】25
【分析】设P在双曲线右支上，由双曲线定义得到 ，由余弦定理和面积公式，得到
，进而得到 ，从而求出 ，
求出答案.
【详解】设P在双曲线右支上，则 ，
由余弦定理得
，所以 ，
又
所以 ，解得 ，结合 ，
则 ，
，
又 ，
故 ，
故 .
故答案为：25
29．（2024·河南·二模）抛物线 的焦点为 为 上一点， 为 轴正半轴上一点，若
是等边三角形，则直线 的斜率为 ， .
【答案】
【分析】设 ，可得 , ．设 , ，结合等边三角形的性质可得
，利用 ，解得 ，即可得出结论．
【详解】抛物线 的焦点为 , ，准线方程为 ，
设 ，则 ， ，
当 位于第一象限时， , ．
是等边三角形， ，
设 , ，
则 ，，
化简得 ，解得 ，
当 时， ，
当 时， ，
此时 ,而 为 轴正半轴上一点，无法使得 为等边三角形，故舍去，
当 位于第四象限时， , ．
是等边三角形， ，
设 , ，
则 ，
，
化简得 ，解得 ，
当 时， ，
此时 ,而 为 轴正半轴上一点，无法使得 为等边三角形，故舍去，
，
当 时， ， ，综上可得，直线 的斜率为 ， 或
故答案为： ； ．
【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与
系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
30．（2024·山西晋城·二模）已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，过 的直
线与C交于A，B两点，且 ，若 的面积为 ，其中O为坐标原点，则 的值为
．
【答案】
【分析】根据椭圆定义利用面积公式和余弦定理解得 ，进而可知 为等边三角形，结合椭
圆性质分析求解.
【详解】设 ， ， ，则 ，
在 中，可知 ，
即 ，可得 ，
由余弦定理可得 ，即 ，可得 ，
则 ，解得 或 ，
又因为 ，则 ，可得 ，可知 ，
又因为 ，可知 为等边三角形，
即 ，结合对称性可知 轴，
则 ， ，所以 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：由题意可知 ，利用解三角形知识分析可得 ，结合
椭圆的定义和性质分析求解.
1．（2023·全国·统考高考真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，
则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出 的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为 ，所以 ，
从而 ，所以 ．
故选：B.
方法二：因为 ，所以 ，由椭圆方程可知， ，
所以 ，又 ，平方得：
，所以 ．
故选：B.
2．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点 P在C上，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出 的面积，即可得到点 的坐标，从而得出 的
值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，再结合中线的向量公式以及数量积即
可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设 ，所以 ，
由 ，解得： ，
由椭圆方程可知， ，
所以， ，解得： ，
即 ，因此 ．
故选：B．
方法二：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，
解得： ，
而 ，所以 ，
即 ．故选：B．
方法三：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，解得： ，
由中线定理可知， ，易知 ，解得： ．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常
规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难
度不是很大．
3．（上海·高考真题）已知 、 是椭圆 （ ＞ ＞0）的两个焦点， 为椭圆 上一
点，且 .若 的面积为9，则 = .
【答案】3
【详解】设椭圆的焦距为 ，则 .由椭圆定义知 ，
由题意知 ， ，则 ，
则 ，
即 ，所以 .
4．（全国·高考真题）设 ， 为双曲线 的两个焦点，点P在双曲线上，且满足 ，
则 的面积为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】设 ，由双曲线的性质可得 的值，再由 ，根据勾股定理
可得 的值，进而求得 ，即得.
【详解】设 ， ， 为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上， ，
， ， ， ， 的面积为 .
故选：D
【点睛】本题考查双曲线的性质，难度不大.
5．（全国·高考真题）已知 、 为双曲线C： 的左、右焦点，点P在C上，∠ P = ，则A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得 ①,又
,由余弦定理 ②，由①2-②得
，故选B．
