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培优专题 03 和绝对值有关的五种常见题型
【专题精讲】
运用绝对值解决问题,在初中代数中具有重要的意义,利用绝对值的知识一般可以
将问题化归,结合分类讨论思想、数形结合思想解决问题,从而达到化难为易、化
繁为简的目的。
◎类型一：利用绝对值的性质进行化简
解题方法:关键是如何去掉绝对值符号,要去掉绝对值符号的关键是如何确定绝对
值里的符号,根据数轴可知数轴的大小关系，这样就可以确定符号,从而使问题得
到解决.
1．（2021·湖北·公安县教学研究中心七年级阶段练习）在数轴上表示a，b，c三个数的点
的位置如图所示，化简式子 的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·新疆生产建设兵团第一中学七年级期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，
则化简 的结果为（ ）
A．b B．-b C．2a D．-2a
3．（2022·全国·七年级专题练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则|c﹣a|﹣|a+b|+|
b﹣c|的值为（ ）A．0 B．2a﹣2c+2b C．﹣2c D．2a
◎类型二：根据绝对值的性质求值
4．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学七年级阶段练习）已知|a|=1，b是3的相反数，则
a+b的值为（ ）
A．-2 B．-4 C．-2或-4 D．4或-2
5．（2022·山东德州·七年级期末）若 ， ，则 所有可能的值为（ ）
A．8 B．8或2 C．8或 D． 或
6．（2022·全国·七年级专题练习）若 ，则 的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．9
7．（2021·云南·普洱市思茅区第四中学七年级期中）已知 ， ，且 ，
则 的值为（ ）
A．9 B．－9 C．9或3 D．－9或－3
1a1
◎类型三：根据绝对值的性质解决 型问题
a
8．（2021·四川·荣县一中七年级阶段练习）已知a、b、c均为不等于0的有理数，则
的值为（ ）
A．1或3 B．– 1或– 3 C．±1或±3 D．0或3
9．（2021·江苏·南通市海门区中南中学七年级阶段练习）设 ，且 ，则
的值有可能是（ ）
A．0 B． C． D．0或
10．（2021·湖北黄石·七年级期末）a，b，c的大小关系如图所示，则
的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
11．（2022·江苏·七年级专题练习）已知a，b，c是有理数，且a＋b＋c＝0，abc（乘积）
是正数，则 的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3◎类型四：运用零点分段法求最大、最小值
解题方法：化简含有多个绝对值的式子,关键是如何去掉绝对值,要想去掉绝对值,
就需要知道各个绝对值部分的正负性,可先求出各个绝对值等于零的字母的值,也
就是先求出分界点,从而得到每个部分中字母的取值范围,再根据取值范围分类时
论即可求解。
12．（2021·全国·七年级）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为|AB|．则数轴上A、B两点
之间的距离|AB|＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的
距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么x为 ；
（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，符合条件的整数x有 ；
（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解．
13．（2020·山东·临沂第十七中学七年级阶段练习）计算：已知
（1）当 时，求 的值；
（2）求 的最大值；
14．（2019·新疆师范大学附属中学七年级阶段练习）完成下列各题：
（1）|x+1|+5的最小值是 ，此时x2019＝ ．
（2）方程|x﹣2|+|x+3|＝6的解有 个．
（3）已知x＜﹣3，则化简式子|﹣x|+|x+3|﹣|x﹣3|．
15．（2022·全国·七年级课时练习）我们知道， 表示数 到原点的距离，这是绝对值的
几何意义.进一步地，数轴上两个点 、 ，分别用 ， 表示，那么 ， 两点之间的距
离为 ，利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______；数轴上表示-2和-5的两点之间的距
离是_______；数轴上表示1和-3的两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示 和-1的两点 ， 之间的距离是______，如果 ，那么 的值为
______；
（3）求 的最小值是_______．
◎类型五：运用绝对值的几何意义求最小值
一般来说,出现若干个绝对值的代数和,求其最小值,通常可以采用零点分段法解
决问题,但若出现三个或三个以上,再用该法就显得特别繁杂,此时,若利用绝对值的几何意义来解题,将显得更加简捷.根据绝对值的几何意义:x-a表示在数轴上,x
所对应的点到a所对应的点之间的距离.这样就可以把该问题转化为:在数轴上求
一点,使其到各零点的距离和最小.再结合求绝对值代数和的一般规律即可解决。
16．（2020·江苏·射阳县第二初级中学七年级阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a，
b．
（1）对照数轴填写下表：
a 6 -6 2 -1.5
b 4 4 -10 -1.5
A、B两点的距
离
（2）若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系？
（3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到5和-5的距离之和为10，并求所有这
些整数的和；
（4）找出（3）中满足到5和-5的距离之差大于1而小于5的整数的点P ；
（5）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x＋1|＋|x-2|取得的值最小 ？并
求出最小值 ．
17．（2019·广东·江门市第二中学七年级阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a，b．
(1)对照数轴填写下表：
a 6 －6 －6 －6 2 －1.5
b 4 0 4 －4 －10 －1.5
A、B两点的距离
(2)若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系?
(3)在数轴上找出所有符合条件的整数点P，使它到5和－5的距离之和为10，并求所有这
些整数的和；
(4)若点C表示的数为x，当点C在什么位置时， 取得的值最小? 最小值是多少？
18．（2020·山东潍坊·七年级期末）根据材料，解答问题
如图，数轴上有点 ，对应的数分别是6，-4，4，-1，则 两点间的距离为
； 两点间的距离为 ； 两点间的距离为 ；由此，
若数轴上任意两点 分别表示的数是 ，则 两点间的距离可表示为 ．反之，
表示有理数 在数轴上的对应点 之间的距离，称之为绝对值的几何意义．问题应用1：
（1）如果表示-1的点 和表示 的点 之间的距离是2，则点 对应的 的值为
___________；
（2）方程 的解 ____________；
（3）方程 的解 ______________ ；
问题应用2：
如图，若数轴上表示 的点为 .
（4） 的几何意义是数轴上_____________，当 __________， 的值最小是
____________；
（5） 的几何意义是数轴上_______， 的最小值是__________，此
时点 在数轴上应位于__________上；
（6）根据以上推理方法可求 的最小值是___________，此时
__________．
19．（2021·全国·七年级专题练习）点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a、b，A、B 两点
之间的距离表示为 AB， 在数轴上 A、B 两点之间的距离 AB=|a﹣b|．
请用上面的知识解答下面的问题：
（1）数轴上表示 1 和 5 的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2 和﹣4 的 两点之间
的距离是 ，数轴上表示 1 和﹣3 的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示 x 和﹣1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ，如果|AB|=2， 那么 x 为
；
（3）|x+1|+|x﹣2|取最小值是 ．
【巩固训练】
1．（2020·浙江省义乌市稠江中学七年级阶段练习）设实数a，b，c满足a>b>c(ac<0)，且|
c|<|b|<|a|，则|b−a|+|a+c|-|b−c|的最小值为( )
A．2a-2b+2c B．2a-2b C．0 D．2a+2c2．（2022·全国·七年级课时练习）如图，已知数轴上 两点表示的数分别是 ，则计
算 正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·云南·剑川县马登镇初级中学七年级期中）有理数 、 、 在数轴上位置如图，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·贵州铜仁·九年级学业考试）若 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
5．（2022·全国·八年级课时练习）若 ， ，且a＞b，则 ( )
A．±8或±2 B．±8 C．±2 D．8或2
6．（2019·江苏泰州·七年级阶段练习）如果 是有理数，代数式 的最小值是( )．
A．0 B．1 C．-1 D．没有最小值
7．（2022·江苏·九年级专题练习）已知a，b为非0有理数，且a，b同号，则
的值是（ ）
A．3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3或﹣1
8．（2022·全国·七年级专题练习）对于有理数x，y，若 ，则 的值是
（ ）．
A． B． C．1 D．3
9．（2022·全国·七年级课时练习）阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中
有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都
不在原点时：
①如图2，点A、B都在原点的右边：
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；②如图3，点A、B都在原点的左边：
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；
③如图4，点A、B在原点的两边：
∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，
综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．
回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离
是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为
__________．
(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________．
10．（2019·湖北·武汉市南湖中学七年级阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两个点所
对应的数的差的绝对值．例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的
距离表示为AB＝|a﹣b|．
根据以上知识解题：
（1）数轴上表示3和5两点之间的距离是______，数轴上表示2和－5两点之间的距离是
____．
（2）在数轴上表示数x的点与﹣2的点距离是3，那么x＝ ．
（3）如果x表示一个有理数，那么|x+4|+|x﹣2|的最小值是 ．
（4）如果x表示一个有理数，当x=__________时，|x+3|+|x﹣6|=11．
11．（2022·全国·七年级专题练习）我们知道， 的几何意义是：在数轴上数a对应的点
到原点的距离，类似的， 的几何意义就是：数轴上数 对应点之间的距离；比如：
2和5两点之间的距离可以用 表示，通过计算可以得到他们的距离是3
（1）数轴上1和 两点之间的距离可以用 表示，通过计算可以得到他们的距
离是_______
（2）数轴上表示x和 的两点A、B之间的距离可以表示为AB= ；如果
AB=2，结合几何意义，那么x的值为 ；
（3）代数式 表示的几何意义是 ，该代数式的最小值是
