文档内容
第 09 讲 圆锥曲线中的焦点三角形与焦点弦三角形
（9 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第12题,5分 双曲线中集点三角形问题 求双曲线的离心率
利用定义解决双曲线中集点三角形问题
2023年新I卷，第16题,5分 无
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
2022年全国甲卷（理科）， 椭圆定义及辨析
无
第12题,5分 椭圆中焦点三角形的面积问题
2022年全国甲卷（文科），
椭圆中焦点三角形的面积问题 无
第7题,5分
2022年新I卷，第16题,5分 椭圆中焦点三角形的周长问题 求椭圆的标准方程
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算
2.理解、掌握圆锥曲线的焦点弦三角形及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习知识讲解
1. 椭圆焦点三角形主要结论
在ΔPF F 中,记 ∠F PF =θ,
1 2 1 2
椭圆定义可知:
(1). |PF |+|PF |=2a,|F F |=2c.
1 2 1 2
(2) . 焦点三角形的周长为 L=2a+2c.2b2
(3) |PF ∥PF |= .
1 2 1+cosθ
1 θ
(4). 焦点三角形的而积为: S= |PF ∥PF |sinθ=b2tan .
2 1 2 2
2. 双曲线焦点三角形主要结论
如图, F 、F 是双曲线的焦点, 设 P为双曲线上任意一点,
1 2
b2
S=
记 ∠F PF =θ, 则 △PF F 的面积 θ
1 2 1 2 tan
2
3. 椭圆、双曲线焦点三角形离心率
记∠PF F =α,∠PF F =β,∠F PF =θ
1 2 2 1 1 2
则椭圆的离心率为:
2c |F F | sinθ
e= = 1 2 =
2a |PF |+|PF | sinα+sinβ
1 2
.
双曲线的离心率为:
2c |F F | sinθ
e= = 1 2 =
2a |PF |+|PF | |sinα−sinβ|
1 2
4. 椭圆焦点弦三角形周长
x2 y2
(1) F ,F 为椭圆 C: + =1(a>b>0) 的左、右焦点，过 F 的直线交椭圆于 A,B 两点，则
1 2 a2 b2 1
△ABF 的周长为 4a.
2
x2 y2
(2) F ,F 为椭圆 C: + =1(a>b>0) 的左、右焦点，过 F 的直线交椭圆于 A,B 两点，则
1 2 a2 b2 2
△ABF 的周长为 4a.
15. 双曲线焦点弦三角形周长
x2 y2
如图1， F ,F 为双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 的左、右焦点，过 F 的直线交双曲线同支于
1 2 a2 b2 1
A,B 两点，且 |AB|=m ，则 △ABF 的周长为 4a+2m.
2
6. 椭圆焦点弦三角形面积公式
x2 y2
（1） F 、F 为椭圆 C: + =1(a>b>0) 的左、右焦点，过 F 倾斜角为 θ 的直线 l 与椭圆 C
1 2 a2 b2 2
交于 A、B 两点，则焦点弦三角形 △F AB 的面积:
1
2cpsinθ b2
S = ，其中，p=
△P 1 AB 1−e2cos2θ a
（2） F 、F 为椭圆的左、右焦点，过 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 |AB|=m ，
1 2 2
则焦点弦三角形 △F AB 的面积:
1
S =b√(2a−m)m
△F AB
1
7. 双曲线焦点弦三角形面积公式
x2 y2
（1）设直线 l 过焦点 F 且交双曲线 − =1(a>0,b>0) 于 A、B 两点，直线 l 倾斜角为 θ ，
2 a2 b2
b2
双曲线的半通径为 p= ，则双曲线同支焦点弦三角形的面积
a
2cpsinθ
S =
△P 1 AB 1−e2cos2θ
x2 y2
（2） F 、F 为双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 的左、右焦点，过 F 的直线 l 与双曲线 C 右支
1 2 a2 b2 2
交于 A、B 两点，且 |AB|=m ，则焦点弦三角形 △F AB 的面积:
1
S =b√(2a+m)m
△F AB
1
x2 y2
（3） F 、F 为双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 的左、右焦点，过 F 的直线 l 与双曲线 C 右
1 2 a2 b2 2
支、左支分别交于 A、B 两点，且 |AB|=m ，则焦点弦三角形 △F AB 的面积:
1
S =b√(m−2a)m
△F AB
1
8. 抛物线焦点弦三角形面积公式设直线 l 过焦点 F 且与抛物线 y2=2px(p>0) 交于 A、B 两点，直线 l 倾斜角为 θ ，则焦点弦三
角形 △OAB 的面积为
p2
S =
△OAB 2sinθ
考点一、 椭圆的焦点三角形周长问题
1．（23-24高三·阶段练习）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，若点 是椭圆 上的一个动点，
则 的周长是（ ）
A． B． C．8 D．10
2．（2023·广西南宁·模拟预测）已知椭圆 （ ）的左，右焦点分别为 ， ，过点 的动直
线l交椭圆于A，B两点.若 的周长为8，则 （ ）
A．4 B． C．2 D．
3．（2022·河北秦皇岛·二模）椭圆 的左､右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点，若
的周长为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·陕西西安·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，M为C上一点，
若 的中点为 ，且 的周长为 ，则C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
1．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知 分别为椭圆 的两个焦点，且 的离心率为 为椭圆 上的一点，则 的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
2．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知 是椭圆 上一点， 分别是椭圆的左､右
焦点､若 的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·上海·三模）已知椭圆C的焦点 、 都在x轴上，P为椭圆C上一点， 的周长为6，且
， ， 成等差数列，则椭圆C的标准方程为 ．
考点二、 椭圆的焦点三角形面积问题
1．（2023·全国·高考真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
2．（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆 （ ）的两焦点分别为 、 ．若椭圆上有一点
P，使 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东梅州·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线 与椭圆
的一个交点为 ，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
4．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点 P在C上，
，则 （ ）
A． B． C． D．1．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设椭圆 的左右焦点为 ，椭圆上点 满足
，则 的面积为 .
2．（23-24高三上·云南·阶段练习）已知点 为椭圆 上的一个动点，点 分别为椭圆 的
左、右焦点，当 的面积为1时， （ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）设 ， 是椭圆C： 的两个焦点，点P是C上的一点，
且 ，则 的面积为（ ）
A．3 B． C．9 D．
考点三、 双曲线的焦点三角形面积问题
1．（2024·湖北·模拟预测）设 为双曲线 的两个焦点，点 是双曲线上的一点，且
，则 的面积为 .
2．（22-23高二下·四川德阳·阶段练习）已知焦点在x轴上的双曲线 的左右焦点别为 和 ，
其右支上存在一点P满足 ，且 的面积为3，则该双曲线的离心率为 .
3．（2023·四川凉山·一模）已知点 在椭圆 上， ， 是椭圆的左、右焦点，若
，且 的面积为2，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1．（22-23高二上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系 中，设 是双曲线 的两个焦点，点 在 上，且 ，则 的面积为（ ）
A． B．2 C． D．4
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·期中）设双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 在 的右支
上，且 ，则 的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022·四川成都·三模）设 ， 是双曲线 的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当
时， 面积为（ ）．
A． B． C． D．
考点 四 、 椭圆、双曲线的焦点三角形离心率问题
1．（全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，
则 的离心率为
A． B． C． D．
2．（安徽·高考真题）已知 为椭圆 的焦点，M为椭圆上一点， 垂直于x轴，
且 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·统考高考真题）已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．（全国·高考真题）已知F，F 是双曲线E： 的左，右焦点，点M在E上，M F 与 轴垂直，
1 2 1sin ,则E的离心率为
A． B．
C． D．2
2．（福建·高考真题）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F ，F ，若曲线r上存在点P满足|PF |：|F F |：|
1 2 1 1 2
PF |=4：3：2，则曲线r的离心率等于
2
A． B． 或2 C． 2 D．
3．（福建·高考真题）设圆锥曲线 的两个焦点分别为 ，若曲线 上存在点 满足
，则曲线 的离心率等于
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
4．（湖北·高考真题）已知 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是他们的一个公共点，且 ,则
椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．2
考点 五 、 椭圆的焦点弦三角形周长问题
1．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 分别为椭圆 的左、右焦点，直线 与
椭圆交于P，Q两点，则 的周长为 ．
2．（2024·河北·二模）过椭圆 的中心作直线 交椭圆于 两点， 是 的一个焦点，则
周长的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
3．（22-23高二上·山东德州·期中）已知椭圆C： ，椭圆C的一顶点为A，两个焦点
为 ， ， 的面积为 ，焦距为2，过 ，且垂直于 的直线与椭圆C交于D，E两点，则
的周长是（ ）
A． B．8 C． D．161．（2024·河北衡水·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，焦距为6，点
，直线 与 交于A，B两点，且 为AB中点，则 的周长为 ．
2．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知椭圆 ， 的上顶点为 ，两个焦点为 ，
，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点， ，则 的周长是 .
考点 六 、 椭圆的焦点弦三角形面积问题
1．（2023·云南昆明·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与椭圆C
交于A，B两点，若 ，则 的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
2．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，过坐标原点 的直线 与椭圆
交于 ， 两点．在 中， ，且满足 ，则椭圆 的离心率为 ．
1．（2023·全国·高三专题练习）设P为椭圆C： 上一点，F ，F 分别是椭圆C的左、右焦点，且
1 2
△PF F 的重心为点G，若|PF |∶|PF |＝3∶4，那么△GPF 的面积为（ ）
1 2 1 2 1
A．24 B．12 C．8 D．6
2．（2023·全国·高三专题练习）（多选）设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过 垂直于
轴的直线与椭圆 交于M，N两点，则（ ）
A．椭圆的离心率 B． 的周长为12
C． 的面积为 D． 为等边三角形
考点 七 、 双曲线的焦点弦三角形周长问题1．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线 的左焦点 作一条直线 交双曲线左支于 ， 两点，
若 ， 是双曲线的右焦点，则 的周长是 .
2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为 ，过 的直线交双曲线左支于 两点，
且 ，若双曲线的实轴长为8，那么 的周长是（ ）
A．5 B．16 C．21 D．26
3．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线交双曲
线C的右支于A，B两点，若 的周长为20，则线段AB的长为 ．
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为F、F，在左支上过F 的弦AB的长为
1 2 1
5，若2a＝8，那么△ABF 的周长是（ ）
2
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）如果 分别是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线左支上过
点 的弦，且 ，则 的周长是
3．（2024·江西南昌·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .过 作直线
与双曲线 的右支交于 ， 两点，若 的周长为 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点 八 、 双曲线的焦点弦三角形面积问题
1．（2023·安徽六安·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，直线 与双曲
线 交于 ， 两点，若 ，则 的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．62．（2024·宁夏银川·一模）已知双曲线 ，过原点的直线与双曲线交于 ， 两点，
以线段 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点 ，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
1．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 分别是双曲线 的左右焦点，过 作 轴的垂线与C
交于A，B两点，若 为正三角形，则C的离心率为 ， 的面积为
2．（2023·山西吕梁·统考二模）已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，
直线 与 交于 ， 两点， ，且 的面积为 ，则 的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
考点 九 、 抛物线的焦点弦三角形面积问题
1．（全国·高考真题）设F为抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐
标原点，则△OAB的面积为
A． B． C． D．
2．（2022·山西·高三校联考期末）设F为抛物线 的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，
且 ，O为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·黑龙江校考期末）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，
O为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．42．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知过抛物线 的焦点 的直线 交 于 ， 两点，
为坐标原点，若 的面积为4，则下列说法正确的是（ ）
A．弦 的中点坐标为
B．直线 的倾斜角为30°或150°
C．
D．
一、单选题
1．（2024·山东泰安·二模）设抛物线 的焦点为 ，过抛物线上点 作准线的垂线，设垂足为 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线 的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若
，则 的面积为（ ）
A．8 B． C． D．
3．（23-24高二下·安徽亳州·期末）设 分别是离心率为 的椭圆 的左、右焦
点，过点 的直线交椭圆 于 两点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·福建三明·三模）已知抛物线 的焦点为F，第一象限的两点A，B在抛物线上，且
满足 .若线段 中点的横坐标为3，则p的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ， 上一点 到焦点 的
距离为 ，过焦点 的直线 与抛物线交于 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．6．（2024·新疆·三模）已知抛物线C： 的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦
与弦 的交点恰好为F，且 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
7．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，曲线
上存在一点 ，使得 为等腰直角三角形，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线 的左､右焦点分
别为 为双曲线右支上一点，连接 交 轴于点 ，若 ，且 ，则双曲线的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知点 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，点 在椭圆上，设线段 的中点为 ，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·新疆·二模）设 分别是椭圆 的左，右焦点，过 的直线 交椭圆于 两点，则
的最大值为( )
A． B． C． D．6
11．（2024·全国·模拟预测）椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与
交于 两点，四边形 的周长为 ，若 的面积是 的面积的2倍（ 为坐标原点），
则 （ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）设椭圆 的左､右焦点分别为 ，直线
交椭圆 于点 ， ，若 的周长的最大值为16，则 的离心率为（ ）A． B． C． D．
13．（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 和
上顶点A的直线 交 于另外一点 ，若 ，且 的面积为 ，则实数 的值为（ ）
A．3 B． C．3或7 D． 或7
14．（2024高三·全国·专题练习）已知 为坐标原点，抛物线 上一点 到其准线
的距离为3，过 的焦点 的直线交 于 两点．当 时， 的值为（ ）
A． B． C． D．8
15．（2024·四川·模拟预测）已知 ， 分别是椭圆C： 的左、右焦点，O为坐标原点，M，N
为C上两个动点，且 ， 面积的最大值为 ，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则
（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
16．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点为 ， ，过 的
直线与 交于 ， 两点.若 ， .则（ ）
A． 的周长为 B．
C． 的斜率为 D．椭圆 的离心率为
17．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知直线 经过椭圆 的一个焦点和一
个顶点 ，且与 在第四象限交于点 的左、右焦点分别为 ，则（ ）
A． 离心率为 B． 的周长为
C．以 为直径的圆过点 D．18．（23-24高三上·河南·期中）已知F，F 分别是椭圆 的左、右焦点，且 ，
1 2
直线 与椭圆的另一个交点为B，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长是短轴长的 倍 B．线段 的长度为
C．椭圆的离心率为 D． 的周长为
19．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）已知斜率为 的直线交抛物线 于 、
两点，下列说法正确的是（ ）
A． 为定值 B．线段 的中点在一条定直线上
C． 为定值 D． 为定值（ 为抛物线的焦点）
20．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 、 ，过点 且倾
斜角为 的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A在第一象限），则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的虚轴长为 B．
C． 的周长的最小值为16 D．当 时， 的内切圆面积为
21．（2024·黑龙江·二模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，上顶点为 ，若过 且倾斜
角为 的直线 交椭圆 于 两点，则（ ）
A． 的离心率为 B．
C．点 到直线 的距离为 D． 的周长为8
22．（2024·江西宜春·三模）设椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，坐标原点为O．若椭圆C
上存在一点P，使得|OP|=√7，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． 的面积为2 D． 的内切圆半径为
三、填空题
23．（2024·上海长宁·二模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，，则点 的横坐标为 ．
24．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）设抛物线 的焦点为F，过点 的直线l与抛物线交于
A，B两点，与y轴的负半轴交于C点，已知 ，则 ．
25．（24-25高三上·河北·开学考试）设抛物线 的焦点为 ，过点 作直线交抛物线于 ，
两点，若 ， ，则 ．
26．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）设 是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点
P在C上且 ，则 面积为 .
27．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知 ， 是双曲线 的两个焦点，点M在E上，
如果 ，则 的面积为 ．
28．（2024·广东珠海·一模）已知点P在双曲线 上， ， 分别是双曲线C的左、右焦点，
若 的面积为45，则 ．
29．（2024·河南·二模）抛物线 的焦点为 为 上一点， 为 轴正半轴上一点，若
是等边三角形，则直线 的斜率为 ， .
30．（2024·山西晋城·二模）已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，过 的直
线与C交于A，B两点，且 ，若 的面积为 ，其中O为坐标原点，则 的值为
．
1．（2023·全国·统考高考真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，
则 （ ）A．1 B．2 C．4 D．5
2．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点 P在C上，
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（上海·高考真题）已知 、 是椭圆 （ ＞ ＞0）的两个焦点， 为椭圆 上一
点，且 .若 的面积为9，则 = .
4．（全国·高考真题）设 ， 为双曲线 的两个焦点，点P在双曲线上，且满足 ，
则 的面积为（ ）
A． B．2 C． D．1
5．（全国·高考真题）已知 、 为双曲线C： 的左、右焦点，点P在C上，∠ P = ，则
A．2 B．4 C．6 D．8
