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七年级下册数学《第九章 不等式与不等式组》
专题 一元一次不等式组的实际应用问题
（ 基础题＆提升题＆压轴题 ）
基础题
1．（2021秋•沙坪坝区校级期末）某天，孟孟与欢欢在讨论攀攀的年龄，欢欢说：“攀攀
至多3岁．”而孟孟说：“攀攀的年龄一定大于1岁．”则攀攀年龄的取值范围在数轴
上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设攀攀年龄为x岁，根据欢欢及孟孟说的话，可得出1＜x≤3，再将其表示在
数轴上即可得出结论．
【解答】解：设攀攀年龄为x岁，
{x≤3
依题意得： ，
x＞1
即1＜x≤3，
∴将其表示在数轴上如图所示．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及在数轴上表示不等式的解集，根据各
数量之间的关系，找出攀攀年龄的取值范围是解题的关键．
2．（2023春•建宁县期中）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到
一周就已读完．李永平均每天比张力多读 3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列
出不等式组为（ ）
{ 7x＜98 { 7x＞98
A． B．
7(x+3)＞98 7(x+3)＞98
{ 7x＜98 { 7x＞98
C． D．
7x+3＞98 7x+3＜98【分析】张力平均每天读x页，则李永每天读（x+3）页，根据张力读了一周（7天）还
没读完可得不等式7x＜98，根据李永不到一周就已读完可得不等式7（x+3）＞98，再
联立两个不等式即可．
【解答】解：设张力平均每天读x页，由题意得：
{ 7x＜98
，
7(x+3)＞98
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，
找出题目中的不等关系，选准不等号．
3．（2022秋•新化县期末）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分 5个苹果，则
还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．
求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（ ）
A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x
C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8
【分析】设有 x 人，由于每位小朋友分 5 个苹果，则还剩 12 个苹果，则苹果有
（5x+12）个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果
数5x+12﹣8（x﹣1）大于0，并且小于8，根据不等关系就可以列出不等式
【解答】解：设有x人，则苹果有（5x+12）个，由题意得：
0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，
故选：C．
【点评】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找
出题目中的不等关系．
4．（2021春•扶沟县期末）目前，我国已获批上市4款自主研发的新冠疫苗．某生物制药
公司计划生产制造A、B两种疫苗共40万支，已知生产每支A疫苗需甲种原料8mg，乙
种原料5mg；生产每支B疫苗需甲种原料 4mg，乙种原料9mg．公司现有甲种原料
4kg，乙种原料3kg，设计划生产A疫苗x支，下列符合题意的不等式组是（ ）
{8x+5(400000-x)⩽4000000 {5x+9(400000-x)⩽4000000
A． B．
4x+9(400000-x)⩽3000000 8x+4(400000-x)⩽3000000
{8x+4(400000-x)⩽4000000 {8x+9(400000-x)⩽4000000
C． D．
5x+9(400000-x)⩽3000000 5x+4(400000-x)⩽3000000
【分析】根据生产每支A疫苗需甲种原料8mg，乙种原料5mg；生产每支B疫苗需甲种
原料4mg，乙种原料9mg．公司现有甲种原料4kg，乙种原料3kg，可以列出相应的不等
式组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
{8x+4(400000-x)≤4000000
，
5x+9(400000-x)≤3000000
故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，
列出相应的不等式组．
5．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共 50个，购买资金不超过
3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．
求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组（ ）
{ 1
{ 2x≥50-x x＞ (50-x)
A． B． 2
80x+50(50-x)＜3200
80x+50(50-x)＜3200
{ 1 { 1
x≥ (50-x) x≥ (50-x)
C． 2 D． 2
80x+50(50-x)≤3200 50x+80(50-x)≤3200
【分析】设购买篮球x个，则购买足球（50﹣x）个，根据购买篮球的数量不少于足球
数量的一半、总价＝单价×购买数量结合购买资金不超过3200元，即可得出关于x的一
元一次不等式组．
【解答】解：设购买篮球x个，则购买足球（50﹣x）个，
{ 1
x≥ (50-x)
由题意，得 2 ．
80x+50(50-x)≤3200
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量间的关系，正确
列出一元一次不等式是解题的关键．
6．现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每
间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为（
）
{(4x+19)-6(x-1)≥1 {(4x+19)-6(x-1)≤1
A． B．
(4x+19)-6(x-1)≤6 (4x+19)-6(x-1)≥6
{(4x+19)-6(x-1)≤1 {(4x+19)-6(x-1)≥1
C． D．
(4x+19)-6(x-1)≥5 (4x+19)-6(x-1)≤5
【分析】易得学生总人数，不空也不满意思是一个宿舍人数在1人和5人之间，关系式
为：总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数≥1；总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数≤5，把相关
数值代入即可．
【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，
∴学生总人数为（4x+19）人，
∵一间宿舍不空也不满，
∴学生总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数在1和5之间，
{(4x+19)-6(x-1)≥1
∴列的不等式组为：
(4x+19)-6(x-1)≤5故选：D．
【点评】考查列不等式组，理解“不空也不满”的意思是解决本题的突破点，得到相应
的关系式是解决本题的关键．
7．（2022春•连山区期末）有一个两位数，它的个位数字是十位数字的2倍小1，并且这
个两位数不大于35，设十位数字为x，那么满足x的不等式组是 ．
【分析】根据已知分别写出这个两位数的个位数字和十位数字，从而得出这个两位数，
而已知这个两位数的区间，故可得到不等式组．
【解答】解：设十位数字为x，
那么这个数的个位数字是：2x﹣1，
这个两位数是：10x+（2x﹣1），
而这个两位数不大于35，
所以10＜10x+（2x﹣1）≤35．
故本题答案为：10＜10x+（2x﹣1）≤35．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组：首先把题意弄明白，在此
基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在
“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理
解这些地方有利于自己解决此类题目．
8．某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时
10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ．
【分析】根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可．
{ x＞4×5
【解答】解：根据题意，得 10 ，
x＜(4+ )×5
60
{ x＞4×5
故答案为： 10 ．
x＜(4+ )×5
60
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．
9．（2022春•蜀山区期中）琥珀中学教育集团某生物兴趣小组要在恒温箱中培养A，B两
种菌种，A菌种生长的温度在20～28℃之间（不包括20℃、28℃），B菌种生长的温度
在25～33℃之间（不包括25℃、33℃），若设恒温箱的温度为t℃，则t所满足的不等
式为 ．
【分析】求出两个范围的公共部分，即可解答．
【解答】解：由题意得：
{20＜t＜28
，
25＜t＜33
∴25＜t＜28，
∴t所满足的不等式为：25＜t＜28，故答案为：25＜t＜28．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，求出两个范围的公共部分是
解题的关键．
10．（2021春•中山市期末）几个同学相约一起去书店买书，书架上有一本《数学女孩》，
小明看到了该书的价格，他让同学们猜一猜价格，甲说：“至多42元．”乙说：“至
少50元．”丙说：“至多30元．”小明说：“你们三个人都说错了．”则这本书的价
格x（元）所在的范围为（ ）
A．42＜x＜50 B．30≤x≤50 C．42≤x≤50 D．30＜x＜42
【分析】由“甲说：“至多42元．”乙说：“至少50元．”丙说：“至多30元．”列
出不等式组即可求解．
{x≤42
【解答】解：由题意可得： x≥50，
x≤30
∵三个人都说错了，
∴42＜x＜50，
故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，找出正确的不等关系是解题的关键．
11．为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种
羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多
出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（
）只．
A．55 B．72 C．83 D．89
【分析】根据最后一户分得母羊的只数可表示为5x+17﹣7（x﹣1），可列出不等式，求
解即可得出答案．
【解答】解：设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，
{5x+17-7(x-1)＞0
由题意知， ，
5x+17-7(x-1)＜3
21
解得： ＜x＜12，
2
∵x为整数，
∴x＝11，
则这批种羊共有11+5×11+17＝83（只）．
故选C．
【点评】本题是一道有关一元一次不等式（组）的应用的题目；根据题意列出不等式组
是解本题的关键．
12．某班男女同学分别参加植树劳动，要求男女同学各种 8行树，男同学种的树比女同学种的树多，如果每行都比预定的多种一棵树，那么男女同学种树的数目都超过100棵；
如果每行都比预定的少种一棵树，那么男女同学植树的数目都达不到100棵．这样原来
预定男同学和女同学各种树多少棵？
【分析】关系式为：8×（原来每行树的棵数+1）＞100；8×（原来每行树的棵数﹣1）＜
100，把相关数值代入求得整数解，根据男同学种的树比女同学种的树多可得男同学和
女同学原来种的每行树的棵数，乘以8即为总的种树棵数．
【解答】解：设原来每行树的棵数为x．
{8(x+1)＞100
，
8(x-1)＜100
解得11.5＜x＜13.5，
∵x为整数，
∴x为12，13．
∵男同学种的树比女同学种的树多，
∴男同学每行种13棵树，女同学每行种12棵树．
∴男同学种了13×8＝104棵树，女同学种了12×8＝96棵树．
答：预定男同学种树104棵，女同学种树96棵．
【点评】考查一元一次不等式组的应用；得到种树总棵数和 100的2个关系式是解决本
题的关键．
13．某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种 3棵，
则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本
次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）
【分析】设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树，根据“如果每人种5棵，则
最后一人有树种但不足3棵”，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取
值范围，再结合x为正整数即可得出结论．
【解答】解：设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树，
{ 3x+86＞5(x-1)
依题意，得： ，
3x+86＜5(x-1)+3
1
解得：44＜x＜45 ，
2
又∵x为正整数，
∴x＝45，3x+86＝221．
答：该班有45名学生，本次一共种植221棵树．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是根据
各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
14．李明和小华的年龄相差8岁．今年，李明的年龄比小华年龄的2倍大；两年后，小华
1
的年龄比李明年龄的 大．试问：李明和小华今年各多少岁？
2{
x＞2(x-8)
【分析】设今年李明x岁，则今年小华（x﹣8）岁，可得： 1 ，即得14
(x+2)＜x-8+2
2
＜x＜16，由x为正整数，即得李明和小华今年分别是15岁、7岁．
【解答】解：设今年李明x岁，则今年小华（x﹣8）岁，
{
x＞2(x-8)
根据题意，得： 1 ，
(x+2)＜x-8+2
2
解不等式组，得：14＜x＜16，
∵x为正整数，
∴x＝15，x﹣8＝15﹣8＝7，
答：李明和小华今年分别是15岁、7岁．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是根据
各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
15．（2022春•鲤城区校级期中）某校筹备20周年校庆，学校决定利用现有的3490盆甲种
花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭
配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造形需甲种花卉50盆，
乙种花卉90盆．你班承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有
几种？请你帮助设计出来．
【分析】设搭配A种造型x个，则搭配B种造型（50﹣x）个，根据搭配50个造型所需
甲种花卉不超过3490盆、乙种花卉不超过2950盆，即可得出关于x的一元一次不等式
组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各搭配方案．
【解答】解：设搭配A种造型x个，则搭配B种造型（50﹣x）个，
{80x+50(50-x)≤3490
依题意得： ，
40x+90(50-x)≤2950
解得：31≤x≤33．
又∵x为正整数，
∴x可以为31，32，33，
∴共有3种搭配方案，
方案1：搭配A种造型31个，B种造型19个；
方案2：搭配A种造型32个，B种造型18个；
方案3：搭配A种造型33个，B种造型17个．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是根
据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．提升题
1．（2022春•翔安区期末）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的长方形
花园，设长方形花园的长为a（m），宽为b（m），受场地条件的限制，已知a的取值
范围为18≤a≤26，那么b的取值范围是 ．
【分析】由a的取值范围结合a＝50﹣2b，即可得出关于b的一元一次不等式组，解之
即可得出结论．
【解答】解：∵18≤a≤26，a＝50﹣2b，
{50-2b≥18
∴ ，
50-2b≤26
解得：12≤b≤16．
即b的取值范围为12≤b≤16，
故答案为：12≤b≤16．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式组是解题的关键．
2．（2022秋•益阳期末）用长为40m的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度
AC＝30m，要使靠墙的一边长不小于25rn，那么与墙垂直的一边长x（m）的取值范围
为（ ）
10 10 10
A．0≤x≤5 B．x≥ C．0≤x≤ D． ≤x≤5
3 3 3
【分析】由垂直于墙的一边长为xm知AC＝（40﹣3x）m，再根据“靠墙的一边长不小
于25m且不超过30m”列出关于x的不等式组，解之即可．
【解答】解：垂直于墙的一边长为xm，
则AC＝（40﹣3x）m，
根据题意，得：25≤40﹣3x≤30，
10
解得 ≤x≤5，
3
故选：D．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是根据题意确
定其中蕴含的不等关系．
3．（2023春•碑林区校级月考）若干辆载重为5t的卡车来运载货物，若每辆卡车只装3t，
则剩下16t货物；若每辆卡车装5t，则最后一辆汽车不满也不空，问：可能有（ ）
辆汽车．
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】设有x辆汽车，根据题意列不等式组解题，取符合题意的整数即可．
【解答】解：设有x辆汽车，则0＜（3x+16）﹣5（x﹣1）＜5，
21
解得8＜x＜ ，
2
∵x为正数，
∴x为9或10，
故选：D．
【点评】本题考查不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
4．今年，重庆市南岸区广阳镇一果农李灿收获枇杷20吨，桃子12吨，现计划租用甲、乙
两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售．已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子
1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．李灿安排甲、乙两种货车一次性地将水果
运到销售地的方案数有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】设租用甲种货车x辆，则租用乙种货车（8﹣x）辆，根据8辆货车可一次将枇
杷20吨、桃子12吨运完，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取
值范围，再结合x为整数即可得出结论．
【解答】解：设租用甲种货车x辆，则租用乙种货车（8﹣x）辆，
{4x+2(8-x)≥20
依题意，得： ，
x+2(8-x)≥12
解得：2≤x≤4．
∵x为整数，
∴x＝2，3，4，
∴共有3种租车方案．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式组是解题的关键．
5．（2022•泰来县校级模拟）疫情的发生，各地积极响应政府“管住门，看住人”的要求，
温华物业管理有限公司，对管辖的各小区实行门绳拦截管理，对符合3天出门一次采购
生活用品的人员才能签证放行，为此，他们要把长19米的绳子剪成2米或1米的绳子，
分发给各小区，请帮助公司设计有（ ）裁剪方案．A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】设2米长的绳子x根，则1米长的绳子为（19﹣2x）根，根据绳子的根数为正
整数列出不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：设2米长的绳子x根，则1米长的绳子为（19﹣2x）根，根据题意得：
{ x≥0
，
19-2x≥0
19
解得：0≤x≤ ，
2
∵x必须取整数，
∴x＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，
∴有10种裁剪方案，A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式
组．
6．（2022春•永定区期末）已知某程序如图所示，规定：从“输入实数x”到“结果是否
大于95”为一次操作．如果该程序进行了两次操作停止，那么实数x的取值范围是（
）
A．x＞23 B．11≤x≤23 C．23＜x≤47 D．x≤47
【分析】表示出第一次、第二次的输出结果，再由第二次输出结果可得出不等式，解出
即可．
【解答】解：第一次的结果为：2x+1，没有输出，则2x+1≤95，
解得：x≤47；
第二次的结果为：2（2x+1）+1＝4x+3，输出，则4x+3＞95，
解得：x＞23；
综上可得：23＜x≤47．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是
否可以输出，得出不等式．
7．（2022春•玉林期末）小华去商店购买A、B两种玩具，共用了12元，A种玩具每件1
元，B种玩具每件3元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量不少于B种玩具的
数量，则小华的购买方案有（ ）
A．7种 B．6种 C．4种 D．3种12-x
【分析】设小华购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为 件，根据题意列出不
3
等式组进行解答便可．
12-x
【解答】解：设小华购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为 件，根据题意得，
3
x≥1
{
12-x
≥1
3 ，
12-x
x≥
3
解得，3≤x≤9，
12-x
∵x为整数， 也为整数，
3
∴x＝3或6或9，
∴有3种购买方案．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用题，正确表示出购买B种玩具的数量
和正确列出不等式组是解决本题的关键所在．
8．（2021春•丰都县期末）“垃圾分类就是新时尚”，树立正确的垃圾分类观念，促进市
民养成良好的文明习惯，对于增强公共意识，提升文明素质具有重要意义．重庆市丰都
县某中学为创建国家级文明城市需补充购买一批垃圾桶，准备补充不同类型垃圾桶共20
套，已知二合一垃圾桶每套100元，三合一垃圾桶每套200元，若购买垃圾桶总费用不
超过3100元，不低于2920元，且购买的三合一垃圾桶如果超过10套，则三合一垃圾桶
全部打九折，购买费用最低需要 元．
【分析】根据题意分别利用当x≤10时及当x＞10时，表示总费用进而求出符合题意的
答案．
【解答】解：设三合一垃圾桶x套，则二合一垃圾桶（20﹣x）套，
当x≤10时，2920≤100（20﹣x）+200x≤3100，
解得：9.2≤x≤11，
∵x≤10且x为整数，
∴x＝10，
当x＞10时，
则2920≤100（20﹣x）+200×0.9x≤3100，
解得：11.5≤x≤13.75，
∴x＝12或x＝13，
当x＝10时，总费用为：100×10+2000＝3000（元），
当x＝12时，总费用为：8×100+200×0.9×12＝2960（元），
当x＝13时，总费用为：7×100+200×0.9×13＝3040（元），∴购买费用最低需要2960元，
故答案为：2960．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，正确得出不等式及
分类思想的应用．
9．（2022春•李沧区校级期中）2020年1月6日，《青岛市生活垃圾管理条例》正式实施，
该条例倡导绿色、低碳、文明的生活方式，促进全民垃圾分类意识的提升，为落实“垃
圾分类”的环保理念，某校计划采购一批垃圾桶，已知蓝色垃圾桶的单价是100元，灰
色垃圾桶的单价是80元，学校计划用不超过4500元资金购入两种垃圾桶共50个，且蓝
色垃圾桶的数量不少于灰色垃圾桶数量的80%，则至少需采购蓝色垃圾桶 个．
【分析】设采购蓝色垃圾桶x个，则采购灰色垃圾桶（50﹣x）个，根据计划用不超过
4500元资金购入两种垃圾桶共50个，且蓝色垃圾桶的数量不少于灰色垃圾桶数量的
80%建立不等式组，解不等式组求出x的最小正整数解，由此即可得．
【解答】解：设采购蓝色垃圾桶x个，则采购灰色垃圾桶（50﹣x）个，
{100x+80(50-x)≤4500
由题意得： ，
x≥80%(50-x)
200
解得 ≤x≤25，
9
因为x为正整数，
所以x的最小值为23，
即至少需采购蓝色垃圾桶23个，
故答案为：23．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．
10．（2023春•雁塔区校级月考）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，
则还余10人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有
人．
【分析】设安排住宿的房间有x间，则学生有4x+10人，根据“每间住4人，则还余10
人无宿舍住和；每间住6人，则有一间宿舍不空也不满”列不等式组解答即可．
【解答】解：设安排住宿的房间有x间，则学生有（4x+10）人，
{4x+10≥6(x-1)+1
根据题意得： ，
4x+10≤6(x-1)+5
解得：5.5≤x≤7.5，
又因为x只能取正整数，
所以x＝6或x＝7，
当x＝6时，4×6+10＝34（人），
当x＝7时，4×7+10＝38（人），
故答案为：34或38．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系式正确列出一元
一次不等式组是解决本题的关键．
11．（2021春•许昌期末）为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况
进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖
部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买到午餐，
若同时开2个窗口，则需30分钟．还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时
间内，去小卖部就餐的人就会减少80%．在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，
为方便学生就餐，总务处要求食堂在10分钟内卖完午餐，至少要同时开 个窗口．
【分析】设每个窗口每分钟能卖x人的午餐，每分钟外出就餐有y人，学生总数为z人，
并设同时开n个窗口，可列出不等式求解．
【解答】解：设每个窗口每分钟能卖x人的午餐，每分钟外出就餐有y人，学生总数为
z人，并设同时开n个窗口，依题意有
{ 45x=z-45 y①
2×30x=z-30 y②
10nx≥z-10(1-80%)y③
由①、②得y＝x，z＝90x，代入③得10nx≥90x﹣2x，
所以n≥8.8．
因此，至少要同时开9个窗口．
故答案为：9
【点评】考查一元一次不等式组的应用；一些必须的量没有时，应设其为未知数；当题
中有多个未知数时，应利用相应的方程用其中一个未知数表示出其余未知数；得到20
分钟n个窗口卖出午餐数的关系式是解决本题的关键．
12．（2023•佳木斯一模）某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划
用不超过100元购买A，B两种笔记本作为奖品，A种笔记本每本8元，B种笔记本每本
10元，每种笔记本至少买4本，则购买方案有（ ）
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
【分析】当购买6本B种笔记本时，分购买4本B种笔记本、购买5本B种笔记本及购
买6本B种笔记本及购买7本B种笔记本四种情况考虑，根据“A种笔记本至少购买4
本，且总价不超过100元”，可得出关于x的一元一次不等式组，解之可得出 x的取值
范围，结合x为正整数，即可得出购买方案的数量．
【解答】解：设购买x本A种笔记本．
{ x≥4
当购买4本B种笔记本时， ，
8x+10×4≤100
15
解得：4≤x≤ ，
2
又∵x为正整数，∴x可以为4，5，6，7，
∴当购买4本B种笔记本时，有4种购买方案；
{ x≥4
当购买5本B种笔记本时， ，
8x+10×5≤100
25
解得：4≤x≤ ，
4
又∵x为正整数，
∴x可以为4，5，6，
∴购买5本B种笔记本时，有3种购买方案；
{ x≥4
当购买6本B种笔记本时， ，
8x+10×6≤100
解得：4≤x≤5，
又∵x为正整数，
∴x可以为4，5，
∴当购买6本B种笔记本时，有2种购买方案；
{ x≥4
当购买7本B种笔记本时， ，
8x+10×7≤100
不等式组无解，即不存在该种情况．
上所述，购买方案共有4+3+2＝9（种）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式组是解题的关键．
13．（2022春•平桂区 期中）为了提高学生对新冠病毒的认识，更好的做好疫情防控，某
学校组织了一次预防“新冠病毒”知识竞赛，评出一等奖15人，二等奖30人．学校决
定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等级的奖品相同．
（1）若一等奖和二等奖的奖品分别是口罩和温度计，口罩单价是温度计单价的 3倍，
购买这两种奖品一共花费750元，求口罩和温度计的单价各是多少元？
（2）若两种奖品的单价都是整数，且要求一等奖单价比二等奖单价多10元．在总费用
不少于465而少于550元的前提下，购买这两种奖品时它们的单价有几种情况，请分别
求出每种情况下一等奖和二等奖奖品的单价．
【分析】（1）设口罩的单价是x元，温度计的单价是y元，根据“口罩单价是温度计单
价的3倍，购买这两种奖品一共花费750元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解
之即可得出结论；
（2）设二等奖的单价是m元，则一等奖的单价是（m+10）元，利用总价＝单价×数量，
结合总价不少于465且少于550元，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可求出
m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设口罩的单价是x元，温度计的单价是y元，{ x=3 y
根据题意得： ，
15x+30 y=750
{x=30
解得： ．
y=10
答：口罩的单价是30元，温度计的单价是10元；
（2）设二等奖的单价是m元，则一等奖的单价是（m+10）元，
{15(m+10)+30m≥465
根据题意得： ，
15(m+10)+30m＜550
80
解得：7≤m＜ ，
9
又∵m为正整数，
∴m可以为7，8，
∴购买这两种奖品时它们的单价有2种情况，
情况1：一等奖的单价是17元，二等奖的单价是7元；
情况2：一等奖的单价是18元，二等奖的单价是8元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正
确列出一元一次不等式组．
14．（2022春•珠晖区校级期中）某初中新校区需要设计建设一些大餐厅和小餐厅，经过
预算：如果建设1个大餐厅和2个小餐厅，需要花38600元；如果建设2个大餐厅、1
个小餐厅，需要花46600元．
（1）建设1个大餐厅、1个小餐厅分别需要花多少钱？
（2）某初中新校区想用不少于7.5万元又不超过9万元，建设这两种餐厅共6个，那么
有哪几种设计方案？
【分析】（1）设建设1个大餐厅需要花x元，1个小餐厅需要花y元，根据“建设1个
大餐厅和2个小餐厅，需要花38600元；建设2个大餐厅、1个小餐厅，需要花46600
元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设建设m个大餐厅，则建设（6﹣m）个小餐厅，利用总价＝单价×数量，结合总
价不少于7.5万元又不超过9万元，可得出关于m的一元一次不等式组，解之可得出 m
的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各设计方案．
【解答】解：（1）设建设1个大餐厅需要花x元，1个小餐厅需要花y元，
{x+2y=38600
根据题意得： ，
2x+ y=46600
{x=18200
解得： ．
y=10200
答：建设1个大餐厅需要花18200元，1个小餐厅需要花10200元；（2）设建设m个大餐厅，则建设（6﹣m）个小餐厅，
{18200m+10200(6-m)≥75000
根据题意得： ，
18200m+10200(6-m)≤90000
69 18
解得： ≤m≤ ，
40 5
又∵m为正整数，
∴m可以为2，3，
∴该初中新校区共有2种设计方案，
方案1：建设2个大餐厅，4个小餐厅；
方案2：建设3个大餐厅，3个小餐厅．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列
出一元一次不等式组．
15．（2022秋•沭阳县期末）某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润
如表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 3 5
利润（万元/件） 1 2
（1）当A，B两种产品分别生产多少件时，工厂刚好获利14万元？
（2）若工厂投入资金不多于44万元，要使工厂获利多于14万元，问工厂有哪几种生
产方案？
【分析】（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件，利用获得的利润＝
每件产品的利润×生产数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设生产A种产品m件，则生产B种产品（10﹣m）件，根据“工厂投入资金不多
于44万元，要使工厂获利多于14万元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之
即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各生产方案；
【解答】解：（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件，
依题意得：x+2（10﹣x）＝14，
解得：x＝6，
∴10﹣x＝10﹣6＝4．
答：当生产A种产品6件，B种产品4件时，工厂刚好获利14万元．
（2）设生产A种产品m件，则生产B种产品（10﹣m）件，{3m+5(10-m)≤44
依题意得： ，
m+2(10-m)＞14
解得：3≤m＜6．
∵m为正整数，
∴m可以取3，4，5，
∴工厂有3种生产方案，
方案1：生产A种产品3件，B种产品7件；
方案2：生产A种产品4件，B种产品6件；
方案3：生产A种产品5件，B种产品5件．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式组．
压轴题
1．（2023春•渝中区校级月考）为支持贫困山区的希望工程，某学校组织学生准备了 1710
个笔记本，664支钢笔及若干副三角板．学生们将这些学习用品分成了甲、乙、丙三类
包裹进行邮寄，一个甲类包裹里有10个笔记本、8支钢笔和6副三角板，一个乙类包裹
里有15个笔记本、2支钢笔和7副三角板，一个丙类包裹里有20本笔记本、8支钢笔和
10副三角板．已知甲、乙、丙三类包裹都为正整数，并且甲类包裹的数量大于 31个，
丙类包裹的数量大于33个，那么所有包裹里三角板的总数为 副．
【分析】设甲类包裹有x个，乙类包裹有y个，丙类包裹有z个，由准备了1710个笔记
本，664支钢笔列出x、y、z的三元一次方程组，用z表示x、y，进而由x的取值范围和
z＞33列出z的不等式组求z的取值范围，再根据x、y与z的关系式和x、y为正整数求
得z的整数值，从而求出x、y的值，再进行计算即可．
【解答】解：设甲类包裹有x个，乙类包裹有y个，丙类包裹有z个，根据题意得：
{10x+15 y+20z=1710①
，
8x+2y+8z=664②
②×15﹣①×2得100x+80z＝6540，
327-4z
解得：x= ，
5
327-4z 352-4z
将x= 代入②得：y= ，
5 5327-4z
{x=
5
∴ ，
352-4z
y=
5
∵x＞31，z＞33，
{ z＞33
∴ 327-4z ，
＞31
5
解得：33＜z＜43，
352-4z
∵z为正整数，且 为正整数，
5
∴z＝38，y＝40
654-304
∴x= =35，
10
∴所有包裹里三角板的总数为：6×35+7×40+10×38＝870（副）．
故答案为：870．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组及三元一次方程组的应用，关键是正确列出
不等式组和方程组，正确求不定方程的特殊解．
2．（2021•沙坪坝区校级开学）我国过年历史悠久，在传承发展中已形成了一些较为固定
的习俗，有许多还相传至今，如买年货、扫尘、贴对联、吃年夜饭、守岁、拜岁、拜年、
舞龙舞狮、拜神祭祖、祈福攘灾、游神、押舟、庙会、游锣鼓、游标旗、上灯酒、赏花
灯等．某商店新进一批“福”字贴画和数对灯笼（灯笼一对为 2件），共超过250件但
1
不超过300件，灯笼的对数正好是“福”字贴画数量的 ，每张“福”字贴画进价是4
5
3
元，每对灯笼的进价是50元（灯笼成对出售），商店将“福”字贴画以高出进价的
4
售出，将灯笼每对按高出进价的40%售出，最后留下了35件物品未卖出，并把这批物
品免费送给了自己的亲戚朋友，最后商店经过计算总利润率为20%，则最初购进灯笼
对．
【分析】根据题意，可以设最初购进灯笼x对，则购进“福”字贴画为5x件，留下的
35件物品有a对灯笼，有（35﹣2a）件“福”字，然后再根据题意题意，即可列出相应
的不等式组，从而可以求得最初购进灯笼多少对．
【解答】解：设最初购进灯笼x对，则购进“福”字贴画为5x件，留下的35件物品有
a对灯笼，有（35﹣2a）件“福”字，
∵某商店新进一批“福”字贴画和数对灯笼（灯笼一对为2件），共超过250件但不超
过300件，
∴250＜2x+5x≤300，5 6
解得35 ＜x≤42 ，
7 7
∵x为整数，
∴36≤x≤42，
灯笼和“福”字的总进价为：50x+4×5x＝70x（元），
3
每对灯笼的售价为：50×（1+40%）＝70（元），“福”字的单价是：4×（1+ ）＝7
4
（元/个），
总的售价为：70（x﹣a）+7×[5x﹣（35﹣2a）]＝（105x﹣56a﹣245）（元），
∵最后商店经过计算总利润率为20%，
∴（105x﹣56a﹣245）﹣70x＝70x×20%，
8 35
解得x= a+ ，
3 3
∵36≤x≤42，
8 35
∴36≤ a+ ≤42，
3 3
1 3
解得9 ≤a≤11 ，
8 8
∵a为整数，
∴10≤a≤11，
1
当a＝10时，x＝38 （舍去）；
3
当a＝11时，x＝41，
由上可得，最初购进灯笼41对，
故答案为：41．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的
不等式组，利用不等式的性质解答．
3．（2022春•盐湖区月考）疫情形势依然严峻，我们需要继续坚持常态化防控．卫生专家
建议多补充维生素增强身体免疫力以抵御病菌，现有甲、乙、丙3种食物的维生素含量
和成本如表：
甲种食物 乙种食物 丙种食物
维生素A（单位/kg） 300 600 300
维生素B（单位/kg） 700 100 300
成本（元/kg） 6 4 3
某食品公司欲用这3种食物研制100千克食品，要求研制成的食品中至少含有36000单
位的维生素A和40000单位的维生素B．（1）研制100千克食品，甲种食物至少要用多少千克？丙种食物至多能用多少千克？
（2）若限定甲种食物用50千克，则研制这100千克食品的总成本S的取值范围是多少？
【分析】（1）设研制100千克食品用甲种、乙种和丙种食物各x千克，y千克和z千克，
根据“这3种食物混合研制100千克食品”“食品中至少含 36000单位的维生素A和
40000单位的维生素B”可列方程和不等式组，解出x和z的范围即可；
（2）根据题意表示出研制100千克食品的总成本，将z＝100﹣x﹣y代入，可得S与y
之间的关系式，从而根据自变量求S的取值范围．
【解答】解：（1）设研制100千克食品用甲种、乙种和丙种食物各x千克，y千克和z
千克，
{
x+ y+z=100
由题意，得： 300x+600 y+300z≥36000，
700x+100 y+300z≥40000
{
x+ y+z=100⋯①
整理得到： x+2y+z≥120⋯② ，
7x+ y+3z≥400⋯③
{ y≥20
由①得到z＝100﹣x﹣y，代入②和③，得 ，
2x- y≥50
∴2x≥y+50≥70，
解得：x≥35，
将①变形为y＝100﹣x﹣z，代入②，得
z≤80﹣x≤80﹣35＝45，
答：即至少要用甲种食物35千克，丙种食物至多能用45千克；
（2）研制100千克食品的总成本S＝6x+4y+3z，
将z＝100﹣x﹣y代入，得S＝3x+y+300．
当x＝50时，S＝y+450，
20≤y≤50．
∴470≤S≤500．
答：则研制这100千克食品的总成本S的取值范围是470≤S≤500．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，
读懂题列出不等式关系式即可求解．要会根据自变量的取值范围结合函数的单调性求函
数的最值问题．
4．（2023•曲靖一模）2022年1月7日，《云南省全民健身实施计划（2021﹣2025年）》
新闻发布会顺利举行．会议上就“十四五”时期深化体育改革，推进新时代全民健身高
质量发展作了全面部署和安排．其中，“强化供给，补齐全民健身设施建设短板”是
《云南省全民健身实施计划（2021﹣2025年）》的主要任务之一．春城小区计划购买
10台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买1台B型健身器材比1台A型健身器材
贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元．（1）A型健身器材和B型健身器材的单价是多少钱？
（2）春城小区计划购买B型健身器材的数量不超过A型健身器材的数量的2倍，购买
资金不低于10800元，请问共有哪几种购买方案，哪一种方案最省钱．
【分析】（1）设A型健身器材的单价是x元，B型健身器材的单价是y元，根据“购买
1台B型健身器材比1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健
身器材共花8000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m台A型健身器材，则购买（10﹣m）台B型健身器材，根据“购买B型
健身器材的数量不超过A型健身器材的数量的2倍，购买资金不低于10800元”，即可
得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即
可得出各购买方案，求出选择各方案所需购买资金，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设A型健身器材的单价是x元，B型健身器材的单价是y元，
{ y-x=200
依题意得： ，
2x+5 y=8000
{x=1000
解得： ．
y=1200
答：A型健身器材的单价是1000元，B型健身器材的单价是1200元．
（2）设购买m台A型健身器材，则购买（10﹣m）台B型健身器材，
{ 10-m≤2m
依题意得： ，
1000m+1200(10-m)≥10800
10
解得： ≤m≤6．
3
又∵m为整数，
∴m可以为4，5，6，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买4台A型健身器材，6台B型健身器材，所需购买资金为1000×4+1200×6＝
11200（元）；
方案2：购买5台A型健身器材，5台B型健身器材，所需购买资金为1000×5+1200×5＝
11000（元）；
方案3：购买6台A型健身器材，4台B型健身器材，所需购买资金为1000×6+1200×4＝
10800（元）．
∵11200＞11000＞10800，
∴最省钱的购物方案为：购买6台A型健身器材，4台B型健身器材．
5．（2022秋•肇源县期中）某学校计划购进一批电脑和电子白板，购买1台电脑和2台电
子白板需要3.5万元；购进2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低
于28万元，请你通过计算求出有哪几种购买方案？（3）请你求出学校在（2）的购买活动中最多需要多少资金？
【分析】（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据“购买1台电脑和2台电
子白板需要3.5万元；购进2台电脑和1台电子白板需要2.5万元”，即可得出关于x，y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需购进电脑m台，则购进电子白板（30﹣m）台，利用总价＝单价×数量，结合
总价不超过30万元且不低于28万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可
得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案；
（3）利用总价＝单价×数量，可求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，
{x+2y=3.5
根据题意得： ，
2x+ y=2.5
{x=0.5
解得， ，
y=1.5
答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元；
（2）设需购进电脑m台，则购进电子白板（30﹣m）台，
{0.5m+1.5(30-m)≥28
根据题意得： ，
0.5m+1.5(30-m)≤30
解得：15≤m≤17，
又∵m为正整数，
∴m可以为15，16，17，
∴共有3种购买方案：
方案1：购进电脑15台，电子白板15台；
方案2：购进电脑16台，电子白板14台；
方案3：购进电脑17台，电子白板13台．
（3）选择方案1所需费用为0.5×15+1.5×15＝30（万元）；
选择方案2所需费用为0.5×16+1.5×14＝29（万元）；
选择方案3所需费用为0.5×17+1.5×13＝28（万元）．
∵30万元＞29万元＞28万元，
∴学校在（2）的购买活动中最多需要30万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混
合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各
数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出选
择各方案所需费用．
6．（2022秋•益阳期末）如图，长青农产品加工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家
工厂从A地购买一批原料甲运回工厂，经过加工后制成产品乙运B地，其中原料甲和产
品乙的重量都是正整数．铁路运价为2元/（吨•千米），公路运价为8元/（吨•千米）．（1）若由A到B的两次运输中，原料甲比产品乙多9吨，工厂计划支出铁路运费超过
5700元，公路运费不超过9680元，问购买原料甲有哪几种方案，分别是多少吨？
（2）由于国家出台惠农政策，对运输农产品的车辆免收高速通行费，并给予一定的财
政补贴，综合惠农政策后公路运输价格下降m（0＜m＜4且m为整数）元，若由A到B
的两次运输中，铁路运费为5760元，公路运费为5100元，求m的值．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围，本题
得以解决；
（2）根据题意可以得到相应的方程组，从而可以求得m的值．
【解答】解：（1）设运送乙产品x吨，则运送甲产品（x+9）吨，
{120(x+9)×2+30x×2＞5700
，
20(x+9)×8+50x×8≤9680
5
解得，11.8＜x≤14
7
∵x为整数，
∴x＝12，13，14，
∴x+9为21，22，23，
∴购买原料甲有三种方案，分别是21吨、22吨、23吨；
（2）设运送原料甲a吨，运送产品乙b吨，
{ 2a×120+2b×30=5760
20a(8-m)+50b(8-m)=5100
化简，得
{
4a+b=96
510 ，
8-m=
2a+5b
∵a、b都为正整数，0＜m＜4且m为整数，
∴当m＝1时，求得a、b不是整数，故不符合题意；
当m＝2时，求得a、b不是整数，故不符合题意；
当m＝3时，得a＝21，b＝12，
由上可得，m的值为3．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
7．（2022秋•上城区校级期中）为了抓住亚运会商机，某商店决定购进宸宸，莲莲两种亚
运会纪念品，若购进宸宸10件，莲莲5件，需要1000元；若购进宸宸5件，莲莲3件，
需要550元，
（1）求购进宸宸，莲莲两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购
进宸宸的数量不少于莲莲数量的6倍，且不超过莲莲数量的8倍，那么该商店共有几种
进货方案？
（3）若销售宸宸每件可获利润20元，莲莲每件可获利润30元，在第（2）问的各种进
货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设购进宸宸每件需x元，莲莲每件需y元，根据“购进宸宸10件，莲莲
5件，需要1000元；购进宸宸5件，莲莲3件，需要550元”，可得出关于x，y的二元
一次方程组，解之即可得出结论；
1
（2）设购进宸宸m件，则购进莲莲（40- m）件，根据“购进宸宸的数量不少于莲莲
2
数量的6倍，且不超过莲莲数量的8倍”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即
1
可得出m的取值范围，再结合m，40- m均为正整数，即可得出各进货方案；
2
（3）利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，可分别求出选项各方案可获得的总利润，
比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进宸宸每件需x元，莲莲每件需y元，
{10x+5 y=1000
根据题意得： ，
5x+3 y=550
{ x=50
解得： ．
y=100
答：购进宸宸每件需50元，莲莲每件需100元；
4000-50m 1
（2）设购进宸宸m件，则购进莲莲 =（40- m）件，
100 21
{m≥6(40- m)
2
根据题意得： ，
1
m≤8(40- m)
2
解得：60≤m≤64，
1
又∵m，40- m均为正整数，
2
∴m可以为60，62，64，
∴该商店共有3种进货方案，
方案1：购进宸宸60件，莲莲10件；
方案2：购进宸宸62件，莲莲9件；
方案3：购进宸宸64件，莲莲8件；
（3）选择方案1可获利20×60+30×10＝1500（元），
选择方案2可获利20×62+30×9＝1510（元），
选择方案3可获利20×64+30×8＝1520（元）．
∵1500＜1510＜1520，
∴在第（2）问的各种进货方案中，方案3获利最大，最大利润是1520元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混
合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各
数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，列式计
算．
8．（2022春•兖州区期末）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购
进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金5000元；若购进3部甲型号手机和2
部乙型号手机，共需要资金8000元．
（1）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
（2）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于 2.6万元且不少于2.4万
元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
（3）售出一部甲种型号手机，利润率为15%，乙型号手机的售价为1400元．为了促销，
公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金 m元，而甲型号手机售价不变，要使
（2）中所有方案获利相同，求m的值．
【分析】（1）设甲种型号手机每部进价为x元，乙种型号手机每部进价为y元，根据题
意建立方程组求解就可以求出答案；
（2）设购进甲种型号手机a部，则购进乙种型号手机（20﹣a）部，根据“用不多于
2.6万元且不少于2.4万元的资金购进这两部手机共20台”建立不等式组，求出其解就
可以得出结论；
（3）令获利为w元，由题意可列出式子，根据“（2）中所有方案获利相同”知w与a
的取值无关，据此解答可得．【解答】解：（1）设甲种型号手机每部进价为x元，乙种型号手机每部进价为y元，依
题意得：
{2x+ y=5000
，
3x+2y=8000
{x=2000
解得： ，
y=1000
答：甲型号手机每部进价为2000元，乙型号手机每部进价为1000元；
（2）设购进甲种型号手机a部，则购进乙种型号手机（20﹣a）部，依题意得：
24000≤2000a+1000（20﹣a）≤26000，
解得：4≤a≤6，
共有三种方案，
方案一：购进甲手机4部、乙手机16部；
方案二：购进甲手机5部、乙手机15部；
方案三：购进甲手机6部、乙手机14部；
（3）令获利为w元，甲种型号手机每部利润为2000×15%＝300，
w＝300a+（1400﹣1000﹣m）（20﹣a）＝（m﹣100）a+8000﹣20m
当m＝100时，w始终等于6000，取值与a无关．
【点评】此题考查了一元一次不等式组与二元一次方程组的应用，要能根据题意列出不
等式组，关键是根据不等式组的解集求出所有的进货方案，是一道实际问题．
9．（2022春•温州期中）某网红蛋糕店的蛋糕十分畅销，供不应求，主原料为鸡蛋和面粉，
一份蛋糕含鸡蛋和面粉共390克，鸡蛋比面粉多90克，再添加不同的辅料，做成A、
B、C三款蛋糕，毛利润分别为6元、9元、8元．
（1）求一份蛋糕含鸡蛋、面粉各多少克？
（2）若一天卖出500份蛋糕，A款与B款的份数之和比C款多60份，毛利润为3800元
求A款、B款、C款各卖了多少份？
（3）若一天卖出n份蛋糕，A款与B款的份数之比为3：4，毛利润为4200元，且每款
蛋糕的份数不少于145份，则n的最小值是（直接写出答案）．
【分析】（1）设一份蛋糕含鸡蛋x克，面粉y克，根据“一份蛋糕含鸡蛋和面粉共390
克，鸡蛋比面粉多90克”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A款蛋糕卖了a份，B款蛋糕卖了b份，C款蛋糕卖了c份，根据“三款蛋糕共
卖出500份，A款与B款的份数之和比C款多60份，毛利润为3800元”，即可得出关
于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设卖出A款蛋糕3m份，则卖出B款蛋糕4m份，卖出C款蛋糕（n﹣7m）份，根
据毛利润为4200元，即可得出关于m，n的二元一次方程，变形后可用含m的代数式表
示出n值，结合每款蛋糕的份数不少于145份，即可得出关于m的一元一次不等式组，1
解之即可得出m的取值范围，结合3m，4m，（525+ m）均为正整数，即可得出m的
4
值，进而可得出n的值，取n的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设一份蛋糕含鸡蛋x克，面粉y克，
{x+ y=390
依题意得： ，
x- y=90
{x=240
解得： ．
y=150
答：一份蛋糕含鸡蛋240克，面粉150克．
（2）设A款蛋糕卖了a份，B款蛋糕卖了b份，C款蛋糕卖了c份，
{
a+b+c=500
依题意得： a+b-c=60 ，
6a+9b+8c=3800
{a=160
解得： b=120．
c=220
答：A款蛋糕卖了160份，B款蛋糕卖了120份，C款蛋糕卖了220份．
（3）设卖出A款蛋糕3m份，则卖出B款蛋糕4m份，卖出C款蛋糕（n﹣7m）份，
依题意得：6×3m+9×4m+8（n﹣7m）＝4200，
1
∴n＝525+ m．
4
又∵每款蛋糕的份数不少于145份，
{ 3m≥145
{ 3m≥145
∴ ，即 27 ，
n-7m≥145 525- m≥145
4
145 1520
解得： ≤m≤ ，
3 27
1
又∵3m，4m，（525+ m）均为正整数，
4
∴m可以为52，56，
∴n的值为538或539．
答：n的最小值为538．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、三元一次方程组的应用、二元一次方程的
应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二
元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组；（3）根据各数量之间
的关系，正确列出一元一次不等式组．
10．（2022春•金东区期末）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，因此
某校为全校18个班级欲购置规格分别为600mL和300mL的甲、乙两类消毒酒精若干瓶，根据规定，每班需要配备600mL消毒酒精，已知购买2瓶甲类消毒酒精和1瓶乙类消毒
酒精需要21元，购买3瓶甲类消毒酒精和4瓶乙类消毒酒精需要44元．
（1）求甲、乙两种消毒酒精的单价．
（2）若要求分配到1瓶甲类消毒酒精的班级数要比分配到2瓶乙类消毒酒精的班级数
的两倍多，且分配到1瓶甲类消毒酒精的班级数不得多于14个，请问有哪几种分配方
式？
（3）为节约成本，该校对库存散装消毒酒精11720mL自行进行分装，现需购买600mL
和300mL的分装瓶若干个，容量为600mL的分装瓶单价为4.5元，容量为300mL的分装
瓶单价为2元，已知在自行分装的过程中每分装一瓶都会损耗30mL消毒酒精，请设计
一种最为省钱的购买分装瓶方案，并求出金额．
【分析】（1）设甲类消毒酒精的单价为x元，乙类消毒酒精的单价为y元，根据“购买
2瓶甲类消毒酒精和1瓶乙类消毒酒精需要21元，购买3瓶甲类消毒酒精和4瓶乙类消
毒酒精需要44元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设分配到1瓶甲类消毒酒精的班级有m个，则分配到2瓶乙类消毒酒精的班级有
（18﹣m）个，根据“分配到1瓶甲类消毒酒精的班级数要比分配到2瓶乙类消毒酒精
的班级数的两倍多，且分配到1瓶甲类消毒酒精的班级数不得多于14个”，即可得出
关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出
各分配方案；
（3）设购买a个容量为600mL的分装瓶，则购买2（18﹣a）个容量为300mL的分装瓶，
根据装进分装瓶中及损耗的消毒酒精总量不超过11720mL，即可得出关于a的一元一次
不等式，解之即可得出a的取值范围，结合a为整数，即可得出a的最小值，结合1个
容量为600mL的分装瓶的价格比2个容量为300mL的分装瓶的价格高，即可找出最为省
钱的购买分装瓶方案，再利用总价＝单价×数量，即可求出最少金额．
【解答】解：（1）设甲类消毒酒精的单价为x元，乙类消毒酒精的单价为y元，
{ 2x+ y=21
依题意得： ，
3x+4 y=44
{x=8
解得： ．
y=5
答：甲类消毒酒精的单价为8元，乙类消毒酒精的单价为5元．
（2）设分配到1瓶甲类消毒酒精的班级有m个，则分配到2瓶乙类消毒酒精的班级有
（18﹣m）个，
{m＞2(18-m)
依题意得： ，
m≤14
解得：12＜m≤14，
又∵m为整数，
∴m可以为13，14，
∴共有2种分配方案，方案1：13个班级分配到1瓶甲类消毒酒精，5个班级分配到2瓶乙类消毒酒精；
方案2：14个班级分配到1瓶甲类消毒酒精，4个班级分配到2瓶乙类消毒酒精．
（3）设购买a个容量为600mL的分装瓶，则购买2（18﹣a）个容量为300mL的分装瓶，
依题意得：（600+30）a+（300+30）×2（18﹣a）≤11720，
16
解得：a≥ ，
3
∵a为整数，
∴a的最小值为6．
∵2×2＝4（元），4＜4.5，
∴1个容量为600mL的分装瓶的价格比2个容量为300mL的分装瓶的价格高，
∴当a＝6时，购买金额最少，
∴2（18﹣a）＝2×（18﹣6）＝24，最少金额为4.5×6+2×24＝75（元）．
答：最为省钱的购买分装瓶方案为：购买 6个容量为600mL的分装瓶，24个容量为
300mL的分装瓶，最少金额为75元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不
等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根
据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正
确列出一元一次不等式．
