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专题 9-1 圆锥曲线（选填）
目录
专题9-1圆锥曲线（选填）....................................................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：椭圆、双曲线、抛物线定义问题............................................................................................1
题型二：椭圆、双曲线离心率问题........................................................................................................6
题型三：椭圆、双曲线中焦点三角形面积问题..................................................................................12
题型四：椭圆、双曲线中焦点三角形的其它问题..............................................................................16
题型五：抛物线上点与定点距离最值..................................................................................................20
题型六：直线与椭圆，双曲线，抛物线位置关系..............................................................................25
题型七：中点弦问题..............................................................................................................................29
题型八：弦长和面积问题......................................................................................................................34
................................................................40
一、单选题..............................................................................................................................................40
二、多选题..............................................................................................................................................46
三、填空题..............................................................................................................................................49
四、双空题..............................................................................................................................................51
题型一：椭圆、双曲线、抛物线定义问题
【典例分析】
例题1．（2022·浙江·金华市江南中学高二期末）已知 为圆 的一个
动点，定点 ，线段 的垂直平分线交线段 于 点，则 点的轨迹方程为
（ ）
A． B．C． D．
例题2．（2022·福建·厦门外国语学校石狮分校高二期中）已知点 是抛物线 上的
动点，焦点为 ，点 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
例题3．（2022·黑龙江实验中学高二期中）已知直线 ： ，抛物线
上一动点 到直线 的距离为 ，则 的最小值是______．
【提分秘籍】
(| PF |+| PF |=2a>|F F |)
①平面内一个动点 到两个定点F 、F 的距离之和等于常
P 1 2 1 2
1 2
这个动点P的轨迹叫椭圆. 这两个定点（ , ）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（
）
叫作椭圆的焦距.
②一般地,我们把平面内与两个定点 , 的距离的差的绝对值等于非零常数(
)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
③抛物线的定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （其中定点 不在定直线 上）的
距
离相等的点( )的轨迹叫做抛物线，定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做
抛物线的准线．
【变式演练】
1．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知双曲线 上一点P到焦点
的距离为9，则它到另一个焦点 的距离为（ ）
A．15 B．5 C．3或5 D．3或15
2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 的圆心为A，过点B 的直线l交圆A于C、D两点，过点B作AC的平行线，交直线AD于点E，则点E的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
3．（2022·吉林·长春市文理高中有限责任公司高二期中）点M在椭圆 上， 是
椭圆的左焦点，O为坐标原点，N是 中点，且ON长度是4，则 的长度是
__________．
4．（2022·上海市朱家角中学高一期末）已知双曲线 的左右两个焦点分别是
，双曲线上一点 满足 ，则 _____．
题型二：椭圆、双曲线离心率问题
【典例分析】
例题1．（2022·福建·福州四中高三阶段练习）设椭圆 的左、右
焦点分别为 ， ，点 ， 在 上（ 位于第一象限），且点 ， 关于原点
对称，若 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知双曲线 的左右焦
点分别为 ， 是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线 与 轴的正半轴交于
点，三角形 的内切圆在边 上的切点为 ，双曲线的左焦点 到双曲线的一条渐
近线的距离为 ， ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·陕西·长安一中高三期中（文））设椭圆 ： 的右
焦点为 ，椭圆 上的两点 ， 关于原点对称，且满足 ，
，则椭圆 的离心率的最大值是（ ）A． B． C． D．
【提分秘籍】
①直接法：若已知条件可直接利用 求解.
②构造齐次式：根据已知条件，可以通过几何法或者代数法，建立齐次方程（不等式），
再同除以 （或 ），构造关于 的方程（不等式）进行求解。
【变式演练】
1．（2022·贵州·遵义一中高二阶段练习）已知椭圆C： 的左、右焦点
分别为 (-c，0)， (c，0)，若椭圆C上存在一点M使得 的内切圆半径为 ，则
椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆八中模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦点为 ，点
，若双曲线的左支上存在一点 ，使得 ，则双曲线 的离心率的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·贵州·高三阶段练习（文））双曲线C： （ ， ）的左、右焦
点分别为 ， ，点P在双曲线C的右支上，若 ，
，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2或3 B．3 C．3或 D．2或
题型三：椭圆、双曲线中焦点三角形面积问题
【典例分析】
例题1．（2022春·宁夏·高二六盘山高级中学校考阶段练习）已知 、 是椭圆的左右焦点，点 是椭圆上的一点，若 ，则 ____．
例题2．（2022春·河南郑州·高二新密市第一高级中学校考阶段练习）已知焦点为 ，
的双曲线 的离心率为 ，点 为 上一点，且满足 ，若 的面积
为 ，则双曲线 的实轴长为________
【提分秘籍】
椭圆，双曲线焦点三角形面积公式常涉及到的公式有：
①椭圆，双曲线定义
②
③余弦定理：
④基本不等式：
【变式演练】
1．（2022春·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考期中）若P是 上的一
点， 是其焦点，若 ，则 的面积为________．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为椭圆 的左右焦
点， 为坐标原点，椭圆上存在一点 ，使得 ，设 的面积为 ，若
，则该椭圆的离心率为___________.
3．（2022秋·河南·高二临颍县第一高级中学校联考阶段练习）已知 ， 分别为双曲线
的左、右焦点，P是双曲线C上一点，若 的周长为 ，则
的面积为______．
4．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知 是双曲线 的
两个焦点，P为双曲线C上的一点.若 为直角三角形，则 的面积等于
______________.题型四：椭圆、双曲线中焦点三角形的其它问题
【典例分析】
例题1．（2022江苏常州·高二统考期中）已知椭圆 ： 的上顶点为 ，两个
焦点为 ， .过 且垂直于 的直线与 交于 两点，则 的周长
为.________.
例题2．（2022春·福建莆田·高二莆田二中校考阶段练习）已知双曲线
的离心率为2， 的左右焦点分别为 ， ，点 在 的右支
上， 的中点 在圆 上，其中 为半焦距，则 ______．
【提分秘籍】
椭圆，双曲线焦点三角形面积公式常涉及到的公式有：
①椭圆，双曲线定义
②
③余弦定理：
④基本不等式：
【变式演练】
1．（2022天津和平·高二天津市汇文中学校考期中）已知椭圆 的左右焦点为
，过点 的直线交椭圆 于 两点，则 的周长为______．
2．（2022湖北·高二校联考期中）如图， ， 分别是椭圆的左、右焦点，点P是以
为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 与椭圆交于点Q，若 ，
则直线 的斜率为_______．3．（2022福建泉州·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知 为双曲线
的左、右焦点， 为C的左、右顶点，P为C左支上一点，若PO平分
，直线 与 的斜率分别为 ，且 ，则C的离心率等于
_______．
题型五：抛物线上点与定点距离最值
【典例分析】
例题1．（2022湖北襄阳·高二校考阶段练习）设定点 ，抛物线 的焦点
为 ，点 为抛物线上的动点，若 的最小值为 ，则实数 的值为__________
例题2．（2022春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期中）已知抛物线 的焦
点是 ，点 ，若抛物线上存在一点 使得 最小，则 点的横坐标为
______.
【提分秘籍】
抛物线的选填问题，主要涉及到抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离 抛物线上点
到准线距离；注意解题时相互转化；
【变式演练】
1．（2022秋·河南平顶山·高二统考期末）已知抛物线 ， 为该抛物线上一
点，B为圆 上的一个动点，则 的最小值为___________.
2．（2022·四川达州·统考一模）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线
的焦点为 ， 点 是抛物线上的一动点， 则 的最小值是__________.
3．（2022春·四川眉山·高二眉山中学校考期中）已知 为抛物线 上任意一点，抛物
线的焦点为 ，点 是平面内一点，则 的最小值为_____________．
题型六：直线与椭圆，双曲线，抛物线位置关系
【典例分析】
例题1．（2022春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）若直线和圆 没有公共点，则过点 的直线与椭圆 的交点个
数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
例题2．（2022春·江西赣州·高二赣州市第三中学校考期中）已知直线 与双
曲线 有且仅有一个公共点，则实数 的取值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
例题3．（2022春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，
点 到点 的距离比它到 轴的距离多 ，记点 的轨迹为 ．直线
与轨迹恰好有两个公共点，则 的取值范围是__________．
【提分秘籍】
直线圆锥曲线的位置关系，主要使用代数法，即联立直线方程与圆锥曲线方程，通过消
元，利用 进行判断.
【变式演练】
1．（2022·高二课时练习）已知 ，则直线 与椭圆 的位置
关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有
可能
2．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线 上的点到
焦点的最小距离为 ，且 与直线 无交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）过抛物线 上的点
且与抛物线只有一个公共点的直线的方程为_________.题型七：中点弦问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高二假期作业）已知双曲线 ，过点 的直线 与该
双曲线相交于 两点，若 是线段 的中点，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．该直线不存在
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 在抛物线 上，且线段 的中
点为 ，则 ＝（ ）
A．4 B．5
C． D．
例题3．（2022春·河南·高二校联考期中）已知椭圆 的离心率
为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 与直线 的交点恰好为线段 的
中点，则直线 的斜率为______．
【提分秘籍】
点差法（注意要回代检验）
x y
2 2
设直线和曲线的两个交点 ， ，代入椭圆方程，得 1 + 1 =1；
A(x
1
,y
1
) B(x
2
,y
2
) a2 b2
x y
2 2
2 + 2 =1；
a2 b2
x
2
−x
2
y
2
−y
2 (x +x )(x −x ) (y +y )(y −y )
将两式相减，可得 1 2 + 1 2 =0； 1 2 1 2 =− 1 2 1 2 ；
a2 b2 a2 b2
a2 (y +y )(y −y ) a2 y
最后整理得：1=− 1 2 1 2 1=−k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0a2 (y +y )(y −y ) a2 y
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1= 1 2 1 2 1=k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0
设直线和曲线的两个交点A(x 1 ,y 1 )，B(x 2 ,y 2 )，代入抛物线方程，得 y 1 2 =2px 1；
y =2px
2 2；
2
y −y 2p
1 2
将两式相减，可得 ；整理得： =
(y −y )(y +y )=2p(x −x ) x −x y +y
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
【变式演练】
1．（2022·高二课时练习）已知直线 交椭圆 于 两点，定点 ，若
的重心为椭圆的右焦点，则直线 的方程为______．
2．（2022春·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知双曲线 和斜率为 的直线l交于
A，B两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标 满足的方程是________.
3．（2022春·北京东城·高三北京二中校考阶段练习）已知A，B是抛物线 上的
两点，线段AB的中点为 ，则直线AB的方程为__________．
题型八：弦长和面积问题
【典例分析】
例题1．（2022春·四川乐山·高三期末）斜率为1的直线 与椭圆 相交于 ，
两点，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，过原点
的直线与双曲线 交于 ， 两点，且 ，则 的面积为（ ）A．3 B． C． D．
例题3．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过抛物线
上一点 作抛物线 的切线 ，若 与 轴交于点 ， 与抛物线 的一个交点为
（异于点 ），则 的面积为（ ）
A．4 B． C． D．6
【提分秘籍】
①弦长公式：|AB|= √ (x −x ) 2 +( y −y ) 2 = √ (x −x ) 2 +(kx−kx ) 2
1 2 1 2 1 2 1 2
= √1+k2 |x −x |= √1+k2√ (x +x ) 2 −4x x
1 2 1 2 1 2
或：
②面积公式： （其中底可以选择弦长，利用弦长公式求解，高可以利用点
到
直线的距离公式求解）
③面积也可以通过分割求解.
【变式演练】
1．（2022春·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期中）已知从椭圆 ：
的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线交C的另一个焦点
，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，E，F分别为椭圆的左右焦
点，动点P满足 ，若 的面积的最大值为 ，则 面积的最小值为
（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2022·全国·高三专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C： －y2＝1相交于
A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）A．2 B．2
C．3 D．4
3．（2022秋·江西九江·高二九江一中校考阶段练习）已知抛物线C： 的焦点为
F，若直线l过点F，且与抛物线C交于A、B两点，过点A作直线 的垂线，垂足为
点M，点N在y轴上，线段AF、MN互相垂直平分，则 （ ）
A． B． C．16 D．32
一、单选题
1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2022·四川达州·统考一模）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大
教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形
弧线的一段近似看成双曲线 下支的一部分，且此双曲线的下焦点
到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．3．（2022·四川南充·统考一模）已知直线 与椭圆 恒有公共点，则
实数m的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·上海虹口·统考一模）已知 是椭圆 与抛物线
的一个共同焦点， 与 相交于A，B两点，则线段AB的长等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中， 分别是双曲线
的左､右焦点，过 作渐近线的垂线，垂足为 ，与双曲线的右
支交于点 ，且 ， ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知抛物线 的焦点是 ，点 是
其准线 上一点，线段 交抛物线 于点 ，当 时， 的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为
， ，点M在双曲线C的右支上， ，若 与C的一条渐近线l垂直，垂足为
N，且 ，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为（ ）A． B．
C． D．
8．（2022·江苏南京·模拟预测）已知 为坐标原点，抛物线 ： .过点 （
）的直线 与 交于 ， 两点，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线 的准线 与 轴相交于点
，过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线 相交于 两点，且 两点在准线上的投影
点分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最小值为4
C． 为定值 D．
10．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别是 ，左、右顶点分别是 ，点 是椭圆 上异于
的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点 满足
C．直线 与直线 的斜率之积为
D．若 的面积为 ，则点 的横坐标为
三、填空题
11．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线的左顶点为 ， 右焦点 ， 若直线 与该双曲线交于
两点， 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________
12．（2022·上海长宁·统考一模）已知 ， 为椭圆 ： 的左右焦点，A
为 的上顶点，直线l经过点 且与 交于B，C两点；若l垂直平分线段 ，则 ABC
的周长是___________. △
四、双空题
13．（2022·河南新乡·统考一模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为
， ，P为椭圆C上异于左、右顶点的任意一点， ， 的中点分别为M，N，O为
坐标原点，四边形OMPN的周长为4b，则椭圆C的离心率为______；若椭圆C过点
，过点 作直线l与椭圆C交于A，B两点，则 的最大值与最小值的
和为______．
14．（2022·北京海淀·首都师范大学附属中学校考三模）已知双曲线 的焦点为
，实轴长为2，则双曲线 的离心率是___________；若点 是双曲线
的渐近线上一点，且 ，则 的面积为___________.
