易错点1 忽略概率加法公式的应用前提致错
某商店日收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：
日收入 [1000, 1500) [1500,2000) [2000, 2500) [2500, 3000)
概率 0.12 a b 0.14
已知日收入在[1000,3000)(元)范围内的概率为0.67,求月收入在[1500,3000)(元)范围内的概率.
【错解】记这个商店日收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000) (元)范围内的事件分别为
A,B,C,D,则日收入在[1500,3000)(元)范围内的事件为B+C+D,所以P(B+C+D)=1-P(A)=0.88.
【错因分析】误用P(B+C+D)=1-P(A).事实上,本题中P(A)+P（B）+P（C）+P（D）≠1,故事件A与事件B+C+D
并不是对立事件.
【试题解析】因为事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P（B）+P（C）+P（D）=0.67,
所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.
在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件A，B，有
，只有当事件A，B互斥时，等号才成立.
1．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为 ，得到黑球或黄球的概率为 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
【答案】得到黑球的概率为 ，得到黄球的概率为 ，得到绿球的概率为 .
【名师点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，考查了互斥事件的概率加法公式，关键是明确互斥事件
和的概率等于概率的和，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．分别以 表示
事件：从袋中任取一球“摸到红球”，“摸到黄球”，“摸到绿球”，则由题意得到三个和事件的概率，求
解方程组，即可得到答案．学科&网
易错点2 混淆“等可能”与“非等可能”
从5名男生和3名女生中任选1人去参加演讲比赛,求选中女生的概率.
【错解】从8人中选出1人的结果有“男生”“女生”两种,则选中女生的概率为 .
【错因分析】因为男生人数多于女生人数,所以选中男生的机会大于选中女生的机会,它们不是等可能的.【试题解析】选出1人的所有可能的结果有8种,即共有8个基本事件,其中选中女生的基本事件有3个,故选
中女生的概率为 .
利用古典概型的概率公式求解时，注意需满足两个条件：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）试验的每个基
本事件是等可能发生的.
2．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是
A． B．
C． D．
【答案】D
【名师点睛】本题主要考查了概率的基本概念及应用，其中熟记随机事件的概率的基本概念是解答的关键，
着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．由题意投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为 ，
它不因抛掷的次数而变化，即可得到答案．学科.网
错点3 几何概型中测度的选取不正确
在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C．
（1）在斜边AB上任取一点M,求AM<AC的概率;（2）在∠ACB的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM<AC的概率.
【错解】（1）如图所示,在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.
由题意,知AB= AC．
由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因此基本事件的区域应是线段AB．
所以 .
（2）在∠ACB的内部作射线 ，则所求概率为 .
【错因分析】第（2）问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确，因为在∠ACB的内部作射线 是
均匀分布的，所以射线 作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度而不是长度.
【试题解析】（1）如图所示,在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.
由题意,知AB= AC．
由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上
,因此基本事件的区域应是线段AB．
所以 .
（2）由于在∠ACB内作射线CM,等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置(如图所示),
因此基本事件的区域应是∠ACB,
又 ， ，所以 .
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．
(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后
利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利
用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．
3．在区间 上随机取两个数x，y，记P为事件“ ”的概率，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【名师点睛】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已
知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.
(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；
(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为
一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；
(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．学科.网
易错点4 错解随机变量的取值概率而致错
从4名男生和2名女生中任意选择3人参加比赛，设被选中的女生的人数为 ．
（1）求 的分布列；
（2）求所选女生的人数至多为1的概率．
【错解】（1）由题设可得 的可能取值为0，1，2，
且 ， ， ，
所以 的分布列为
0 1 2
（2）所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为 ，其概率为 ．
【错因分析】产生错解的原因是对随机变量的取值概率求解错误，事实上随机变量 服从参数为 ，
， 的超几何分布．
【试题解析】（1）由题设可得 的可能取值为0，1，2，且 ，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2
（2）所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为 ，其概率为 ．
4．大豆是我国主要的农作物之一,因此,大豆在农业发展中占有重要的地位,随着农业技术的不断发展,为了使
大豆得到更好的种植,就要进行超级种培育研究.某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试：选择一
块营养均衡的可种植 株的实验田地，每株放入三粒“超级豆”种子，且至少要有一粒种子发芽这株豆
苗就能有效成活，每株成活苗可以收成大豆 .已知每粒豆苗种子成活的概率为 （假设种子之间
及外部条件一致，发芽相互没有影响）.
（1）求恰好有3株成活的概率；
（2）记成活的豆苗株数为 ，收成为 ，求随机变量 分布列及 数学期望 .
【答案】（1） ；（2）见解析.（2）记成活的豆苗株数为 ，收成为 ，
则 的可能取值为 ，且 ~ ，
所以 的分布列如下表：
.学科@网
【名师点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确
理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，
正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：①阅读理解关；②概率计算关；③公式应用关.
（1）利用对立事件求出每株豆子成活的概率，再结合独立事件概率公式得到结果；
（2）记成活的豆苗株数为 ，收成为 ，且 ~ ，从而得到随机变量 的分布列及 的数
学期望 .
易错点5 对超几何分布的概念理解不透彻而致错
盒中装有12个零件，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一
个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数 的分布列．
【错解】由题意可知， 服从超几何分布，其中 ， ， ，所以在取得正品之前已取出次品数的分布列为 ，所以已取出次品数 的分布列为
0 1 2 3
【错因分析】错解中未理解超几何分布的概念．本题是不放回抽样，“ ”表示“第一次取到次品，第二
次取到正品”，“ ”表示“前两次都取到次品，第三次取到正品”，属于排列问题．而超几何分布是一
次性抽取若干件产品，属于组合问题．
【试题解析】由题易得 的可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
，
所以已取出次品数 的分布列为
0 1 2 3
求随机变量的分布列的关键是熟练掌握排列、组合知识，求出随机变量每个取值的概率，注意概率的取值范
围（非负），在由概率之和为1求参数问题中要把求出的参数代回分布列进行检验．
5．某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座.已知A、B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4
人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》.
（1）若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；
（2）若从A、B两组中各任选2人，设 为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求 的分布列和数
学期望 .
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】（1）设“选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件 ，
则 ，学科&网
答：选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为 .
X 0 1 2 3
所以 的数学期望为：
.
【名师点睛】本题主要考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，属
于中档题.（1）利用相互独立事件与古典概率计算公式即可得出；
（2）X可能的取值为 ，利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列与数学
期望.
掌握离散型随机变量的分布列，须注意：
（1）分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件
发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其
结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．
（2）要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．
易错点6 混淆互斥事件与相互独立事件而致错
甲投篮命中率为 ，乙投篮命中率为 ，每人投3次，两人都恰好投中2次的概率是多少？
【错解】设“甲恰好投中2次”为事件 ，“乙恰好投中2次”为事件 ，
则“两人都恰好投中2次”为事件 ，
所以 ．
【错因分析】产生错解的原因是把相互独立事件同时发生当成互斥事件来考虑，将“两人都恰好投中2次”
理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和．
【试题解析】设“甲恰好投中2次”为事件 ，“乙恰好投中2次”为事件 ，且 ， 相互独立，
则“两人都恰好投中2次”为事件 ，
所以 ．
1．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．
2．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件．
6．一张储蓄卡的密码共有 位数字，每位数字都可以从 中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，
忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过 次就按对的概率为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上
取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为：
P= = ．
故选C．学科.网
【名师点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，
考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘
法公式直接求解．
一、随机事件与概率
1.事件关系的判断方法
对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可
类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事
件的关系．
2．基本事件个数的计算方法
(1)列举法；
(2)列表法；
(3)利用树状图列举.
3.求互斥事件概率的两种方法
(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．
(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－ 求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是
“至多”“至少”型题目，用间接求法往往会较简便.
二、古典概型1.求古典概型的基本步骤
(1)算出所有基本事件的个数n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.
(3)代入公式P(A)＝，求出P(A)．
2．基本事件个数的确定方法
(1)列举法：此法适用于基本事件较少的古典概型．
(2)列表法：此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法．
3．求与古典概型有关的交汇问题的方法
解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的
个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
三、几何概型
1.求解与长度(角度)有关的几何概型的方法
求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要
特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．
2．求解与体积有关的几何概型的方法
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些
较复杂的也可利用其对立事件去求．
3．求解与面积有关的几何概型的方法
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看
成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
四、离散型随机变量分布列的常见类型及解题策略
(1)与排列组合有关分布列的求法．可由排列组合、概率知识求出概率，再求出分布列．
(2)与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．
(3)与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．
(4)与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．
(5)超几何分布的特点
超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布．
超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
五、n次独立重复试验与二项分布
1.条件概率的两种解法
(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A) 求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A).，再求事件AB所包含的基本事
件数n(AB)，得P(B|A) .
2．求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
(2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
4．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A) ，其中，在实际应用中P(B|
A)＝ 是一种重要的求条件概率的方法．
5．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，
两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
6．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k个
A事件与n－k个 事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次独立重复
试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k.
1．（2018年全国卷II理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想
是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过30的素数中，随机选取两
个不同的数，其和等于30的概率是
A． B．
C． D．
【答案】C
【名师点睛】先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率
公式求概率.古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法. 学科!网
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题
目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金
支付的概率为
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
【答案】B
【解析】设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付.
则 .因为 ，所以 .
故选B.
【 名 师 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 事 件 的 基 本 关 系 和 概 率 的 计 算 ， 属 于 基 础 题 . 由 公 式
计算可得.学科^网
3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【名师点睛】分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能个数及事件
“选中的2人都是女同学”的总可能个数，代入概率公式可求得概率.应用古典概型求某事件的步骤：
第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件 ；第二步，分别求出基本事件的总数 与所求事件 中所包含的基本事件个数 ；
第三步，利用公式 求出事件 的概率.
4．“上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中
“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n= =3，
∴该幼童能将这句话排列正确的概率p= ．
故选A.
【名师点睛】先排好医字，共有 种排法，再排国字，只有一种方法.有关古典概型的概率问题，关键是正
确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.
（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状
图”列举；
（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．
5．已知随机变量X服从正态分布N(3,δ2),且P(x≤6)=0.9,则P(0＜x＜3)=
A．0.4 B．0.5
C．0.6 D．0.7
【答案】A
6．已知某运动员每次投篮命中的概率是40％．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中
的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定l，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；
再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：
907 966 191 925 271 431 932 458 569 683
该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮
恰有两次命中的有：191、932、271，共3组随机数，故所求概率为 .
故答案为C.
【名师点睛】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注
意列举法在本题的应用．由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数
中表示三次投篮恰有两次命中的可以通过列举得到共3组随机数，根据概率公式，得到结果．
7．传说战国时期,齐王与田忌各有上等,中等,下等三匹马,且同等级的马中,齐王的马比田忌的马强,但田忌的
上、中等马分别比齐王的中、下等马强.有一天,齐王要与田忌赛马,双方约定:比赛三局,每局各出一匹马,每
匹马赛一次,赢得两局者为胜.如果齐王将马按上,中,下等马的顺序出阵,而田忌的马随机出阵比赛,则田忌
获胜的概率是
A． B．
C． D．
【答案】C
8．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点
O的距离大于l的概率为
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】设点P到点O的距离小于等于1的概率为P，由几何概型，得P＝ ＝ ，故点P
1 1
到点O的距离大于1的概率P＝1－ ＝ .学科*网
故选B.
9．有三箱粉笔，每箱中有100盒，其中有一盒是次品，从这三箱粉笔中各抽出一盒，则这三盒中至少有一盒是
次品的概率是
A．0.01×0.992 B．0.012×0.99
C． 0.01×0.992 D．1－0.993
【答案】D
【名师点睛】本题主要考查了互斥事件概率的求法，解题的关键是熟练掌握互斥事件的概率和为1，属于基
础题.根据题意求出事件“三盒中没有次品”的概率，然后根据互斥事件的概率和为1，即可得到答案.
10．运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为 ,从集合 中任取一个元素 ,则函数
是增函数的概率为
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】该程序的运行过程如下:x=-3,输出 ,输出 ,输出 ,输出 ,
输出 ,输出 ,输出y=15,程序结束,故A={3,0,-1,8,15},其中有3个正元素,可使得函数
是增函数,故所求概率为 .
故选C.
11．设函数f(x)= 在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是
A． B．1﹣
C． D．
【答案】B
12．（2018新课标I卷理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个
半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色
部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p，p，p，则
1 2 3
A．p=p B．p=p
1 2 1 3
C．p=p D．p=p+p
2 3 1 2 3
【答案】A
【解析】设 ，则有 ，从而可以求得 的面积为 ，
黑色部分的面积为，
其余部分的面积为 ，所以有 ，
根据面积型几何概型的概率公式，可以得到 .
故选A.
【名师点睛】该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何
概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得
结果.首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，之后应用相应的面
积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出
p，p，p 的关系，从而求得结果.学科&网
1 2 3
13．（2018年江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名
女生的概率为________．
【答案】
【名师点睛】先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概
率.古典概型中基本事件数的探求方法：
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题
目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
14．（2018上海卷）有编号互不相同的五个砝码，其中 克、 克、克砝码各一个， 克砝码两个，从中随机选
取三个，则这三个砝码的总质量为 克的概率是_____．
【答案】
【解析】编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，
所有的事件总数为： =10，
这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2，共两个，
所以这三个砝码的总质量为9克的概率是： = ，
故答案为： ．
【名师点睛】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．有关古
典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.
（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状
图”列举；
（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．
15．已知向量 若 ，则向量 的概率为_______.
【答案】
【名师点睛】本题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之
比是解题的关键．先求出基本事件的个数，利用向量平行确定满足 的基本事件个数，然后代入古典
概型概率计算公式求概率.
16．（1）一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求在第一次取到白球的条
件下，第二次取到黑球的概率为____________；
（2）有一批种子的发芽率为 ，出芽后的幼苗成活率为 ，在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子
能成长为幼苗的概率为____________．
【答案】（1） ；（2） ．【解析】（1）记“第一次取到白球”为事件 ，“第二次取到黑球”为事件 ．注意这里的问题与“求第
一次取到白球，第二次取到黑球的概率”不一样．学科#网
方法一：显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率 ，
由条件概率的计算公式，得 ．
方法二：因为 ， ，所以 ．
（2）设“种子发芽”为事件 ，“种子成长为幼苗”为事件 （发芽且成活为幼苗），则出芽后的幼苗
成 活 率 为 ， ， 根 据 条 件 概 率 公 式
，故在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼
苗的概率为 ．
【名师点睛】（1）由条件概率的定义知， 与 是不同的；另外，在事件 发生的前提下，
事件 发生的可能性大小不一定是 ，即 与 不一定相等．（2） 可
变形为 ，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．如已知 ，
可求 ；已知 ， 可求 ．
17．设集合 , ,从集合 中任取一个元素,则这个元素也是集合
中元素的概率是__________．
【答案】【名师点睛】（1）本题主要考查集合的化简和运算，考查几何概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平和
分析推理能力.先根据集合A，B，求出A∩B，再利用长度型的几何概型的意义求解即可．
（2）几何概型的解题步骤：
首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变
量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；
接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件 构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式
；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再
列出试验的全部结果和事件 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代
公式.
18．设随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P a
则a = ；E(X)= ．
【答案】
19．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价
处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间 ，需求量为300瓶；如果最高
气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，
得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 (单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出
的所有可能值，并估计 大于零的概率.
【答案】（1）0.6；（2）0.8.
【解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，
由表格数据知，最高气温低于25的频率为 ，
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y=6 450-4 450=900；
若最高气温位于区间 [20,25），则Y=6 300+2×（450-300）-4 450=300；
若最高气温低于20，则Y=6 200+2×（450-200）-4 450= -100.
所以，Y的所有可能值为900,300，-100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，
由表格数据知，最高气温不低于20的频率为 ，
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
【名师点睛】在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数 ，其次求出概率事件中含有
多少个基本事件 ，然后根据公式 求得概率.学科&网
（1）由前三年六月份各天的最高气温数据,求出最高气温位于区间 和最高气温低于 的天数，由
此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）当湿度大于等于 时,需求量为500 ,求出 元；当温度在 时，需求量为300，求出
元；当温度低于 时，需求量为200，求出 元，从而当温度大于等于20时， ,
由此能估计估计 大于零的概率.20．为了减少雾霾,还城市一片蓝天,某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策,鼓励
民众不开车低碳出行,某甲乙两个单位各有200名员工,为了了解员工低碳出行的情况,统计了12月5日
到12月14日共10天的低碳出行的人数,画出茎叶图如下:
(1)若甲单位数据的平均数是122,求 ;
(2)现从如图的数据中任取4天的数据(甲、乙两单位中各取2天),记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数
不低于130人的天数为 ,令 ,求 的分布列和期望.
【答案】（1）8；（2）见解析.
【解析】(1)由题意 ,
解得 ;
(2)随机变量 的所有取值有0,1,2,3,4.
;;
的分布列为:
0 1 2 3 4
21．某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等级如下表:
从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:
(1)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品 ”
的规定?
(2)在样本中,按产品等级用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产
品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值 近似满足
,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?
【答案】（1）不能；（2） ；（3）
【解析】(1)根据抽样调查数据,一、二等品所占比例的估计值为 =
,
由于该估计值小于 ,学科&网
故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品 ”的规定．(3)“质量提升月”活动前,该企业这种产品的质量指标值的均值约为
= ,
“质量提升月”活动后,产品质量指标值 近似满足 ,
即质量指标值的均值约为 .
所以,“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了
22．（2018天津理）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中
抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【答案】（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人；（2）（i）见解析；（ii） .
【解析】本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基
础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．
（2）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）= （k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P随机变量X的数学期望 ．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的
3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，
P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)= ．学科&网
所以，事件A发生的概率为 ．
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