文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 29 立体几何中的结构不良问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、空间向量与立体几何的求解公式
(1)异面直线成角：设a，b分别是两异面直线l，l 的方向向量，则l 与l 所成的角θ满足：cos θ＝；
1 2 1 2
(2)线面成角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为β，
则直线l与平面α所成的角为θ满足：sin θ＝|cos β|＝.
(3)二面角：设n，n 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，
1 2
则两面的成角θ满足：cos θ＝cos〈n，n〉＝；
1 2
注意：二面角的平面角大小是向量n 与n 的夹角或是向量n 与n 的夹角的补角，具体情况要判断确定．
1 2 1 2
(4)点到平面的距离：如右图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，
则点B到平面α的距离为：|BO|＝，即向量BO在法向量n的方向上的投影长.
二、几种常见角的取值范围
①异面直线成角∈(0，] ；②二面角∈[0，π] ；③线面角∈[0，] ；④向量夹角∈[0，π]
三、平行构造的常用方法
①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.
四、垂直构造的常用方法
①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.
五、用向量证明空间中的平行关系
(1)线线平行：设直线l 和l 的方向向量分别为v 和v，则l∥l(或l 与l 重合)⇔v∥v.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
(3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u，u，则α∥β⇔u ∥u.
1 2 1 2
六、用向量证明空间中的垂直关系
(1)线线垂直：设直线l 和l 的方向向量分别为v 和v，则l⊥l⇔v⊥v⇔v·v＝0.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(2)线面垂直：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
(3)面面垂直：设平面α和β的法向量分别为u 和u，则α⊥β⇔u⊥u⇔u·u＝0.
1 2 1 2 1 2
七、点面距常用方法
①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法
二、题型精讲精练【典例1】（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面
平面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取 的中点为 ，连接 ，可证平面 平面 ，从而可证 平面
.
（2）选①②均可证明 平面 ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面
角的正弦值.
【详解】（1）取 的中点为 ，连接 ，
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
而 ，则 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
而 ，则 ，同理可得 平面 ，而 平面 ，
故平面 平面 ，而 平面 ，故 平面 ，
（2）因为侧面 为正方形，故 ，
而 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，故 平面 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故 ，
若选①，则 ，而 ， ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
所以 ，而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.
若选②，因为 ，故 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 ，
而 ， ，故 ，所以 ，故 ，
而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.
【题型训练-刷模拟】
一、解答题
1．（2023·北京海淀·校考三模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧面
为等腰直角三角形，且 ，点 为棱 上的点，平面 与棱 交于点 ．(1)求证： ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面 与平面 所成锐二面角
的大小．
条件①： ；
条件②：平面 平面 ；
条件③： ．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体 中， ，E为 的中
点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若点F在 内，且 ，从下面三个结论中选一个求解.
①求直线 与平面 所成角的正弦值；
②求平面 与平面 所成角的余弦值；
③求二面角 的余弦值.注：若选择多个结论分别解答，按第一个解答计分.
3．（2023·北京·统考模拟预测）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，
为线段 上一点，平面 交棱 于点 .
(1)求证： ;
(2)若直线 与平面 所成角为 ，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点 到
平面 的距离.
条件①： ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
4．（2023·北京海淀·校考三模）在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ，
且 平面 ， 分别是 的中点， 是 上一点，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值.条件①： ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.
5．（2023·全国·高三专题练习）如图在几何体 中，底面 为菱形，
.
(1)判断 是否平行于平面 ，并证明；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（i）平面 与平面 所成角的大小；
（ii）求点 到平面 的距离.
条件①：面 面
条件②：
条件③：
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
6．（2023·北京·校考模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ， 底面 ，
为棱 上的点， ， .
(1)若 平面 ，求证：点 为 的中点；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面 与平面 夹角的余弦值.条件①： 平面
条件②：直线 与 夹角的余弦值为
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形 是边长为2的菱形， ，四边形 为
矩形， ，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按
第一个解答计分）.
① 与平面 所成角相等；②三棱锥 体积为 ；③
(1)平面 平面 ；
(2)求二面角 的大小；
(3)求点 到平面 的距离.
8．（2023·全国·高三专题练习）如图在三棱柱 中， 为 的中点， ，
.(1)证明： ；
(2)若 ，且满足：______，______（待选条件）.
从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角 的正弦值.
①三棱柱 的体积为 ；
②直线 与平面 所成的角的正弦值为 ；
③二面角 的大小为60°；
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
9．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）如图所示的五边形 中 是矩形， ， ，
沿 折叠成四棱锥 ，点 是 的中点， ．
(1)在四棱锥 中，可以满足条件① ；② ；③ ，请从中任选
两个作为补充条件，证明：侧面 底面 ；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答
计分．）
(2)在（1）的条件下求直线 与平面 所成角的正弦值．
10．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，过点 作 ，交线段 于点（如图1），沿 将 折起，使 （如图2），点 分别为棱 的中点.
(1)求证： ；
(2)在①图1中 ，②图1中 ，③图2中三棱锥 的体积最大.
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.
问题：已知__________，试在棱 上确定一点 ，使得 ，并求平面 与平面 的夹角的
余弦值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
11．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）如图所示的五边形 中 是矩形， ， ，
沿 折叠成四棱锥 ，点 是 的中点， ．
(1)在四棱锥 中，可以满足条件① ；② ；③ ，请从中任选
两个作为补充条件，证明：侧面 底面 ；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答
计分．）
(2)在（1）的条件下求点 到平面 的距离．12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，侧棱 平面 ，底面四边形
是矩形， ，点 、 分别为棱 、 的中点，点 在棱 上．
(1)若 ，求证：直线 平面 ；
(2)若 ，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．
①平面 与平面 的交线为直线 ， 与直线 成角的余弦值为 ；
②二面角 的余弦值为 ．
注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分．
13．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是矩形，
底面ABCD，且 ，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F.
(1)证明：F为PD的中点；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.
条件①：三角形BCF的面积为 ；
条件②：三棱锥 的体积为1.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.14．（2023·北京·高三专题练习）如图，已知直三棱柱 中， ， 为 中点，
，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题：
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）如图，已知四棱锥 ，底面 是平行四边形，
且 ， 是线段 的中点， .
(1)求证： 平面 ；
(2)下列条件任选其一，求二面角 的余弦值.① 与平面 所成的角为 ；
② 到平面 的距离为 .
注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分.
16．（2023·江苏·统考三模）如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，
E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上．
(1)再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明；
(2)在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值．
条件①： ；
条件②：∠PED＝60°；
条件③：PM＝3ME：
条件④：PE＝3ME．
