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专题03 绝对值的几何意义
类型一 求两个绝对值和的最小值
1．数学实验室：
我们知道，在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上
的两个点A、B，分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离AB=|a－b|.利用此结论，回答
以下问题：
（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和－5的两点之间的距离是
______.（1+1分，注意写出最后结果）
（2）式子|x+2|可以看做数轴上表示x和______的两点之间的距离.
（3）式子|x+2|＋|x－3|的最小值是______.
（4）当|x+2|＋|x－3|取得最小值时，数x的取值范围是______.
2．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几 何意义，进一步地，数轴
上两个点A、B，分别用a 和b 表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|利用此结论，回答
以下问题：
(1)数轴上表示3 和7 的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣3 和﹣7 的两 点之间的距离
是 ，数轴上表示2 和﹣3 的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和﹣5 的两点A、B之间的距离是 ，如果|AB|＝3，那 么x的值为
；
(3)当代数式|x﹣1|+|x﹣3|取最小值时，相应的x的取值范围是多少？最小值是多少？
(4)已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且|a+4|+(b﹣1)2＝0，设点P在数
轴上对应的数是x，当|PA|﹣|PB|＝2时，求x的值．
3．“数形结合”是重要的数学思想．如： 表示3与 差的绝对值，实际上也可以理解为
3与 在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B，所对应的数分别用
a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为 ．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示 和5两点之间的距离是__________．（2）若 ，则 ______．
（3）若x表示一个有理数， 的最小值为_________．
（4）已知数轴上两点A、B对应的数分别为 ，8，现在点A、点B分别以3个单位长度/秒和2
单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为2个单位长度时，求点A所对应的
数是多少？
4．认真阅读下面的材料，完成问题．
在学习绝对值时，我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如|5|意义为表示5的
点到原点的距离，实际上可理解为，|5|=|5－0|，即5到0点的距离．又如|5－3|表示5、3在数
轴上对应的两点之间的距离；|5－（－3）|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离，容易知
道|5－（－3）|=|5+3|=8．即5与－3相距8个单位长度．
一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．
（1）利用上面的知识回答：点A、B在数轴上分别表示有理数－5、1，那么A到B的距离可表示
为 ，这个距离的计算结果是 ；
（2）利用上面的知识回答：若|x－1|=2，则x= ；
（3）利用上面的知识回答：|x－2|+|x+1|的最小值是 ．
5．我们知道， 可以理解为 ，它表示：数轴上表示数 的点到原点的距离，这是绝对值的
几何意义．进一步地，数轴上的两个点 ，分别用数 表示，那么 两点之间的距离为
，反过来，式子 的几何意义是：数轴上表示数 的点和表示数 的点之间的距
离．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数 的点和表示
数 的点之间的距离是__________．
（2）数轴上点 用数 表示，若 ，那么 的值为_________．（3）数轴上点 用数 表示：
①若 ，那么 的值是________．
②当 时，数 的取值范围是________，这样的整数 有________个．
③ 有最小值，最小值是___________．
类型二 求多个绝对值和的最小值
6．我们知道， 表示数 对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两
个点 、 分别表示数 、 ，那么 ．利用此结论，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示 和 的两点之间的距离是
_____，数轴上表示1和 的两点之间的距离是____；
（2）数轴上表示 和-1的两点 、 之间的距离是____，如果 =2，那么 的值为_____；
（3）写出 表示的几何意义：_____，该式的最小值为______；
（4） 的最小值_____．
7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点
之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道 ，它的几何意义是数轴上表示4
的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子 ，它的几何意义是数轴上表示数7的点
与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为
b，则A，B两点间的距离就可记作 ．
回答下列问题：
(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数 的点之间的距离的式子是________；式子 的几何
意义是_______________________；
(2)根据绝对值的几何意义，当 时， ________；(3)探究： 的最小值为_________，此时m满足的条件是________；
(4) 的最小值为________，此时m满足的条件是__________．
8．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上
两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答
以下问题：
（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是 ．
（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是 ．
（4）结合数轴求 的最小值为 ，此时符合条件的整数x为
．
（5）结合数轴求 的最小值为 ，此时符合条件的整数x为
．
（6）结合数轴求 的最小值为 ，最大值为 ．
9．阅读理解；我们知道，若A、B在数轴上分别表示有理数 、 ，A、B两点间的距离表示为
AB，则 ．所以 的几何意义是数轴上表示X的点与表示2的点之间的距离．根据上
述材料，解答下列问题：
（1）若点A表示－2，点B表示3，则AB＝ ．
（2）若 ，则 的值是 ．
（3）如果数轴上表示数 的点位于－4和2之间，求 的值；
（4）点 取何值时， 取最小值，最小值是多少？请说明理由；
（5）直接回答：当式子 取最小值时，相应 的取值范围是多少？最小值是
多少？
10．我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何义．进一步地，数轴上两个点A、
B，分别用a，b表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示2和5 的两点之间的距离是______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是
_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示x和－1的两点A、B之间的距离是_______，如果|AB|=2，那么x的值为_______；
（3）当x取何值时，式子|x－1|+|x－2|+|x－3|+ |x－4|+|x－5|的值最小，并求出这个最小值．
11．我们知道， 表示数 对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数
轴上两个点 分别表示数 ，那么 两点之间的距离为 ．利用此结论，回答下列问题：
（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示 和－1的两点之间的距离为2，那么 的值为 ；
（3）直接写出 的最小值为 ；
（4）直接写出 的最小值为 ；
（5）简要求出 的最小值．
类型三 利用绝对值的几何意义解方程
12．阅读理解；我们知道」x丨的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即丨x丨=丨
x-0丨，也就是说丨x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：丨x-y
丨表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
①解方程|x| = 2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为
x=±2．
②在方程丨x-1丨=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是x= 3
或x = -1．
知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解
（1）方程|x|= 5的解
（2）方程| x-2|= 3的解
13．阅读下列材料：我们知道 表示的是在数轴上数 对应的点与原点的距离，即 ，也
就是说， 对表示在数轴上数 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为 表示在数
轴上数 ， 对应点之间的距离．例1解方程 ．
解：∵ ，
∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为 ，即该方程的解为 ．
例2解不等式 ．
解：如图，首先在数轴上找出 的解，即到1的距离为2的点对应的数为 ，3，则
的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为 或 ．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程 的解为______；
（2）解不等式 ；
（3）若 ，则 的取值范围是_______；
（4）若 ，则 的取值范围是_______．
14．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|，也就是说|x|
表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对
应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．
②在方程|x﹣1|=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x=﹣1．
③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，
在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1
的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3，所以原方程的解是
x=2或x=﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x|=5的解是_______________．
（2）方程|x﹣2|=3的解是_________________．（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|=9．
15．阅读材料：
我们知道 的几何意义是在数轴上数 对应的点与原点的距离，即 ，也就是说 表示在
数轴上数 与数 对应的点之间的距离，这个结论可以推广为 表示数轴上 与 对应点之
间的距离．
例1：已知 ，求 的值．
解：容易看出，在数轴上与原点距离为 的点的对应数为 和 ，即 的值为 和 ．
例2：已知 ，求 的值．
解：在数轴上与 的距离为 的点的对应数为 和 ，即 的值为 和 ．
仿照阅读材料的解法，求下列各式中的值．
（1）
（2）
（3）由以上探索猜想：对于任何有理数 是否有最小值？如果有，写出最小值；如
果没有，请说明理由．
类型四 利用绝对值的几何意义解不等式
16．解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离
之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－
2的左边，若x对应点在1的右边，由图可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝
－3，故原方程的解是x＝2或x＝－3.
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x＋3|＝4的解为________．
(2)解不等式|x－3|＋|x＋4|≥9；(3)若|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，求a的取值范围．
17．阅读下列材料：
我们知道 的几何意义是在数轴上数 对应的点与原点的距离，即 = ，也就是说， 表示
在数轴上数 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为 表示在数轴上数 与数
对应的点之间的距离；
例1解方程| |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为 ，所以方程| |=2的解为
．
例2解不等式| －1|＞2．在数轴上找出| －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的
距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程| －1|=2的解为 =－1或 =3，因此不等式| －
1|＞2的解集为 ＜－1或 ＞3．
例3解方程| －1|+| +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的
点的距离之和等于5的点对应的 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满
足方程的 对应的点在1的右边或－2的左边．若 对应的点在1的右边，可得 =2；若 对应的
点在－2的左边，可得 =－3，因此方程| －1|+| +2|=5的解是 =2或 =－3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程| +2|=3的解为 ；
（2）解不等式：| －2|＜6；
（3）解不等式：| －3|+| +4|≥9；
（4）解方程: | -2|+| +2|+| -5|=15.
18．阅读下列材料：
我们知道 的几何意义是在数轴上数 对应的点与原点的距离，即 = ，也就是说， 表示
在数轴上数 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为 表示在数轴上数 与数
对应的点之间的距离；
例1．解方程| |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为 ，所以方程| |=2的解为
．例2．解不等式| －1|＞2．在数轴上找出| －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点
的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程| －1|=2的解为 =－1或 =3，因此不等式|
－1|＞2的解集为 ＜－1或 ＞3．
例3．解方程| －1|+| +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应
的点的距离之和等于5的点对应的 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），
满足方程的 对应的点在1的右边或－2的左边．若 对应的点在1的右边，可得 =2；若 对应
的点在－2的左边，可得 =－3，因此方程| －1|+| +2|=5的解是 =2或 =－3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程| +3|=4的解为 ；
（2）解不等式：| －3|≥5；
（3）解不等式：| －3|+| +4|≥9
19．阅读下列材料：我们知道 的几何意义是在数轴上数 对应的点与原点的距离，即
，也就是说， 表示在数轴上数 与数 对应的点之间的距离；
例1.解方程 ，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为 ，所以方程 的解为
.
例2.解不等式 ，在数轴上找出 的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距
离等于2的点对应的数为 或3，所以方程 的解为 或 ，因此不等式
的解集为 或 ．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程 的解为________；（2）解不等式： ；
（3）解不等式： ．
20．阅读下列材料：
我们知道 的几何意义是在数轴上数 对应的点与原点的距离，即 ，也就是说，
表示在数轴上数 与数 对应的点之间的距离；
例 1．解方程 ，因为在数轴上到原点的距离为 的点对应的数为 ，所以方程 的解
为 ．
例 2．解不等式 ，在数轴上找出 的解（如图），因为在数轴上到 对应的点的距
离等于 的点对应的数为 或 ，所以方程 的解为 或 ，因此不等式
的解集为 或 ．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程 的解为 ；
（2）解不等式： ；
（3）解不等式： ．
