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专题7 实数中的三个重点类型（原卷版）
第一部分 典例剖析+变式训练
类型一 无理数的整数部分及小数部分
典例1（2022春•西城区校级期中）已知a，b分别是√5的整数部分和小数部分．
（1）分别写出a，b的值．
（2）求3a﹣b2的值．
变式训练
1．（2022秋•金水区期中）我们知道，√2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即
√2的整数部分是1，小数部分是√2−1，请回答以下问题：
（1）√10的小数部分是 ，5−√13的小数部分是 ．
（2）若a是√90的整数部分，b是√3的小数部分，求a+b−√3+1的平方根．
类型二 平方根与立方根的综合运用
典例2（2022春•崇义县期中）已知a+1的算术平方根是3，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2．
求：（1）a，b，c的值；
（2）a+4b﹣4c的平方根．
典例3 （2022春•陇县期末）若一个正数的两个平方根分别是2m和n，n的立方根是﹣2，求﹣n+2m的算
术平方根．变式训练
1．（2020秋•秦都区期末）已知某正数的两个平方根是 3a﹣14和a+2，b﹣14的立方根为﹣2．求a+b的
算术平方根．
2．（2021春•福州期中）已知2x+7y的算术平方根是3，5x+y+2的立方根是2，求8x﹣2y+10的平方根．
3．（2020秋•高州市月考）已知2a﹣1的算术平方根√11，a﹣5b+1的立方根﹣2．
（1）求a与b的值；
（2）求2a﹣b的平方根．
4．（2021春•长寿区期末）若实数m的平方根是4a+21和a﹣6，b的立方根是﹣2，求m+3a+b的算术平方
根．
类型三 圆在数轴上的滚动问题
5．（2022春•宁明县期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将
该圆沿数轴向左滚动1圈，点A到达A'的位置，则点A'表示的数是 ．
2
6．（2022秋•宁波期中）如图，圆的半径为 个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为 1个单位长度，
π在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示—1的点重合．
（1）圆的周长为多少？
（2）若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点B重合的点表示的数为多少？
（3）若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示—2的点与点B重合，数轴上表示—3的点
与点C重合…），那么数轴上表示—2024的点与圆周上哪个点重合？
第二部分 专题提优训练
1．（2022秋•富平县期末）已知a﹣1的算术平方根是3，b是√11的整数部分，求a﹣b的值．
2．（2019秋•沙坪坝区期中）已知a﹣1的平方根是±1，3a+b﹣2的立方根是2，x是√13的整数部分，y是
√13的小数部分，求a+b+2x+y−√13的平方根．
3．（2021春•永吉县期中）若8的立方根是a，b的算术平方根是3，m的两个平方根分别是5和n．
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（1）求b− a的平方根；
8
（2）求5a+b﹣m﹣n的立方根．
√ab
4．（2022春•定远县期末）已知某正数的两个平方根分别是 a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．求 的
2
平方根．5．（2022春•铁东区期末）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部写出来．于是
小明用（√2−1）来表示√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理
的，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵√4＜√7＜√9，即∵2＜√7＜3，
∴√7的整数部分是2，小数部分为（√7−2）．
（1）√17的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）√5的小数部分为a，√13的整数部分为b，则a+b−√5的值；
（3）已知：10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
6．（2022春•长垣市期中）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达
O′点，点O′对应的数是 ．
7．（2022春•郧阳区期中）如图所示，直径为单位1的圆从表示﹣1的点沿着数轴无滑动的向右滚动一周
到达A点，则A点表示的数是 ．
1
8．（2022秋•邢台期中）如图，有一个半径为 个单位长度的圆，将圆上的点A放在原点，并把圆沿数轴
2
逆时针方向滚动一周，点A到达点A'的位置，则点A'表示的数 ；若点B表示的数是−√10，则点
B在点A'的 （填“左边”、“右边”）．
1
9．（2022秋•青县校级月考）如图，点A表示的数是﹣1，以点A为圆心、 个单位长度为半径的圆交数
2
轴于B，C两点，那么B，C两点表示的数分别是 ．
